[A组·基础巩固]
热点一 应用动力学与能量观点解决力学综合问题
1．(2018·桂林市桂林中学月考)质量为m的小球被系在轻绳一端，在竖直平面内做半径为R的圆周运动，运动过程中小球受到空气阻力的作用．设某一时刻小球通过轨道的最低点，此时绳子的张力为9mg，此后小球继续做圆周运动，经过半个圆周恰能通过最高点，则在此过程中小球克服空气阻力所做的功为( ) 3
A.2mgR 1
C.2mgR
mv21
解析：最低点9mg－mg＝R v1＝8gR mv22
最高点mg＝R v2＝gR
112
由动能定理得－2mgR＋Wf＝2mv22－mv1 23
解得Wf＝－2mgR
3
故克服空气阻力做功2mgR，故选A. ★答案★：A
热点二 应用能量与动量观点解决力学综合问题
2．(2018·南昌十所省重点模拟)质量为M＝3 kg的平板车放在光滑的水平面上，在平板车的最左端有一小物块(可视为质点)，物块的质量为m＝1 kg，小车左端上方如图所示固定着一障碍物A，初始时，平板车与物块一起以水平速度v0＝2 m/s向左运动，当物块运动到障碍物A处时与A发生无机械能损失的碰撞，而小车继续向左运动，取重力加速度g＝10 m/s2.
(1)设平板车足够长，求物块与障碍物第一次碰撞后，物块与平板车所能获得的共同速度；
1
B.3mgR D．mgR
(2)设平板车足够长，物块与障碍物第一次碰撞后，物块向右运动对地所能达到的最大距离是s＝0.4 m，求物块与A第一次碰撞后到第二次碰撞前相对小车滑动的距离．
解析：(1)以物块和车为系统，由动量守恒定律得： Mv0－mv0＝(M＋m)v
代入已知数据解得，共同速度：v＝1 m/s
(2)设物块受到的摩擦力为f，对物块由动能定理得： 1－fs＝0－2mv20
代入已知数据解得：f＝5 N
物块与A第二次碰撞前已与车保持相对静止，对系统由能量守恒定律得： 112fs相对＝2(M＋m)v2－0
2(M＋m)v 代入已知数据解得：s相对＝1.2 m ★答案★：(1)1 m/s (2)1.2 m
3.(2018·湖北六校联合体联考)在高为1 m的水平桌面上有A、B两个小物体，其中B放在桌子的右边缘，A放在弹簧的右端O处但不拴接(弹簧的左端固定在桌上，
处于自然状态)，LOB＝2 m，现用A将弹簧压缩后静止释放，在以后运动的过程中A与B发生弹性碰撞，B的落地点到桌子边缘的水平距离为2 m，A，B的质量分别为m、M，m ＝1 kg，M＝2 kg，(水平面上O点的左侧光滑，右侧的动摩擦因数为0.5，重力加速度g取10 m/s2)求： (1)A最终静止在什么位置； (2)弹簧的最大弹性势能Ep.
解析：(1)A离开弹簧后的速率为v0，与B碰前的速率为v，碰后的速度为v1，B的速度为v2，以向右为正方向
11212A、B相碰时，mv＝mv1＋Mv2，2mv2＝2mv1＋2Mv2 v2解得：v1＝－3，v2＝3v
1
B碰后做平抛运动，x＝v2t＝2 m，y＝2gt2＝h， 解得：v2＝25m/s，故v＝35m/s，v1＝－5m/s
A碰后做匀减速运动，vA＝0时其位移为xA，且a＝μg＝5 m/s2 v21
xA＝2a＝0.5 m，即A停在距桌子右边缘0.5 m处 (2)A从O点到B处做匀减速运动，由－2ax＝v2－v20， v0＝v2＋2ax＝65m/s
12
A被弹开的过程，A和弹簧组成的系统机械能守恒Ep＝mv0＝32.5 J.
2★答案★：(1) A停在距桌子右边缘0.5 m处 (2)32.5 J 4.(2018·河南商丘模拟)如图所示，半径为R＝1 m的圆弧形轨道固定在水平轨道上，与弧形轨道相切的水平轨道上静置一小球B，小球A从弧形轨道上离水平地面高度h＝0.8 m处由
静止释放后，沿轨道下滑与小球B发生碰撞并粘在一起．所有接触面均光滑，A、B两球的质量均为m＝1 kg，g＝10 m/s2，求：
(1)小球A在弧形轨道最低点时对轨道的压力大小为F； (2)小球A、B碰撞过程中损失的机械能ΔE.
