平面向量的数量积专题试题
A组专项基础训练
一、选择题
1．已知向量a＝(1，－1)，b＝(2，x)，若a·b＝1，则x等于
A．－1
1
B．－
2
1
C. 2
( ) D．1
2．设x，y∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)，且a⊥c，b∥c，则|a＋b|等于( )
A.5 B.10 C．25 D．10
3． 已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)．若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c等于( )
77A.， 93777777
B.－，－ C.， D.－，－
933399
( )
→→
4． 在△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝10，则AB·AC等于
3A．－
2二、填空题
2B．－ 3
2 C. 3
3
D. 2
5．已知向量a，b夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝10，则|b|＝________. →→
6．在△ABC中，M是BC的中点，AM＝3，BC＝10，则AB·AC＝________.
7． 已知a＝(2，－1)，b＝(λ，3)，若a与b的夹角为钝角，则λ的取值范围是__________． 三、解答题
8．已知a＝(1,2)，b＝(－2，n) (n>1)，a与b的夹角是45°.
(1)求b； (2)若c与b同向，且a与c－a垂直，求c.
9．设两个向量e1、e2满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1、e2的夹角为60°，若向量2te1＋7e2与向量e1＋te2的夹
角为钝角，求实数t的取值范围．
1
B组专项能力提升
一、选择题
→→
1．在△ABC中，AB＝2，AC＝3，AB·BC＝1，则BC等于
A.3
B.7
C．22
( )
D.23
2． 已知|a|＝6，|b|＝3，a·b＝－12，则向量a在向量b方向上的投影是( )
A．－4 B．4 C．－2 D．2
|PA|＋|PB|
3．在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则等于( ) 2|PC|
A．2 二、填空题
4．设向量a＝(1,2m)，b＝(m＋1,1)，c＝(2，m)．若(a＋c)⊥b，则|a|＝________.
5．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2，点E为BC的中点，点
B．4
C．5
D．10
2
2
F在边CD上，若AB·AF＝2，则AE·BF的值是________．
→→|BM||CN|
6．在矩形ABCD中，边AB、AD的长分别为2、1，若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足＝，
→→|BC||CD|
→→
则AM·AN的取值范围是________．
三、解答题
31
7．设平面上有两个向量a＝(cos α，sin α) (0°≤α<360°)，b＝－，.(1)求证：向量a＋b与
22
→→→→
a－b垂直；(2)当向量3a＋b与a－3b的模相等时，求α的大小．
2
平面向量的数量积答案 A组专项基础训练
一、选择题
1．已知向量a＝(1，－1)，b＝(2，x)，若a·b＝1，则x等于
( ) A．－1
B．－12
C.1
2
D．1
答案D
解析a·b＝(1，－1)·(2，x)＝2－x＝1⇒x＝1.
2．设x，y∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)，且a⊥c，b∥c，则|a＋b|等于
( )
A.5 B.10 C．25 D．10 答案B
解析∵a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)， 由a⊥c得a·c＝0，即2x－4＝0，∴x＝2. 由b∥c，得1×(－4)－2y＝0，∴y＝－2. ∴a＝(2,1)，b＝(1，－2)．
∴a＋b＝(3，－1)，∴|a＋b|＝32
＋－12
＝10.
3． 已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)．若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c等于( )
A.79，73 B.－73，－79 C.73，79 D.－7
79
，－3
答案D
解析设c＝(x，y)，则c＋a＝(x＋1，y＋2)， 又(c＋a)∥b，∴2(y＋2)＋3(x＋1)＝0.① 又c⊥(a＋b)，∴(x，y)·(3，－1)＝3x－y＝0.② 联立①②解得x＝－77
9，y＝－3
.
4． 在△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝10，则→AB·→
AC等于
( )
A．－32
B．－23
C.2
3
D.3
2
答案D
解析由于→AB·→AC＝|→AB|·|→
AC|·cos∠BAC
3
1→23→2→21
＝(|AB|＋|AC|－|BC|)＝×(9＋4－10)＝. 222二、填空题(每小题5分，共15分)
5． 已知向量a，b夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝10，则|b|＝________.
