位置几何──射影几何学

射影几何是研讨图形的射影性质，即它们经过射影变换 后，依然坚持不变的图形性质的几何学分支学科。一度也叫 做投影几何学，在经典几何学中，射影几何处于一种特殊的 位置，经过它可以把其他一些几何络起来。 射影几何的开展简况

十七世纪，当笛卡儿和费尔马创立的解析几何问世的时分， 还有一门几何学同时出如古人们的面前。这门几何学和画图 有很亲密的关系，它的某些概念早在古希腊时期就曾经惹起 一些学者的留意，欧洲文艺复兴时期透视学的兴起，给这门 几何学的发生和生长预备了充沛的条件。这门几何学就是射 影几何学。

基于绘图学和修建学的需求，古希腊几何学家就末尾研讨透 视法，也就是投影和截影。早在公元前200年左右，阿波罗 尼奥斯就曾把二次曲线作为正圆锥面的截线来研讨。在4世 纪帕普斯的著作中，出现了帕普斯定理。

在文艺复兴时期，人们在绘画和修建艺术方面十分留意和鼎 力研讨如何在平面上表理想物的图形。那时分，人们发现， 一个画家要把一个事物画在一块画布上就好比是用自己的 眼睛当作投影中心，把实物的影子影射到画布上去，然后再 描画出来。在这个进程中，被描画上去的像中的各个元素的 相对大小和位置关系，有的变化了，有的却坚持不变。这样 就促使了数学家对图形在中心投影下的性质停止研讨，因此 就逐渐发生了许多过去没有的新的概念和实际，构成了射影 几何这门学科。

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射影几何真正成为的学科、成为几何学的一个重要分 支，主要是在十七世纪。在17世纪初期，开普勒最早引进 了无量远点概念。稍后，为这门学科树立而做出了重要贡献 的是两位法国数学家——笛沙格和帕斯卡。

笛沙格是一个自学成才的数学家，他年轻的时分当过陆军军 官，后来研讨工程技术，成了一名工程师和修建师，他很不 赞成为实际而搞实际，决计用新的方法来证明圆锥曲线的定 理。

1639年，他出版了主要著作《试论圆锥曲线战争面的相 交所得

结果的初稿》,书中他引入了许多几何学的新概念。 他的冤家笛卡尔、帕斯卡、费尔马都很推崇他的著作，费尔 马甚至以为他是圆锥曲线实际的真正奠基人。

迪沙格在他的著作中，把直线看作是具有无量大半径的圆， 而曲线的切线被看作是割线的极限，这些概念都是射影几何 学的基础。用他的名字命名的迪沙格定理： ''假设两个三角 形对应顶点连线共点，那么对应边的交点共线，反之也成 立〃，就是射影几何的基本定理。

帕斯卡也为射影几何学的早期任务做出了重要的贡献，11 年，他发现了一条定理： ''内接于二次曲线的六边形的三双 对边的交点共线。〃这条定理叫做帕斯卡六边形定理，也是 射影几何学中的一条重要定理。1658年，他写了《圆锥曲线 论》—书，书中很多定理都是射影几何方面的内容。迪沙格 和他是冤家，曾经敦促他搞透视学方面的研讨，并且建议他 要把圆锥曲

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线的许多性质简化成少数几个基本命题作为目 的。帕斯卡接受了这些建议。后来他写了许多有关射影几何 方面的小册子。 不过迪沙格和帕斯卡的这些定理，只触及关联性质而不触及 度量性质（长度、角度、面积）。但他们在证明中却用到了长 度概念，而不是用严厉的射影方法，他们也没无看法到，自 己的研讨方向会招致发生一个新的几何体系射影几何。他们 所用的是综合法，随着解析几何和微积分的创立，综合法让 位于解析法，射影几何的讨论也中缀了。

射影几何的主要奠基人是19世纪的彭赛列。他是画法几何 的开创人蒙日的先生。蒙日带动了他的许多先生用综合法研 讨几何。由于迪沙格和帕斯卡等的任务被临时无视了，先人 的许多任务他们不了解，不得不重新再做。

1822年，彭赛列宣布了射影几何的第一部系统著作。他是看 法到

射影几何是一个新的数学分支的第一个数学家。他经过 几何方法引进无量远虚圆点，研讨了配极对应并用它来确立 对偶原理。稍后，施泰纳研讨了应用复杂图形发生较复杂图 形的方法，线素二次曲线概念也是他引进的。为了摆脱坐标 系对度量概念的依赖，施陶特经过几何作图来树立直线上的 点坐标系，进而使交比也不依赖于长度概念。由于无视了延 续公理的必要性，他树立坐标系的做法还不完善，但却迈出 了决议性的一步。