1解析：(1)小球A在光滑弧形轨道上下滑时，由机械能守恒定律，得：mgh＝2mv20 可得v0＝2gh＝2×10×0.8 m/s＝4 m/s
v20
在弧形轨道最低点时，由牛顿第二定律得F′－mg＝mR，解得F′＝26 N 根据牛顿第三定律得，小球对轨道的压力大小F＝F′＝26 N
(2)取水平向右为正方向，A与B碰撞的过程中动量守恒，由动量守恒定律有： mv0＝(m＋m)v，得v＝2 m/s
121
由能量守恒定律得：ΔE＝2mv0－2·2mv2 代入数据得：ΔE＝4 J ★答案★：(1)26 N (2)4 J
[B组·能力提升]
5．如图所示，一质量为m＝1 kg的物块a静止在水平地面上的A点，物块a与
水平地面间的动摩擦因数μ＝0.5，现对物块a施加一与水平方向呈θ角的恒力F，运动到B点时撤去外力F，此时物块a与处在B点的另一个完全相同的物块b发生完全非弹性碰撞，已知F＝7.5 N，LAB＝34.4 m，θ＝53°，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6，重力加速度g＝10 m/s2，求： (1)物块a碰撞前瞬间速度； (2)两物块碰撞过程中损失的机械能．
解析：(1)以物块a为研究对象，对其受力分析，根据牛顿第二定律有： Fcos 53°－μ(mg－Fsin 53°)＝ma
物块a从A点运动到B点做匀加速直线运动，设物块a到达B点的速度为vB，根据匀变速直线运动的规律有： v2B＝2aLAB
联立可以得到：vB＝243 m/s.
(2)两物块发生完全非弹性碰撞，满足动量守恒， 即mvB＝2mv 解得：v＝43 m/s
112两物块碰撞过程中损失的机械能为ΔE＝2mv2－×2mv＝43 J. B
2★答案★：(1)243 m/s (2)43 J
6．如图所示，一光滑水平桌面AB与一半径为R的光滑半圆形轨道相切于C点，且两者固定不动．一长为L＝1.25 m的细绳，一端固定于O点，另一端系一个质量m1＝0.4 kg的小球．当小球m1在竖直方向静止时，球对水平桌面的作用力刚好为零．现将小球m1提起使细绳处于水平位置时无初速释放．当小球m1摆至最低点时，细绳恰好被拉断，此时小球m1恰好与放在桌面上的质量m2＝0.6 kg的小球发生弹性正碰，m2将沿半圆形轨道运动．两小球均可视为质点，取g＝10 m/s2.求：
(1)细绳所能承受的最大拉力为多大？
(2)m2在半圆形轨道最低点C点的速度为多大？
(3)为了保证m2在半圆形轨道中运动时不脱离轨道，试讨论半圆形轨道的半径R
应该满足的条件．
1
解析：(1)设小球摆至最低点时速度为v0，由机械能守恒定律，得：m1gL＝2m1v20 解得：v0＝2gL＝5 m/s
v20小球在最低点时，由牛顿第二定律，得：FT－m1g＝m1L 解得：FT＝12 N
(2)m1与m2发生弹性碰撞，动量与机械能守恒，设m1、m2碰后的速度分别为v1、v2, 选向右的方向为正方向，则m1v0＝m1v1＋m2v2 121212mv＝mv1011＋m2v2 222解得：v2＝4 m/s
v2D(3) ①若小球恰好通过最高点D点，由牛顿第二定律，得：m2g＝m2R 1m2在CD轨道上运动时，由机械能守恒定律，得： 1212mv22＝m2vD＋2m2gR1 22解得：R1＝0.32 m
1②若小球恰好到达圆轨道与圆心等高处速度减为0，则有：2m2v22＝m2gR2 解得：R2＝0.8 m
综上：R应该满足R≤0.32 m或R≥0.8 m
★答案★：(1)12 N (2)4 m/s (3)R≤0.32 m或R≥0.8 m
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