1 数学建模经典例题
某学校有三个系共200名学生,其中甲系100名,乙系60名,丙系40名.若学生代表会议设20各级席位,公平而又简单的席位分配方法是按学生人数的比例分配,显然甲乙丙三系分别应占有10,6,4个席位,现在丙系有6名学生转入甲乙两系,各系人数如表第二列所示,仍按比例(表中第三列)分配席位时出现了小数(表中第四列),在将取得整数的19席分配完毕后,三席同意剩下的1席参照所谓惯例分给比例中小数最大的系,于是三系分别占有10,6,4席(表中第5列)
因为有20个代表会议在表决的时候可能出现10:10的局面,会议决定下一届增加一席,他们按照上述方法重新分配席位,计算结果见表6,7列,显然这个结果对丙系太不公平了.因为总席位增加一席,而丙系却由4席减为3席.
按照比例并参照惯例的席位分配
系别 学生 学生人数 20个席 20个席位 21个席位 21个席位 人数 的比例(% 的分配 的分配 的分配 的分配
比例分配 参照惯例 比例分配 参照惯例
的席位 的结果 的席位 的结果
甲 103 51.5 10.3 10 10.815 11
乙 63 31.5 6.3 6 6.615 7
丙 34 17.0 3.4 4 3.570 3
总和 200 100.0 20.0 20 21.000 21
要解决这个问题必须舍弃所谓惯例，找到衡量公平分配席位的指标，并由此建立新的分配分配方法
解答:
Pī/Nī表示第ī个单位每个代表名额代表的人数
采用相对标准,引入相对不公平概念.如果P1/n1>P2/n2,则说明A方是吃亏的,或说对A方不公平.
对A的相对不公平度:
rA(n1,n2)=(p1/n1-p2/n2)/(p2/n2)=(p1n2)/(p2n1)-1
对B的相对不公平度:
rB(n1,n2)=(p2n1)/(p1n2)-1
情形1:
P1/(n1+1)>p2/n2,表明即使A方再增加一个名额,仍然对A方不公平,所以这个名额当然给A方
情形2:
P1/(n1+1)rB(n1+1,n2)=p2(n1+1)/p1n2-1情形3:
(P1/n1)>p2/(n2+1) ,表明B增加一个名额后,就对A方不公平,这时A的相对不公平度为:
rA(n1,n2+1)=p1(n2+1)/p2n1-1
由以上三种情形可知,若情形1发生,名额给A方.否则须考查rB(n1+1,n2)和rA(n1,n2+1)的大小关系.如果rB由于rB(n1+1,n2)P2＊P2/n2(n2+1)< P1＊P1/n1(n1+1)若情形1发生,上式仍成立,记作
Qi=pi＊pi/ni(ni+1)
增加名额给Q值较大一方.
Q甲=103＊103/10(10+1)=96.445
Q乙=63＊63/6(6+1)=94.5
Q丙=34＊34/4(4+1)=57.8
因此名额加给甲班
