圆锥曲线中斜率乘积问题为定值的问题

温县第一高级中学数学组 任利民

3P(x,y)与两点A(2,0),B(2,0)的连线的斜率之积是4，求

问题1：平面上一动点

x2y21(x2)3点P的轨迹方程4 .

x2y21A(2,0),B(2,0)的连线的斜率之积是 3问题2：椭圆4上任一点P与两点k1k234 .

x2y2212A(a,0),B(a,0),椭圆上任意异于A、b探究：（1）已知椭圆a上两点B的点Pb22与A、B连线的斜率之积是 a.

x2y2212ab（2）已知椭圆上两点A(0,b),B(0,b),椭圆上任意异于A、B的点P与A、b22B连线的斜率之积是 a.

x2y2212A(x0,y0),B(x0,y0)b（3）已知椭圆a上两定点，椭圆上任意异于A、Bb22的点P与A、B连线的斜率之积是 a.

x2y221(ab0)2ab结论1.设 A、B是椭圆上关于原点对称的两点，点P是该椭圆b2k1k22a． 上不同于A，B的任一点，直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，则

x2y221(ab0)2b探究：（3）设 A、B是双曲线a上关于原点对称的两点，点P是该

双曲线上不同于A，B的任一点，直线PA,PB的斜率是k1,k2，猜想k1k2是否为定值？并给予证明．

x2y221(a0,b0)2ab结论2.设 A、B是双曲线上关于原点对称的两点，点P是该b2k1k22a． 双曲线上不同于A，B的任一点，直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，则

应用拓展：

1.设椭圆的左、右顶点分别为A,B，点P在椭圆上且异于A,B两点，若直线AP与BP的斜率之积为1，则椭圆的离心率为 .

2b2c12b解析：利用kAP·kBP＝2，可以得到e11.

aa22ax2y21432.椭圆C:的左、右顶点分别为A1,A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值

范围是[2,1] ，那么直线PA1斜率的取值范围是

A. [,] B. [,] C. [,1] D. [,1]

2132433841234解析：因为kPA1kPA2∴kPA1[,],故选B.

b3，所以kPA12kPA2a4234 ,∵k[2,1]

PA233843.如图2，在平面直角坐标系xOy中，F1,F2分别为椭圆的左、右焦点，B、C分别为椭7

圆的上、下顶点，直线BF2与椭圆的另一交点为D.若cos∠F1BF2＝，则直线CD的斜率

25为 ．

解析：由已知可得coscosF1BF22cos2OBF2174b，所以cosOBF2，255abc3b所以，又因为kBD，且kBDkCD2，

a5cabb2bc4312所以kCD2，即kCD．

caaa5525x23.已知椭圆C:y21，点M1,M2,L,M5为其长轴AB的6等分点，分别过这五点

2作斜率为k(k0)的一组平行线，交椭圆C于点P1,P2,L,P10,则这10条直线

21 AP1,AP2,L,AP10的斜率的乘积为32.