另方面，运用解析法来研讨射影几何也有长足停顿。首先是 莫比乌斯创立一种齐次坐标系，把变换分为全等，相似，仿 射，直射

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等类型，给出线束中四条线交比的度量公式等。接 着，普吕克引进丁另一种齐次坐标系，失掉了平面上无量远 线的方程，无量远圆点的坐标。他还引进了线坐标概念，于 是从代数观念就自然失掉了对偶原理，并失掉了关于普通线 素曲线的一些概念。 在19世纪前半叶的几何研讨中，综合法和解析法的争论异 常剧烈；有些数学家完全否认综合法，以为它没有出路，而 一些几何学家，如沙勒，施图迪和施泰纳等，那么坚持用综 合法而排挤解析法。还有一些人，如彭赛列，虽然供认综合 法有其局限性，在研讨进程中也难免借助于代数，但在著作 中总是用综合法来论证。他们的努力使综合射影几何构成一 个优美的体系，而且用综合法也确实笼统鲜明，有些效果论 证直接而繁复。

1882年帕施建成第一个严厉的射影几何归结 体系。

射影几何学的开展和其他数学分支的开展有亲密的关系，特 别是 ''群〃的概念发生以后，也被引进了射影几何学，对这 门几何学的研讨起了促进作用。

把各种几何和变换群相联络的是克莱因，他在埃尔朗根纲领 中提出了这个观念，并把几种经典几何看作射影几何的子几 何，使这些几何之间的关系变得十分阴暗。这个纲领发生了 庞大影响。但有些几何，如黎曼几何，不能归入这个分类法。 后来嘉当等在拓广几何分类的方法中作出了新的贡献。 射影几何学的内容

概括的说，射影几何学是几何学的一个重要分支学科，它是 专

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门研讨图形的位置关系的，也是专门用来讨论在把点投影 到直线或许平面上的时分，图形的不变性质的迷信。

在射影几何学中，把无量远点看作是 ''理想点〃。通常的直 线再加上一个无量点就是无量远直线，假设一个平面内两条 直线平行，那么这两条直线就交于这两条直线共有的无量远 点。经过同一无量远点的一切直线平行。

在引入无量远点和无量远直线后，原来普通点和普通直线的 结合关系依然成立，而过去只要两条直线不平行的时分才干 求交点的就消逝了。

由于经过同一个无量远点的直线都平行，因此中心射影战争 行射影两者就可以一致了。平行射影可以看作是经过无量远 点的中心投影了。这样凡是应用中心投影或许平行投影把一 个图形映成另一个图形的映射，就都可以叫做射影变换了。 射影变换有两个重要的性质：首先，射影变换使点列变点列， 直线变直线，线束变线束，点和直线的结合性是射影变换的 不变性；其次，射影变换下，交比不变。交比是射影几何中 重要的概念，用它可以说明两个平面点之间的射影对应。

在射影几何里，把点和直线叫做对偶元素，把 ''过一点作不 时线〃和 ''在不时线上取一点〃叫做对偶运算。在两个图形 中，它们假设都是由点和直线组成，把其中一图形里的各元 素改为它的对偶元素，各运算改为它的对偶运算，结果就失 掉另一个图形。这两个图形叫做对偶图形。在一个命题中表 达的内容只是关于点、

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直线战争面的位置，可把各元素改为 它的对偶元素，各运算改为它的对偶运算的时分，结果就失 掉另一个命题。这两个命题叫做对偶命题。

这就是射影几何学所特有的对偶原那么。在射影平面上，假 设一个命题成立，那么它的对偶命题也成立，这叫做平面对 偶原那么。异样，在射影空间里，假设一个命题成立，那么 它的对偶命题也成立，叫做空间对偶原那么。

研讨在射影变换下二次曲线的不变性质，也是射影几何学的 一项重要内容。

假设就几何学内容的多少来说，射影几何学 仿射几何学 欧 氏几何学，这就是说欧氏几何学的内容最丰厚，而射影几何 学的内容最贫乏。比如在欧氏几何学里可以讨论仿射几何学 的对象（如简比、平行性等）和射影几何学的对象（如四点的 交比等），反过去，在射影几何学里不能讨论图形的仿射性 质，而在仿射几何学里也不能讨论图形的度量性质。

1872年，德国数学家克莱因在爱尔朗根大学提出著名的《爱 尔

朗根方案书》中提出用变换群对几何学停止分类，就是凡 是一种变换，它的全体能组成 ''群〃，就有相应的几何学， 而在每一种几何学里，主要研讨在相应的变换下的不变量和 不变性。

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