2020届陕西省安康中学高三第三次模拟考试数学(文)试题

2020届安康中学高三第三次模拟考试卷

文 科 数 学

注意事项：

1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形 码粘贴在答题卡上的指定位置。

号 位2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂封座黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草 稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

密 第Ⅰ卷

号一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中， 不场考只有一项是符合题目要求的．

1．若集合Ayy0，AIBB，则集合B不可能是（ ）

订 A． yyx,x0 B．yy1x 2,xR

 C．yylogx,x0 D．

装 号2．已知i是虚数单位，则12i证2i等于（ ） 考准A．i

B．45i C．4535i

D．i

只 3．过点A2,3且垂直于直线2xy50的直线方程为（ ） A．x2y50

B．2xy70

C．x2y30

D．x2y40

卷 4．下列函数f(x)中，满足“对任意的x1,x2(,0)，当x1x2时，总有f(x1)f(x2)”的是 （ ）

名姓A．f(x)(x1)2

B．f(x)ln(x1) C．f(x)1D．f(x)ex

此 x 5．设等差数列{a n}的前n项和为Sn，若a55a3，则

S9 S（ ） 5 级A．2 B．

259 C．9

D．

925 班 6．将函数ycos2x的图象向右平移

π4个单位，得到函数yf(x)sinx的图象，则f(x)的表达式可以是（ ） A．f(x)2cosx

B．f(x)2cosx

C．f(x)22sin2x D．f(x)22(sin2xcos2x) 7．设x,y是0,1,2,3,4,5中任意两个不同的数，那么复数xyi恰好是纯虚数的概率为（ ）

A．

116 B．

13 C．

5 D．

130 8．如图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，侧视图是半径为1的半圆， 则该几何体的表面积是（ ）

A．2(π3)

B．2π3 C．π3 D．π23 9．阅读如图的程序框图，若输入n6，则输出k的值为（ ）

A．2

B．3

C．4

D．5

10．在△ABC所在的平面内有一点P，如果2uPAuuruPCuuruABuuruPBuur，那么△PBC的面积与△ABC的面积之比是（ ） A．

34 B．

122 C．

13 D．

3

11．已知四面体PABC的外接球的球心O在AB上，且PO平面ABC，2AC3AB，若四

面体PABC的体积为32，则该球的体积为（ ）

A．3π

B．2π

C．22π

D．43π

12．已知定义在R上奇函数f(x)满足①对任意x，都有f(x3)f(x)成立；②当x[0,32]时，

f(x)32|322x|，则f(x)1|x|在4,4上根的个数是（ ）

A．4 B．5

C．6

D．7

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y（万元），有如下的统计资料：

x 2 3 4 5 6 y 2．2 3．8 5．5 6．5 7．0 若由资料可知y对x呈线性相关关系，且线性回归方程为yˆ=bx+a，其中已知b1.23，请估计使用年限为20年时，维修费用约为_________．

3xy6014．设x，y满足约束条件xy20，若目标函数zaxby(a0,b0)的最大值是12，

x0,y0a2b2则

94的最小值为________． 15．已知数列ann的前项和为Sn，且a11，an1an2nN*，则S2020 ．

．已知双曲线x2y216uuuura2b21(a0,b0)的左右焦点是F1,F2，设P是双曲线右支上一点，F1F2在

uFuuPr上的投影的大小恰好为uFuuPr，且它们的夹角为π116，则双曲线的离心率e是 ．

三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）设函数f(x)sin(xπ26)2cos2x1(0)．直线y3与函数yfx图

象相邻两交点的距离为π． （1）求的值；

（2）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c．若点(B2,0)是函数yfx图象的 一个对称中心，且b3，求△ABC外接圆的面积．

18．（12分）为了增强学生的环境意识，某中学随机抽取了50名学生举行了一次环保知识竞赛， 本次竞赛的成绩（得分均为整数，满分100分）整理，制成下表：

成绩 40,50 50,60 60,70 70,80 80,90 90,100 频数 2 3 14 15 14 4 （1）作出被抽查学生成绩的频率分布直方图；

（2）若从成绩在40,50中选一名学生，从成绩在90,100中选出2名学生，共3名学生召开座谈会，求40,50组中学生A1和90,100组中学生B1同时被选中的概率？

