2016年陕西省安康市高考数学三模试卷(文科)(解析版)

2016年陕西省安康市高考数学三模试卷（文科）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．若集合P={x|4＜x＜10}，Q={x|3＜x＜7}，则P∪Q等于（ ） A．{x|3＜x＜7}B．{x|3＜x＜10}C．{x|3＜x＜4}D．{x|4＜x＜7} 2．设复数z=2+i，则复数z（1﹣z）的共轭复数为（ ） A．﹣1﹣3iB．﹣1+3iC．1+3iD．1﹣3i 3．

的值为（ ）

A．2B．1C．﹣2D．﹣1

4．如图，在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，且

=x+y，则（ ）

A．x=﹣1，y=﹣B．x=1，y=C．x=﹣1，y=D．x=1，y=﹣ 5．已知函数f（x）=（ωx+

sin（ωx﹣

）（ω＞0）的部分图象如图所示，则函数g（x）=cos

）的图象的一条对称轴方程为（ ）

A．x=B．x=C．x=D．x=

6．在等差数列{an}中，a3+a6=a4+5，且a2不大于1，则a8的取值范围是（ ）

A．（﹣∞，9]B．[9，+∞）C．（﹣∞，9）D．（9，+∞）

7．若x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+3y的最大值为（ ）

A．2B．3C．11D．18

8．执行如图所示的程序框图，则输出的S等于（ ）

第1页（共18页）

A． B． C． D．

9．一直三棱柱的每条棱长都是3，且每个顶点都在球O的表面上，则球O的半径为（ ） A．

B．

C．

D．3

10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）

A．72B．80C．86D．92 11．已知双曲线M：x2﹣

=1（b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1与双曲线的

一条渐近线平行的直线与另一条渐近线交于点P，若点P在焦点为（0，1）的抛物线y=mx2上，则双曲线M的离心率为（ ） A．

B．

C．

D．

12．设函数f（x）=3|x﹣1|﹣2x+a，g（x）=2﹣x2，若在区间（0，3）上，f（x）的图象在g（x）的图象的上方，则实数a的取值范围为（ ） A．（2，+∞）B．[2，+∞）C．（3，+∞）D．[3，+∞）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分. 13．某公司13个部门接受的快递的数量如茎叶图所示，则这13个部门接收的快递的数量的中位数为 ．

14．椭圆mx2+y2=1（m＞1）的短轴长为

m，则m= ．

第2页（共18页）

15．若函数f（x）=（a+2）x3﹣ax2+2x为奇函数，则曲线y=f（x）在点（﹣1，f（﹣1））处的切线方程为 ．

16．记＜n＞表示正整数n的个位数，设Sn为数列{bn}的前n项和，an=＜2n＞，bn=an+2n，则S4n= ．

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．如图，在四边形ABCB′，△ABC≌△AB′C，AB⊥AB′，cos∠BCB′=，BC=2（1）求sin∠BCA；

（2）求BB′及AC′的长．

．

18．已知某中学高三文科班学生的数学与地理的水平测试成绩抽样统计如下表： X A B C 人数 Y A 14 40 10 B a 36 b C 28 8 34 若抽取学生n人，成绩分为A（优秀）、B（良好）、C（及格）三个等级，设x，y分别表示数学成绩与地理成绩，例如：表中地理成绩为A等级的共有14+40+10=人，数学成绩为B等级且地理成绩为C等级的有8人．已知x与y均为A等级的概率是0.07． （1）设在该样本中，数学成绩优秀率是30%，求a，b的值；

（2）已知a≥8，b≥6，求数学成绩为A等级的人数比C等级的人数多的概率．

19．如图，在四棱锥A﹣EFCB中，△AEF为等边三角形，平面AEF⊥平面EFCB，EF=2，四边形EFCB是高为的等腰梯形，EF∥BC，O为EF的中点． （1）求证：AO⊥CF；

（2）求O到平面ABC的距离．

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20．已知圆M与圆N：（x﹣）2+（y+）2=r2关于直线y=x对称，且点D（﹣，）在圆M上

（1）判断圆M与圆N的位置关系

（2）设P为圆M上任意一点，A（﹣1，）．B（1，），

与

不共线，PG为∠APB

的平分线，且交AB于G，求证△PBG与△APG的面积之比为定值． 21．设函数f（x）=﹣2cosx﹣x，g（x）=﹣lnx﹣（k＞0）． （1）求函数f（x）的单调增区间；