答案32
解析∵a，b的夹角为45°，|a|＝1， ∴a·b＝|a|·|b|cos 45°＝|2a－b|＝4－4×
2
2
|b|， 2
22
|b|＋|b|＝10，∴|b|＝32. 2
→→
6．在△ABC中，M是BC的中点，AM＝3，BC＝10，则AB·AC＝________.
答案－16 解析如图所示， →→
AB＝AM＋MB， AC＝AM＋MC
→→＝AM－MB，
→→→→→→∴AB·AC＝(AM＋MB)·(AM－MB)
→→→2→2
＝AM2－MB2＝|AM|－|MB|＝9－25＝－16.
7． 已知a＝(2，－1)，b＝(λ，3)，若a与b的夹角为钝角，则λ的取值范围是__________．
3答案(－∞，－6)∪－6， 2
3
解析由a·b<0，即2λ－3<0，解得λ<，由a∥b得：
23
6＝－λ，即λ＝－6.因此λ<，且λ≠－6.
2三、解答题
8．已知a＝(1,2)，b＝(－2，n) (n>1)，a与b的夹角是45°.
(1)求b；
(2)若c与b同向，且a与c－a垂直，求c. 解(1)a·b＝2n－2，|a|＝5，|b|＝n＋4， ∴cos 45°＝
22
＝，∴3n－16n－12＝0， 25·n＋422n－2
2→→→→
2
∴n＝6或n＝－(舍)，∴b＝(－2,6)．
3(2)由(1)知，a·b＝10，|a|＝5.
4
2
又c与b同向，故可设c＝λb (λ>0)，(c－a)·a＝0， ∴λb·a－|a|＝0，∴λ＝1
∴c＝b＝(－1,3)．
2
9．设两个向量e1、e2满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1、e2的夹角为60°，若向量2te1＋7e2与向量e1＋te2的夹
角为钝角，求实数t的取值范围．
1
解∵e1·e2＝|e1|·|e2|·cos 60°＝2×1×＝1，
2∴(2te1＋7e2)·(e1＋te2) ＝2te1＋7te2＋(2t＋7)e1·e2 ＝8t＋7t＋2t＋7＝2t＋15t＋7. 12
由已知得2t＋15t＋7<0，解得－72当向量2te1＋7e2与向量e1＋te2反向时， 设2te1＋7e2＝λ(e1＋te2)，λ<0，2t＝λ，则
λt＝7
2
2
2
2
22
|a|
2
b·a＝
51
＝， 102
⇒2t＝7⇒t＝－2
1414或t＝(舍)． 22
故t的取值范围为(－7，－
14141)∪(－，－)． 222
B组专项能力提升
一、选择题(每小题5分，共15分)
→→
1．在△ABC中，AB＝2，AC＝3，AB·BC＝1，则BC等于
A.3 答案A
→→
解析∵AB·BC＝1，且AB＝2，
→→→→
∴1＝|AB||BC|cos(π－B)，∴|AB||BC|cos B＝－1. 在△ABC中，|AC|＝|AB|＋|BC|－2|AB||BC|cos B， 即9＝4＋|BC|－2×(－1)． ∴|BC|＝3.
2． 已知|a|＝6，|b|＝3，a·b＝－12，则向量a在向量b方向上的投影是( )
A．－4 B．4 C．－2 D．2 答案A
解析a·b为向量b的模与向量a在向量b方向上的投影的乘积，得a·b＝|b||a|·cos〈a，b〉，即－12＝3|a|·cos〈a，b〉，
5
2
2
2
2
( )
B.7 C．22 D.23
∴|a|·cos〈a，b〉＝－4.
|PA|＋|PB|
3． 在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则等于( ) 2|PC|
A．2 答案D
→→→→2→2→→→2
解析∵PA＝CA－CP，∴|PA|＝CA－2CP·CA＋CP. →→→→2→2→→→2∵PB＝CB－CP，∴|PB|＝CB－2CP·CB＋CP. →2→2∴|PA|＋|PB|
→2→2→→→→2＝(CA＋CB)－2CP·(CA＋CB)＋2CP →2→→→2＝AB－2CP·2CD＋2CP. →2→2→→又AB＝16CP，CD＝2CP，
→2→2→2
代入上式整理得|PA|＋|PB|＝10|CP|，故所求值为10. 二、填空题
4．设向量a＝(1,2m)，b＝(m＋1,1)，c＝(2，m)．若(a＋c)⊥b，则|a|＝________.