19．（12分）如图，ABCD是边长为4的正方形，DE平面ABCD，AF//DE，DE4AF．

（1）求证：AC平面BDE；

（2）设点M是线段BD上一个动点，试确定点M的位置，使得AM//平面BEF，并证明你的结论．

20．（12分）设椭圆C:x2y2ab(ab0)的左、右焦点分别为F12211、F2，上顶点为A，离心率e2，

在x轴负半轴上有一点B，且uBFuuuruBFuur221．

（1）若过A、B、F2三点的圆恰好与直线l:x3y30相切，求椭圆C的方程；

（2）在（1）的条件下，过右焦点F2作斜率为k的直线l与椭圆C交于M、N两点，在x轴上是否存在点p（m，0），使得以PM，PN为邻边的平行四边形是菱形，如果存在，求出m的取值范围；如果不存在，说明理由．

21．（12分）已知函数f(x)2ln(2x)x2．

（1）若函数g(x)f(x)ax在其定义域内为增函数，求实数a的取值范围；

（2）设h(x)2f(x)3x2kx(kR)，若h(x)存在两个零点m，n且2x0mn，证明： 函数h(x)在(x0,h(x0))处的切线不可能平行于x轴．

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．

22．（10分）【选修4-4：极坐标与参数方程】

在极坐标系中，已知点A(2,0)到直线l:sin(π4)m(m0)的距离为3． （1）求实数m的值；

（2）设P是直线l上的动点，Q在线段OP上，且满足|OP||OQ|1，求点Q的轨迹方程，并指出轨迹是什么图形．

23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】 已知f(x)xxa2．

（1）当a1时，解不等式f(x)x2；

（2）当x(0,1]时，f(x)

12x1恒成立，求实数a的取值范围． 2

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答 案

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项

中，

只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】C 2．【答案】D 3．【答案】D 4．【答案】C 5．【答案】C 6．【答案】B 7．【答案】A 8．【答案】A 9．【答案】B 10．【答案】A 11．【答案】D 12．【答案】B

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．【答案】24．68 14．【答案】

1 2101015．【答案】323

16．【答案】31

三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演

算步骤．

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17．【答案】（1）2；（2）3π． 【解析】（1）f(x)sinxcosππ1cosxcosxsin21 6623313sinxcosx3(sinxcosx) 2222π3sin(x)，

3因为f(x)的最大值为3，依题意，函数f(x)的最小正周期为π，

由

2ππ，得2．

π3π3（2）因为f(x)3sin(2x)，依题意3sin(B)0，

πsin(B)0，

3∵0Bπ，ππ2ππBπ，∴B0，B， 33333由正弦定理

b32R，2R，∴R3， sinB3

2

△ABC外接圆的面积为πR23π．

18．【答案】（1）见解析；（2）

1． 4【解析】（1）各组频率分别为0．04，0．06，0．28，0．30，0．24，0．08， 所以，图中各组的纵坐标分别为0．004，0．006，0．028，0．03，0．024，0．008．

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（2）记40,50中的学生为A1，A2；90,100中的学生为B1，B2，B3，B4，

由题意可得，基本事件为AlBlB2，A1B1B3，AlBlB4，A1B2B3，A1B2B4，AlB3B4，A2B1B2，A2B1B3，A2B1B4，A2B2B3，A2B2B4，A2B3B4共l2个，

满足A1B1同时被选中的事件为A1B1B2，A1B1B3，A1B1B4共3个， ∴学生A1和B1同时被选中的概率为P31． 12419．【答案】（1）证明见解析；（2）M是BD的一个四等分点，证明见解析． 【解析】（1）证明：因为DE⊥平面ABCD，所以DEAC． 因为ABCD是正方形，所以ACBD， 因为DEIBDD，从而AC平面BDE．

（2）当M是BD的一个四等分点，即4BMBD时，AM∥平面BEF， 取BE上的四等分点N，使4BNBE，连结MN，NF， 则DE∥MN，且DE4MN，

因为AF∥DE，且DE4AF，所以AF∥MN，且AFMN， 故四边形AMNF是平行四边形，所以AM∥FN，

因为AM平面BEF，FN平面BEF，所以AM∥平面BEF．

x2y211；20．【答案】（1）（2）存在，(0,)． 434c11，得ca，所以F1F2a， a22uuuuruuurFBF2的中点， 又AF1AF2a，由于BF22BF1，所以1为线段