（2）若对任意x1∈[0，]，总存在x2∈[，1]，使得f（x1）＜g（x2），求实数k的取值范围．

四.请考生从第22、23、24三题中任选一题作答.注意：只能做所选的题目.如果多做，则按所做的第一个题计分，解答时请写清题号.[选修4-1：几何证明选讲]

22．如图，△ABO三边上的点C、D、E都在⊙O上，已知AB∥DE，AC=CB． （l）求证：直线AB与⊙O相切；

（2）若AD=2，且tan∠ACD=，求AO的长．

[选修4-4：坐标系与参数方程]

23．在极坐标中，直线l的方程为ρ（3cosθ﹣4sinθ）=2，曲线C的方程为ρ=m（m＞0）． （1）求直线l与极轴的交点到极点的距离；

（2）若曲线C上恰好存在两个点到直线l的距离为，求实数m的取值范围．

[选修4-5：不等式选讲]

24．已知不等式|x+2|+|x﹣2丨＜10的解集为A． （1）求集合A；

（2）若∀a，b∈A，x∈R+，不等式a+b＞（x﹣4）（﹣9）+m恒成立，求实数m的取值范围．

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2016年陕西省安康市高考数学三模试卷（文科）

参与试题解析

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．若集合P={x|4＜x＜10}，Q={x|3＜x＜7}，则P∪Q等于（ ） A．{x|3＜x＜7}B．{x|3＜x＜10}C．{x|3＜x＜4}D．{x|4＜x＜7} 【考点】并集及其运算．

【分析】直接利用集合的并集的运算法则，求出P∪Q即可．

【解答】解：集合P={x|4＜x＜10}，Q={x|3＜x＜7}，则P∪Q={x|3＜x＜10}， 故选：B．

2．设复数z=2+i，则复数z（1﹣z）的共轭复数为（ ） A．﹣1﹣3iB．﹣1+3iC．1+3iD．1﹣3i 【考点】复数代数形式的乘除运算． 【分析】把z=2+i代入z（1﹣z），利用复数代数形式的乘除运算化简，然后求得复数z（1﹣z）的共轭复数．

【解答】解：∵z=2+i，∴z（1﹣z）=（2+i）（﹣1﹣i）=﹣1﹣3i， ∴复数z（1﹣z）的共轭复数为﹣1+3i． 故选：B． 3．

的值为（ ）

A．2B．1C．﹣2D．﹣1

【考点】运用诱导公式化简求值．

【分析】由条件利用诱导公式进行化简所给的式子，可得结果． 【解答】解：

=

=

=1，

故选：B．

4．如图，在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，且

=x+y，则（ ）

A．x=﹣1，y=﹣B．x=1，y=C．x=﹣1，y=D．x=1，y=﹣ 【考点】平面向量的基本定理及其意义． 【分析】利用平面向量的三角形法则用

表示出

． ，

，

【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∵E是BC中点，∴

=﹣

=﹣

．

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∴==．∴x=1，y=﹣．

故选D：．

5．已知函数f（x）=（ωx+

sin（ωx﹣

）（ω＞0）的部分图象如图所示，则函数g（x）=cos

）的图象的一条对称轴方程为（ ）

A．x=B．x=C．x=D．x=

【考点】正弦函数的图象．

【分析】由周期求出ω，可得g（x）的解析式，再根据余弦函数的图象的对称性求得g（x）的图象的对称轴方程． 【解答】解：根据函数f（x）=﹣

，∴ω=2，

）=cos（2x+

），令2x+﹣

=kπ，求得x=

﹣，

，k∈Z，

sin（ωx﹣

）（ω＞0）的部分图象，可得

=

则函数g（x）=cos（ωx+

故函数g（x）的图象的对称轴方程为x=，k∈Z，当k=1时，x=

故选：B．

6．在等差数列{an}中，a3+a6=a4+5，且a2不大于1，则a8的取值范围是（ ） A．（﹣∞，9]B．[9，+∞）C．（﹣∞，9）D．（9，+∞） 【考点】等差数列的通项公式．

【分析】由等差数列的性质得a3+a6=a4+a5，从而a5=5，又a2≤1，进而d≥，由此能求出a8的取值范围．

【解答】解：∵在等差数列{an}中，a3+a6=a4+5，且a2不大于1， 又a3+a6=a4+a5， ∴a5=5，又a2≤1， ∴5﹣3d≤1，∴d≥， ∴a8=a5+3d≥5+4=9．

∴a8的取值范围是[9，+∞）． 故选：B．

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7．若x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+3y的最大值为（ ）

