实验二 离散序列卷积及及系统时域响应分析一．实验目的
学会运用MATLAB求解离散时间系统的零状态响应；学会运用MATLAB求解离散时间系统的单位脉冲响应；学会运用MATLAB求解离散时间系统的卷积和。
二．实验原理及实例分析1. 离散时间系统的响应
离散时间LTI系统可用线性常系数差分方程来描述，即
（2-1）
其中，（，1，…，N）和（，1，…，M）为实常数。
MATLAB中函数filter可对式（2-1）的差分方程在指定时间范围内的输入序列所产生的响应进行求解。函数filter的语句格式为
y=filter(b,a,x)
其中，x为输入的离散序列；y为输出的离散序列；y的长度与x的长度一样；b与a分别为差分方程右端与左端的系数向量。
由离散时间系统的频域分析法可知，线性时不变离散系统也可以用
系统函数来表示： （2-2）
其中a0=1。MATLAB信号处理工具箱提供了一个dlsim( )函数,通过H（z）来求解任意输入的系统的零状态响应。其调用方式为：
y=dlsim(b,a,x)；
式中，b,a分别为系统函数H(z)中，由对应的分子项和分母项系数所构成的数组，x为输入序列。
【实例2-1】 已知某LTI系统的差分方程为
试用MATLAB命令绘出当激励信号为时，该系统的零状态响应。
解：MATLAB源程序为：a=1/3*[3 -4 2];
b=1/3*[1 2 0];n=0:30;
x=(1/2).^n;
y=filter(b,a,x);
stem(n,y,'fill'),grid on
xlabel('n'),title('系统响应y(n)')程序运行结果如图2-1所示。
参考程序：clf
a=[3 -4 2]/3;b=[1 2]/3; n=0:30;
x=(1/2).^n;
y=dlsim(b,a,x);stem(n,y,'fill');grid on;
xlabel('n');
title('系统响应y(n)');
2 离散时间系统的单位脉冲响应
系统的单位取样响应定义为系统在激励下系统的零状态响应，用表示。MATLAB求解单位取样响应可利用函数filter，并将激励设为前面所定义的impseq()函数。
【实例2-2】求解实例2-1中系统的单位取样响应时，MATLAB源程序为
参考程序1：a=[3 -4 2];b=[1 2];n=0:30;
x=(n==0);
h=filter(b,a,x);
stem(n,h,'fill'),grid on
xlabel('n'),title('系统单位取样响应h(n)')
参考程序2：
调用函数function y=impse q(n)
y=(n==0); %当参数为0时冲激为1,否则为0
该方法请自行编写。
程序运行结果如图2-2所示。
图2-2 实例2-2的系统单位脉冲响应
MATLAB另一种求单位取样响应的方法是利用控制系统工具箱提供的函数impz（）来实现。impz（）函数的常用语句格式为
impz(b,a,N)
其中，参数N通常为正整数，代表计算单位脉冲响应的样值个数。
【实例2-3】 已知某LTI系统的差分方程为
利用MATLAB的impz函数绘出该系统的单位取样响应。
解：MATLAB源程序为a=[3 -4 2];b=[1 2];n=0:30;
impz(b,a,30),grid on
title('系统单位取样响应h(n)')
程序运行结果如图2-3所示，比较图2-2和图2-3，不难发现结果相同。
图2-3 实例2-3的系统单位脉冲响应
3 离散时间信号的卷积和运算
由于系统的零状态响应是激励与系统的单位取样响应的卷积，因此卷积运算在离散时间信号处理领域被广泛应用。离散时间信号的卷积定
义为
（2-3）
可见，离散时间信号的卷积运算是求和运算，因而常称为“卷积和”。
MATLAB求离散时间信号卷积和的命令为conv，其语句格式为
y=conv(x,h)
其中，x与h表示离散时间信号值的向量；y为卷积结果。用MATLAB进行卷积和运算时，无法实现无限的累加，只能计算时限信号的卷积。
【实例2-4】利用MALAB的conv命令求两个长为4的矩形序列的卷积和，即，其结果应是长为7（4+4-1=7）的三角序列。用向量[1 1 1 1]表示矩形序列，MATLAB源程序为：
x1=[1 1 1 1];x2=[1 1 1 1];n=1:7;
g=conv(x1,x2);stem(n,g,'fill');grid on;
xlabel('n');
程序运行结果如图2-4所示。
图2-4 实例2-4的矩形序列卷积和
对于给定函数的卷积和，我们应计算卷积结果的起始点及其长度。两个时限序列的卷积和长度一般等于两个序列长度的和减1。
【实例2-5】已知两个信号序列： 求两序列的卷积和。参考程序：
clear
nf1=0:20;%建立f1的时间向量f1=0.5.^nf1;%建立f1信号subplot(2,2,1);
stem(nf1,f1,'filled');title('f1(n)');
nf2=0:10;%建立f2的时间向量
lf2=length(nf2);%取f2时间向量的长度f2=ones(1,lf2);%建立f2信号subplot(2,2,2);
stem(nf2,f2,'filled');title('f2(n)');
y=conv(f1,f2);%卷积运算subplot(2,1,2);stem(y,'filled');title('y(n)');
图2-5 实例2-5的两序列的卷积和
三．实验内容及步骤
1. 试用MATLAB命令分别求解（1）（2）离散时间系统的单位取样响应。（1）（2）
当x(n)=0.5nu(n)时，求（1）式系统的零状态响应。
2. 已知某系统的单位取样响应为，试用MATLAB求当激励信号为
时，系统的零状态响应。
四、实验中常用MATLAB函数
conv(); impz(); filter();dlsim();figure();plot();stem();axis();title(); xlabel(); ylabel(); text(); hold on;grid on;subplot();abs(); angle();length(); min(); max()
五、实验报告要求
（1） 简述实验目的及实验原理。
（2） 列出实验程序清单，描绘实验程序产生的曲线图形。（3）总结实验中的主要结论。
