关于正规矩阵的一些充要条件

李东方;刘会彩

【摘 要】由矩阵对角化、矩阵分解、谱分解、矩阵实部和虚部及特征向量等方面论证了正规矩阵的充要条件. 【期刊名称】《林区教学》 【年(卷),期】2016(000)001 【总页数】3页(P-91)

【关键词】正规矩阵;对角化;谱分解;特征向量 【作 者】李东方;刘会彩

【作者单位】许昌电气职业学院公共教学部,河南许昌461000;许昌电气职业学院公共教学部,河南许昌461000 【正文语种】中 文 【中图分类】O151.21

通过对矩阵分解、谱分解、对角化及特征向量等方面的分析，论证构成正规矩阵的一系列充分必要条件。

首先对文中使用的符合作如下约定：Cn表示复数域上的n维列向量的集合；Mn(C)表示复数域上n×n矩阵的集合；AH表示矩阵A的共轭转置矩阵；A≥0表示矩阵A为半正定的。

定义1[1]：称是y的欧几里得长度，其中y∈C。 定义2：A∈Mn(C)是正规矩阵，若满足AAH=AHA。

定义3：A∈Mn(C)，设，则称矩阵B，C为A的实部和虚部，记B=ReA，C=ImA。 事实上，

引理1[1]：若A∈Mn(C)，则酉相似于一个上三角阵B，B的对角线上元素均为A的特征值，即A=UHBU，其中U为酉矩阵。

引理2：设A∈Mn(C)，则必存在酉阵U∈Un，与两个半正定厄米特阵H1,H2,使A=H1U=UH2且该分解式唯一。

命题1[1]：A∈Mn(C)是正规矩阵的充要条件是对所有y∈Cn,Ay与AHy的欧几里得长度相同。

证明：“⟹”设,则,又因为A是正规矩阵，故AAH=AHA，从而，结论得证。 “⟹”因为Ay与AHy的欧几里得长度相同，所以

即yHAHAy=yHAAHy,yH(AAH-AHA)y=0，由y的任意性，故AAH-AHA=0，所以A为正规矩阵。

命题2：A∈Mn(C)是正规矩阵的充要条件是AAH-AHA≥0。

证明：“⟹”A是正规矩阵，由定义知AAH=AHA，即AAH-AHA=0，从而AAH-AHA≥0。

“⟹”若AAH-AHA≥0，即AAH-AHA半正定，由tr(AHA-AAH)=0，从而AAH-AHA=0，即A是正规阵。

命题3[1]：A∈Mn(C)是正规矩阵的充要条件是对任意α∈C，有A+αE是正规矩阵。

证明：“⟹”A是正规阵，则AAH=AHA，所以对任意，故A+αE是正规矩阵。 充分性显然成立。 关于正规矩阵的对角化有

定理1[1]：A∈Mn(C)是正规矩阵的充要条件是存在n阶酉矩阵U，使

UHAU=diag(λ1,λ2,…,λn)，λi是A的特征根(i=1,2,…,n) 证明：“⟹”由引理1知，

，因为AAH=AHA，所以(UHAU)(UHAHU)=(UHAHU)(UHAU),即

展开有，所以，从而C1i=0(i=2,3,…,n) 同理可证，当i推论1[1]：A∈Mn(C)是正规矩阵的充要条件是是A的特征根。

证明：“⟹”A是正规阵，由定理1知，A=UΛUH，Λ=diag(λ1,λ2,…,λn),而AH=UΛHUH, 所以

“⟹”由引理1知，B=UHAU,B=(bij)n×n为上三角形矩阵，则

UHAAHU=BBH,trAAH=trBHB,所以，故，即bij=0,i证明：“⟹”由定理1知，存在酉矩阵U，使，所以， 则，那么AAH的特征根为。

“⟹”由引理1知，存在酉阵U,使UHAAHU=B,B为上三角阵，则tr(AAH)=trB,即,故由推论2知，A为正规阵。 关于正规矩阵的分解有

命题4：A∈Mn(C)是正规矩阵的充要条件是对任意自然数k，存在正规矩阵B，使A=Bk

证明：“⟹”由定理1知，存在酉矩阵U，使，λi为A的特征根。设，令，则即为所求。

“⟹”B为正规阵，所以BBH=BHB,AAH=Bk(Bk)H=(Bk)HBk=AHA，因此A为

正规阵。

命题5：A∈Mn(C)是正规矩阵的充分必要条件是A可分解为A=HU=UH,U为酉矩阵，H为半正定Hermite阵。

证明：由引理2知，A=H1U=UH,U为酉矩阵，H,H1为半正定Hermite阵。 “⟹”,

AAH=(UH)H(UH)=HHUHUH=HHH=H2

有,又H,H1为半正定Hermite阵，所以H=H1,从而UH=HU。 “⟹”显然成立，证明略。

定理2：A∈Mn(C)是正规矩阵的充分必要条件是

A=λ1P1+λ2P2+…+λnPn,λi∈C，Pi∈Cn×n,且(1)λ1,λ2，…,λn互不相同；(2)Pi是Hermite阵，是幂等阵，。

证明：“⟹”A是正规阵，由定理1知，存在酉阵U,使 λ1,λ2,…,λr是A的互不相同的特征值。 令，

则UHAU=λ1B1+λ2B2+…+λrBr，所以，

A=λ1UB1UH+λ2UB2UH+…+λrUBrUH=λ1P1+λ2P2+…+λrPr,Pi=UBiUH，可验证满足条件(1)—(5)。

“⟹”若A=(λ1P1+λ2P2+…+λrPr),满足(1)—(5)，则 所以A为正规阵。

命题6：A∈Mn(C),设,则A是正规阵的充要条件是 证明：“⟹”因为A是正规阵，所以AHA-AAH=0,而 因为,则,故 反之亦然。

命题7：A∈Mn(C)是正规阵的充要条件是A的每个特征向量也是AH的特征向量。 证明：“⟹”由定理1，存在酉阵U，使UHAU=diag(λ1,λ2,…,λn),λi为A的特征根。

则，把U按列分块，U=(U1,U2,…,Un)，由以上知，，即A与AH有相同的特征向量。“⟹”显然。

命题8：A∈Mn(C)是正规矩阵的充要条件是A有几个相互正交的单位向量作为它的特征向量。

证明：由命题7证明显然易得。

【相关文献】

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