A．2B．3C．11D．18

【考点】简单线性规划．

【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．

【解答】解：作出不等式对应的平面区域（阴影部分）， 由z=2x+3y，得y=平移直线y=

，

，由图象可知当直线y=

经过点C时，直线y=

的

截距最大，此时z最大． 由

，解得

，

即C（3，4）．

此时z的最大值为z=2×3+3×4=6+12=18， 故选：D．

8．执行如图所示的程序框图，则输出的S等于（ ）

A． B． C． D． 【考点】程序框图．

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【分析】根据程序框图的流程，依次写出每次循环得到的S，i的值，当S=时，满足条件S＜1，退出循环，输出S的值为． 【解答】解：模拟执行程序，可得 S=600，i=1

执行循环体，S=600，i=2

不满足条件S＜1，执行循环体，S=300，i=3 不满足条件S＜1，执行循环体，S=100，i=4 不满足条件S＜1，执行循环体，S=25，i=5 不满足条件S＜1，执行循环体，S=5，i=6 不满足条件S＜1，执行循环体，S=，i=7 满足条件S＜1，退出循环，输出S的值为．

故选：C．

9．一直三棱柱的每条棱长都是3，且每个顶点都在球O的表面上，则球O的半径为（ ） A．

B．

C．

D．3

【考点】球的体积和表面积． 【分析】正三棱柱的两个底面的中心的连线的中点就是球的球心，球心与顶点的连线长就是半径，利用勾股定理求出球的半径．

【解答】解：正三棱柱的两个底面的中心的连线的中点就是球的球心，球心与顶点的连线长就是半径， 所以，r=

=

．

故选：A．

10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）

A．72B．80C．86D．92

【考点】由三视图求面积、体积．

【分析】利用三视图复原的几何体，画出图形，利用三视图的数据求解几何体的表面积即可．

【解答】解：如图：三视图复原的几何体是五棱柱ABCEF﹣A1B1C1E1F1， 其中底面面积S=

=14，

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底面周长C=1+4+5+1+5=16，高为h=4， 表面积为：2S+Ch=28+=92． 故选：D．

11．已知双曲线M：x2﹣

=1（b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1与双曲线的

一条渐近线平行的直线与另一条渐近线交于点P，若点P在焦点为（0，1）的抛物线y=mx2上，则双曲线M的离心率为（ ） A．

B．

C．

D．

【考点】双曲线的简单性质．

【分析】根据条件求出交点坐标，结合点与抛物线的关系建立方程进行求解即可．

【解答】解：过点F1（﹣c，0）与双曲线的一条渐近线y=x平行的直线方程为y=b（x+c），与另一条渐近线y=﹣bx联立得

得

，即P（﹣，

），

由y=mx2上得x2=y，则焦点坐标为（0，由∴

=1得m=， =×

，即c=8b，

），

∵c2=b2+1， ∴b2=

，即e=

=

，

故选：C

12．设函数f（x）=3|x﹣1|﹣2x+a，g（x）=2﹣x2，若在区间（0，3）上，f（x）的图象在g（x）的图象的上方，则实数a的取值范围为（ ） A．（2，+∞）B．[2，+∞）C．（3，+∞）D．[3，+∞） 【考点】函数恒成立问题．

【分析】由题意可得3|x﹣1|﹣2x+a＞2﹣x2在0＜x＜3上恒成立，即有a＞2﹣x2+2x﹣3|x﹣1|的最大值，由二次函数和指数函数的最值的求法，可得x=1时，右边取得最大值，即可得到a的范围．

【解答】解：由题意可得3|x﹣1|﹣2x+a＞2﹣x2在0＜x＜3上恒成立，

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即有a＞2﹣x2+2x﹣3|x﹣1|的最大值，

由h（x）=2﹣x2+2x﹣3|x﹣1|=3﹣（x﹣1）2﹣3|x﹣1|，

当x=1∈（0，3）时，h（x）取得最大值，且为3﹣0﹣1=2， 即有a＞2． 故选A．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分. 13．某公司13个部门接受的快递的数量如茎叶图所示，则这13个部门接收的快递的数量的中位数为 10 ．