【解析】（1）由题意

所以AF1AF2F1F2a， 所以△ABF2的外接圆圆心为F1(a,0)，半径rAF1a， 2又过A、B、F2三点的圆与直线l:x3y30相切，

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1a32a，解得a2， 所以

2c1，b2a2c23，

x2y21． 所求椭圆方程为43（2）有（1）知F21,0设l的方程为yk(x1)，

yk(x1)将直线方程与椭圆方程联立x2y2，

143（34k）x8kx4k120， 整理得

设交点为M(x1,y1)，N(x2,y2)，

22228k2因为34k0，则x1x2，y1y2k(x1x22)， 234k2若存在点P(m,0)，使得以PM，PN为邻边的平行四边形是菱形，

uuuuruuuruuuur由于菱形对角线垂直，所以(PMPN)MN0，

uuuuruuur又PMPN(x1m,y1)(x2m,y2)(x1y22m,y1y2)，

uuuurQMN的方向向量是1,k，

故k(y1y2)x1x22m0， k2(x1x22)x1x22m0，

8k28k2k(2)2m0，

34k234k22由已知条件知k0且kR，

k211m0m，， 2334k442k

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故存在满足题意的点P且m的取值范围是(0,)．

1421．【答案】（1）[22,)；（2）证明见解析． 【解析】（1）Qgxln2xx2ax，g(x)由已知，得g(x)0对一切x(0,)恒成立，

212xa2xa(x0)， 2xx2x11a0，即a2x对一切x(0,)恒成立，

xx12x22，a22，

xa的取值范围为[22,)．

222（2）hx2ln2xx3xkx2ln2xxkx， 由已知得h(m)2ln(2m)mkm0，h(n)2ln(2n)nkn0．

222lnnn(n2kn)(m2km)，即2ln(nm)(nm)k(nm)． mm222x0k0，k2x0． x0x0假设结论不成立，即h(x0)0，则又2x0mn，

2lnn2(nm)(nm)(2x0)(nm) mx0(nm)(nm)(44mn)(nm)(nm)， mnnmlnn2(nm)． mnm令

2t1nt(1,)，则有lnt．

1tm令(t)lnt2(t1),t1． 1t

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12t12(t1)(1)14(1t24t)(t1)2(t)0．

t(1t)2t(1t)2t(1t)2t(1t)2(t)在(1,)上是增函数，

∴当t1时，(t)(1)0，即lnt2(t1)0． 1t∴当t1时，lnt∴假设不成立，

2(t1)不可能成立， 1th(x)在(x0,h(x0))处的切线不平行于x轴．

22．【答案】（1）m2；（2）(x圆心，

2222113π)(y)，点Q的轨迹是以,为8816441为半径的圆． 4【解析】（1）以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立直角坐标系， 则点A的直角坐标为(2,0)，直线l的直角坐标方程为xy2m0， 由点A到直线l的距离为d|22m|1m3，∴m2． 2π4（2）由（1）得直线l的方程为sin()2，

010，① 设P(0,0)，Q(,)，则00因为点P(0,0)在直线l上，所以0sin(0)2，②

1π4将①代入②，得

πsin()2． 41则点Q的轨迹方程为1πsin()， 24

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化为直角坐标方程为(x22221)(y)， 8816则点Q的轨迹是以113π,为圆心，为半径的圆．

4441223．【答案】（1）{xx2}；（2）(,6)．

【解析】（1）当a1时，不等式f(x)x2化为xx12x2，

则可得x21x2x1或或，

x(x1)2x2x(x1)22xx(1x)22x可得x或1x2或x1， 则不等式解集为{xx2}．

（2）当x(0,1]时，f(x)12x1恒成立， 2则xxa212x1恒成立， 2化为

1131xax在x(0,1]上恒成立， 2x2x111x在x(0,1]上为增函数，则g(x)max， 2x2而g(x)h(x)3136x26，等号成立时x， 2x23所以a的取值范围为a(,6)．

12

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