答案2
解析利用向量数量积的坐标运算求解．
B．4
C．5
D．10
2
2
a＋c＝(1,2m)＋(2，m)＝(3,3m)．∵(a＋c)⊥b，
∴(a＋c)·b＝(3,3m)·(m＋1,1)＝6m＋3＝0， 1
∴m＝－.∴a＝(1，－1)，∴|a|＝2.
2
5．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2，点E为BC的中点，点
F在边CD上，若AB·AF＝2，则AE·BF的值是________．
答案2
解析方法一 坐标法．
以A为坐标原点，AB，AD所在直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(2，0)，E(2，1)，F(x,2)．
→→→→
故AB＝(2，0)，AF＝(x,2)，AE＝(2，1)，BF＝(x－2，2)， →→
∴AB·AF＝(2，0)·(x,2)＝2x.
→→→
又AB·AF＝2，∴x＝1.∴BF＝(1－2，2)． →→
∴AE·BF＝(2，1)·(1－2，2)＝2－2＋2＝2. →→→→
方法二用AB，BC表示AE，BF是关键．
6
→→→→
→→→→设DF＝xAB，则CF＝(x－1)AB. →
AB·AF＝AB·(AD＋DF)
→→→→2
＝AB·(AD＋xAB)＝xAB＝2x， →→
又∵AB·AF＝2，∴2x＝2， ∴x＝
2→→→→2→.∴BF＝BC＋CF＝BC＋－1AB. 22
→→→→
→→→→→→2
∴AE·BF＝(AB＋BE)·BC＋－1AB
2→1→→2→＝AB＋BCBC＋－1AB
22
＝＝
2→21→2－1AB＋BC
22
12
－1×2＋×4＝2.
22
→→
|BM||CN|
6．在矩形ABCD中，边AB、AD的长分别为2、1，若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足＝，
→→|BC||CD|
→→
则AM·AN的取值范围是________． 答案[1,4]
→→→→
解析利用基向量法，把AM，AN都用AB，AD表示，再求数量积． 如图所示， →→|BM||CN|设＝ →→|BC||CD|
→→
＝λ(0≤λ≤1)，则BM＝λBC， →
CN＝λCD，DN＝CN－CD
→
＝(λ－1)CD，
→→→→→→∴AM·AN＝(AB＋BM)·(AD＋DN) →→→→＝(AB＋λBC)·[AD＋(λ－1)CD] →→→→
＝(λ－1)AB·CD＋λBC·AD ＝4(1－λ)＋λ＝4－3λ，
→→
∴当λ＝0时，AM·AN取得最大值4； →→
当λ＝1时，AM·AN取得最小值1.
7
→→→→
→→
∴AM·AN∈[1,4]． 三、解答题
31
7．设平面上有两个向量a＝(cos α，sin α) (0°≤α<360°)，b＝－，.
22
(1)求证：向量a＋b与a－b垂直；
(2)当向量3a＋b与a－3b的模相等时，求α的大小． (1)证明 ∵(a＋b)·(a－b)＝a2
－b2
＝|a|2－|b|2＝(cos2α＋sin2
α)－14＋34
＝0，
故向量a＋b与a－b垂直．
(2)解由|3a＋b|＝|a－3b|，两边平方得 3|a|2
＋23a·b＋|b|2
＝|a|2
－23a·b＋3|b|2
， 所以2(|a|2
－|b|2
)＋43a·b＝0，而|a|＝|b|， 所以a·b＝0，即－12
·cos α＋32·sin α＝0， 即cos(α＋60°)＝0，∴α＋60°＝k·180°＋90°，即α＝k·180°＋30°，k∈Z，
又0°≤α<360°，则α＝30°或α＝210°.
8
k∈Z，