【考点】众数、中位数、平均数．

【分析】利用茎图的性质和中位数的定义直接求解． 【解答】解：由茎叶图的性质得：

某公司13个部门接受的快递的数量按从小到大的顺序排的第7个数为中位数， ∵第7个数是10，

∴这13个部门接收的快递的数量的中位数为10． 故答案为：10．

14．椭圆mx2+y2=1（m＞1）的短轴长为【考点】椭圆的简单性质．

【分析】根据题意，将椭圆mx2+y2=1的方程变形为标准方程可得

+

=1，比较与1

m，则m= 2 ．

的大小可得该椭圆的焦点在y轴上，且b=的值，即可得答案．

，进而依据题意可得m=2，解可得m

【解答】解：根据题意，椭圆mx2+y2=1的方程可以变形为

+=1，

又由m＞1，则＜1，

故该椭圆的焦点在y轴上，则b=又由该椭圆的短轴长为

m，则有

， m=2

，

解可得m=2； 故答案为：2．

15．若函数f（x）=（a+2）x3﹣ax2+2x为奇函数，则曲线y=f（x）在点（﹣1，f（﹣1））处的切线方程为 y=8x+4 ．

【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．

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【分析】由奇函数的定义可得f（﹣x）=﹣f（x），求得a=0，求出f（x）的导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得所求切线的方程．

【解答】解：函数f（x）=（a+2）x3﹣ax2+2x为奇函数， 可得f（﹣x）=﹣f（x），即有﹣（a+2）x3﹣ax2﹣2x=﹣（a+2）x3+ax2﹣2x， 可得a=0，f（x）=2x3+2x，

f（x）的导数为f′（x）=6x2+2， 可得y=f（x）在点（﹣1，f（﹣1））处的切线斜率为6+2=8，切点为（﹣1，﹣4）， 即有y=f（x）在点（﹣1，f（﹣1））处的切线方程为y+4=8（x+1）， 即为y=8x+4．

故答案为：y=8x+4．

16．记＜n＞表示正整数n的个位数，设Sn为数列{bn}的前n项和，an=＜2n＞，bn=an+2n，则S4n= 24n+1+20n﹣2 ． 【考点】数列的求和．

【分析】先判断出{an}的周期为4，再根据的数列的求和公式计算即可． 【解答】解：∵an=＜2n＞，

∴a1=a5=2，a2=a6=4，a3=a7=8，a4=a8=6， ∴{an}的周期为4，

+=n+∴S4n=a1+21+a2+22+…+an+2n=（a1+a2+…+a4n）（21+22+…+24n）（2+4+8+6）=24n+1+20n﹣2，

故答案为：24n+1+20n﹣2

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．如图，在四边形ABCB′，△ABC≌△AB′C，AB⊥AB′，cos∠BCB′=，BC=2（1）求sin∠BCA；

（2）求BB′及AC′的长．

．

【考点】相似三角形的性质．

【分析】（1）利用△ABC≌△AB′C，可得∠BCA=∠B′CA，利用cos∠BCB′=，即可求sin∠BCA；

（2）利用余弦定理求出BB′，利用正弦定理求出BB′，即可求出AC′的长． 【解答】解：（1）∵△ABC≌△AB′C，

第11页（共18页）

∴∠BCA=∠B′CA，

∴cos∠BCB′=2cos2∠BCA﹣1， ∵cos∠BCB′=， ∴cos2∠BCA=， ∴sin2∠BCA=， ∴sin∠BCA=（2）∵BC=2∴BB′2=8+8﹣2×∴BB′=2 ∵

，∴AB=

，

=

，∴AC=

+1．

； ，

=4，

设BB′与AC交于O，则AO=1，CO=

18．已知某中学高三文科班学生的数学与地理的水平测试成绩抽样统计如下表： X 人数 Y A B C A B C 14 a 28 40 36 8 10 b 34 若抽取学生n人，成绩分为A（优秀）、B（良好）、C（及格）三个等级，设x，y分别表示数学成绩与地理成绩，例如：表中地理成绩为A等级的共有14+40+10=人，数学成绩为B等级且地理成绩为C等级的有8人．已知x与y均为A等级的概率是0.07． （1）设在该样本中，数学成绩优秀率是30%，求a，b的值；

（2）已知a≥8，b≥6，求数学成绩为A等级的人数比C等级的人数多的概率． 【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率． 【分析】（1）由频率=

，能求出a，b的值．

（2）由14+a+28＞10+b+34，得a＞b+2．由此利用列举法能求出所求概率． 【解答】解：（1）由频率=∴

，故a=18，

，得到

，

而14+a+28+40+36+8+10+b+34=200， ∴b=12．…

（2）∵a+b=30且a≥8，b≥6，

∴由14+a+28＞10+b+34，得a＞b+2．

第12页（共18页）

（a，b）的所有结果为（8，22），（9，21），（10，20），（11，19），…（24，6）共17组， 其中a＞b+2的共8 组， 故所求概率为：

．…

19．如图，在四棱锥A﹣EFCB中，△AEF为等边三角形，平面AEF⊥平面EFCB，EF=2，四边形EFCB是高为的等腰梯形，EF∥BC，O为EF的中点． （1）求证：AO⊥CF；

（2）求O到平面ABC的距离．

【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面垂直的性质． 【分析】（1）证明AO⊥EF，推出AO⊥平面EFCB，即可证明AO⊥CF．

（2）取BC的中点G，连接OG．推出OG⊥BC，OA⊥BC，得到BC⊥平面AOG，过O作OH⊥AG，垂足为H，说明OH⊥平面ABC，O到平面ABC的距离为OH，求解即可． 【解答】（1）证明：因为△AEF等边三角形，O为EF的中点，所以AO⊥EF… 又因为平面AEF⊥平面EFCB，AO⊂平面AEF，平面AEF∩平面EFCB=EF， 所以AO⊥平面EFCB，…

又CF⊂平面EFCB，所以AO⊥CF… （2）解：取BC的中点G，连接OG． 由题设知，OG⊥BC…

由（1）知AO⊥平面EFCB，

又BC⊂平面EFCB，所以OA⊥BC，因为OG∩OA=O，所以BC⊥平面AOG…

过O作OH⊥AG，垂足为H，则BC⊥OH，因为AG∩BC=G，所以OH⊥平面ABC． … 因为

，所以

，

．（另外用等体积法亦可）…

即O到平面ABC的距离为

20．已知圆M与圆N：（x﹣）2+（y+）2=r2关于直线y=x对称，且点D（﹣，）在圆M上

（1）判断圆M与圆N的位置关系

第13页（共18页）

（2）设P为圆M上任意一点，A（﹣1，）．B（1，），与不共线，PG为∠APB

的平分线，且交AB于G，求证△PBG与△APG的面积之比为定值． 【考点】直线与圆的位置关系． 【分析】（1）先求得点N关于直线y=x对称点M的坐标，可得圆M的方程，再根据圆心距大于两圆的半径之和，可得两圆相离．

（2）设∠PAB=2α，则∠APG=∠BPG=α，可得 ==．设点

P（x，y），求得PA2和 PB2的值，可得

的值．

【解答】解：（1）由于点N（，﹣）关于直线y=x对称点M（﹣，）， 故圆M的方程为：（x+）2+（y﹣）2=r2． 把点D（﹣，）在圆M上，可得r2=可得圆N：（x﹣）2+（y+）2=

，故圆M的方程为：（x+）2+（y﹣）2=

．

，N（，﹣），

根据|MN|==＞，故两圆相离．

（2）设∠PAB=2α，则∠APG=∠BPG=α，∴==．

设点P（x，y），则（x+）2+（y﹣）2=PA2=（x+1）2+（y﹣）2 =（x+1）2+PB2=（x﹣1）2+（y﹣）2 =（x﹣1）2+

．

x； x；

﹣（x+）2=﹣（x+）2=﹣

∴

=4，∴=2，即 =2．

21．设函数f（x）=﹣2cosx﹣x，g（x）=﹣lnx﹣（k＞0）． （1）求函数f（x）的单调增区间；

（2）若对任意x1∈[0，]，总存在x2∈[，1]，使得f（x1）＜g（x2），求实数k的取值范围．

【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．

第14页（共18页）

【分析】（1）将f（x）求导，令f′（x）＞0，根据三角函数图象及性质，即可解得f（x）的单调增区间；

（2）根据x的取值范围，函数f（x）的单调性及最大值，根据k的取值范围，分别求得g（x）的最大值，使得f（x1）＜g（x2），则需要f（x）max＜g（x）max，即可求出满足条件的实数k的取值范围． 【解答】解：（1）f′（x）=2sinx﹣1， 令f′（x）＞0，得2sinx﹣1＞0， 解得：2kπ+

＜x＜2kπ+

，k∈Z， ，2kπ+

）k∈Z，

∴f（x）递增区间为（2kπ+

（2）当x∈[0，]，f′（x）=2sinx﹣1＜0， ∴f（x）在[0，]，上递减， ∴f（x）max=f（0）=﹣2， 当0＜k≤时，g′（x）=﹣+

=

，

∵x∈[，1]，g′（x）≤0， ∴g（x）在[，1]上递减， ∴g（x）max=g（）=ln2﹣2k，

由题意可知，ln2﹣2k＞﹣2，又0＜k≤， ∴0＜k≤，

当k≥1时，g′（x）≥0，g（x）在[，1]上递增， ∴g（x）max=g（1）=﹣k＞﹣2， ∴1≤k＜2，

当＜k＜1时，当≤x＜k，g′（x）＜0， 当k＜x≤1，g′（x）＜0，

∴g（x）max=g（k）=﹣lnk﹣1＞﹣2， ∴＜k＜1，

综上，k∈（0，2）．

四.请考生从第22、23、24三题中任选一题作答.注意：只能做所选的题目.如果多做，则按所做的第一个题计分，解答时请写清题号.[选修4-1：几何证明选讲]

22．如图，△ABO三边上的点C、D、E都在⊙O上，已知AB∥DE，AC=CB．

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（l）求证：直线AB与⊙O相切；

（2）若AD=2，且tan∠ACD=，求AO的长．

【考点】与圆有关的比例线段；圆的切线的判定定理的证明． 【分析】（1）连结OC，OC⊥AB，推导出OA=OB，OC⊥AB，由此能证明直线AB与⊙O相切．

（2）延长DO交⊙O于点F，连结FC，由弦切角定理得△ACD∽△AFC，从而此能求出AO的长．

【解答】证明：（1）∵AB∥DE，∴

，又OD=OE，∴OA=OB，

=，由

如图，连结OC，∵AC=CB，∴OC⊥AB， 又点C在⊙O上，∴直线AB与⊙O相切． 解：（2）如图，延长DO交⊙O于点F，连结FC， 由（1）知AB是⊙O的切线，∴弦切角∠ACD=∠F， ∴△ACD∽△AFC，∴tan∠ACD=tan∠F=， 又∠DCF=90°，∴

=，

∵AD=2，∴AC=6，

又AC2=AD•AF，∴2（2+2r）=62，∴r=8， ∴AO=2+8=10．

[选修4-4：坐标系与参数方程]

23．在极坐标中，直线l的方程为ρ（3cosθ﹣4sinθ）=2，曲线C的方程为ρ=m（m＞0）． （1）求直线l与极轴的交点到极点的距离；

（2）若曲线C上恰好存在两个点到直线l的距离为，求实数m的取值范围．

【考点】简单曲线的极坐标方程． 【分析】（1）令θ=0，得ρ（3cos0﹣4sin0）=2，由此能求出直线l与极轴的交点到极点的距离．

（2）先求出直线l和曲线C的直角坐标方程，由曲线C表示以原点为圆心，以m为半径的圆，且原点到直线l的距离为，结合题设条件能求出实数m的取值范围．

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【解答】解：（1）∵直线l的方程为ρ（3cosθ﹣4sinθ）=2， ∴令θ=0，得ρ（3cos0﹣4sin0）=2， ∴3ρ=2，

∴直线l与极轴的交点到极点的距离ρ=．

（2）直线l的直角坐标方程为3x﹣4y﹣2=0，曲线C的直角坐标方程为x2+y2=m2， 曲线C表示以原点为圆心，以m为半径的圆，且原点到直线l的距离为， ∵曲线C上恰好存在两个点到直线l的距离为， ∴

．

∴实数m的取值范围是（，）．

[选修4-5：不等式选讲]

24．已知不等式|x+2|+|x﹣2丨＜10的解集为A． （1）求集合A；

（2）若∀a，b∈A，x∈R+，不等式a+b＞（x﹣4）（﹣9）+m恒成立，求实数m的取值范围．

【考点】基本不等式；绝对值不等式的解法． 【分析】（1）化不等式|x+2|+|x﹣2丨＜10为3个不等式组，解不等式组可得；

（2）由题意可得﹣10＜a+b＜10，由基本不等式可得（x﹣4）（﹣9）≤25，由恒成立可得m+25≤﹣10，解不等式可得．

【解答】解：（1）不等式|x+2|+|x﹣2丨＜10等价于

，

或或，

解得﹣5＜x＜5，故可得集合A=（﹣5，5）； （2）∵a，b∈A=（﹣5，5），x∈R+， ∴﹣10＜a+b＜10，

∴（x﹣4）（﹣9）=1﹣﹣9x+36 =37﹣（+9x）≤37﹣2

=25，

∵不等式a+b＞（x﹣4）（﹣9）+m恒成立， ∴m+25≤﹣10，解得m≤﹣35

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2016年7月16日

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