陕西省安康市2015届高考数学三模试卷(理科)

陕西省安康市2015届高考数学三模试卷（理科）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．已知全集U={1，2，3，4，5}，A={1，2，5}，B={2，3，5}，则（∁UA）∩B等于( ) A．{2，3} B．{2，5} C．{3} D．{2，3，5}

2．已知1+i=，则在复平面内，复数z所对应的点在( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3．已知sin（）=则cos（x）等于( )

A．﹣ B．﹣

C．

D．

4．已知双曲线x2

﹣

=1（b＞0）的一条渐近线的方程为y=2x，则b的值等于( A． B．1 C．2 D．4

5．已知向量=（1，2x），=（4，﹣x），则“x=”是“⊥”的( )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

6．对具有线性相关关系的变量x，y，测得一组数据如下表： x 2 4 5 6 8

y 20 40 60 70

80

根据上表，利用最小二乘法得它们的回归直线方程为=10.5x+a，则a的值等于( A．1 B．1.5 C．2 D．2.5

7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是( )

A．90 B．92

C．98

D．104

)

)

8．在（+）的展开式中，x项的系数为( )

12

A．C B．C C．C D．C

9．如图，四边形ABCD为矩形，AB=，BC=1，以A为圆心，1为半径画圆，交线段AB于E，在圆弧DE上任取一点P，则直线AP与线段BC有公共点的概率为( )

A．

B．

C．

D．

10．某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内应填( )

A．k＞4？

B．k＞5？

2

C．k＞6？ D．k＞7？

11．已知点A（0，2），抛物线C1：y=ax（a＞0）的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，若|FM|：|MN|=1：，则a的值等于( ) A．

B．

C．1

D．4

12．已知直线y=kx与函数f（x）=的图象恰好有3个不同的公共点，

则实数k的取值范围是( ) A．（﹣1，+∞）

B．（0，

﹣1）

C．（﹣﹣1，﹣1） D．（﹣∞，﹣

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．计算：

dx=__________．

﹣1）∪（﹣1，+∞）

14．从1=1，1﹣4=﹣（1+2），1﹣4+9=1+2+3，1﹣4+9﹣16=﹣（1+2+3+4），…，推广到第n个等式为__________．

15．设变量x，y满足约束条件，则z=x﹣3y的最小值__________．

16．在斜三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若

，则

=__________．

三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．已知数列{an}是公比大于1的等比数列，且a1=1，a3=9． （1）求数列{an}的通项公式；

（2）若数列{bn}满足bn=log3an+n+2，且b1+b2+…+bn≥80，求n的最小值．

18．已知函数f（x）=sinx+

cosx，x∈[0，

]．

（1）当函数取得最大值时，求自变量x的值；

（2）若方程f（x）﹣a=0有两个实数根，求a的取值范围．

19．已知正方形ABCD的边长为1，AC∩BD=O，将正方形ABCD沿对角线折起，使AC=1，得到三棱锥A﹣BCD，如图所示． （1）求证：AO⊥平面BCD；

（2）求平面ABC与平面BCD夹角的余弦值．

20．某网站用“10分制”调查一社区人们的治安满意度，现从调查人群中随机抽取16名，以下茎叶图记录了他们的治安满意度分数（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶）：

（1）若治安满意度不低于9.5分，则称该人的治安满意度为“极安全”．求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极安全”的概率；

（3）以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区（人数很多）任选3人，记X表示抽到“极安全”的人数，求X的分布列及数学期望．

21．已知椭圆C：

的离心率为

，直线l：y=x+2与以原点为圆心，

椭圆的短半轴为半径的圆O相切． （Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设椭圆C与曲线|y|=kx（k＞0）的交点为A、B，求△OAB面积的最大值．

22．已知函数f（x）=lnx﹣ax．

（1）当a=1时，求f（x）的最大值； （2）试讨论函数y=f（x）的零点情况；

（3）设ak，bk，…（k=1，2，…，n）均为正数，若a1b1+a2b2+…+anbn≤b1+b2+…+bn，求证：

…

≤1．

陕西省安康市2015届高考数学三模试卷（理科）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．已知全集U={1，2，3，4，5}，A={1，2，5}，B={2，3，5}，则（∁UA）∩B等于( ) A．{2，3} B．{2，5} C．{3} D．{2，3，5}

考点：交、并、补集的混合运算． 专题：集合．

分析：直接利用补集与交集的运算得答案．

解答： 解：∵U={1，2，3，4，5}，A={1，2，5}， ∴∁UA={3，4}， 又B={2，3，5}，

∴（∁UA）∩B={3，4}∩{2，3，5}={3}． 故选：C．

点评：本题考查了交、并、补集的混合运算，是基础的计算题．

2．已知1+i=，则在复平面内，复数z所对应的点在( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限

考点：复数代数形式的乘除运算． 专题：数系的扩充和复数．

分析：利用复数的运算法则和几何意义即可得出．

D．第四象限

解答： 解：∵1+i=， ∴z=

=

=

在复平面内，复数z所对应的点

在第一象限．

故选：A．

点评：本题考查了复数的运算法则和几何意义，属于基础题．

3．已知sin（ A．﹣

）=则cos（xB．﹣

）等于( ) C．

D．

考点：两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数． 专题：计算题；三角函数的求值． 分析：由诱导公式化简后即可求值．

解答： 解：cos（x）=sin[﹣（x）]=sin（﹣x）=．

故选：D．

点评：本题主要考察了诱导公式的应用，属于基础题．

4．已知双曲线x﹣

2

=1（b＞0）的一条渐近线的方程为y=2x，则b的值等于( )

A． B．1 C．2 D．4

考点：双曲线的简单性质．

专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．

分析：利用双曲线x﹣的值．

2

=1（b＞0）的一条渐近线的方程为y=2x，可得=2，即可求出b

解答： 解：∵双曲线x﹣

2

=1（b＞0）的一条渐近线的方程为y=2x，

∴=2，

∴b=2， 故选：C．

点评：本题考查双曲线的渐近线的方程，考查学生的计算能力，比较基础．

5．已知向量=（1，2x），=（4，﹣x），则“x= A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断． 专题：简易逻辑．

”是“⊥”的( )

分析：先求出⊥的充要条件是x=±

2

，从而得到答案．

，

解答： 解：⊥⇒•=0⇒4﹣2x=0⇒x=±故x=±

是⊥的充分不必要条件，

故选：A．

点评：本题考查了充分必要条件的定义，考查了向量垂直的性质，是一道基础题．

6．对具有线性相关关系的变量x，y，测得一组数据如下表： x 2 4 5 6 8 y 20 40 60 70 80 根据上表，利用最小二乘法得它们的回归直线方程为=10.5x+a，则a的值等于( ) A．1 B．1.5 C．2 D．2.5

考点：线性回归方程．

专题：计算题；概率与统计．

分析：求出横标和纵标的平均数，写出样本中心点，把样本中心点代入线性回归方程，得到关于a的方程，解方程求出a．

解答： 解：∵==5，==54

∴这组数据的样本中心点是（5，54）

把样本中心点代入回归直线方程=10.5x+a，∴54=10.5×5+a，

∴a=1.5， 故选：B．

点评：本题考查线性回归方程，解题的关键是线性回归直线一定过样本中心点，这是求解线性回归方程的步骤之一．

7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是( )

A．90 B．92 C．98 D．104

考点：由三视图求面积、体积．

专题：计算题；空间位置关系与距离．

分析：由三视图知几何体为一四棱柱，且四棱柱的高为4，底面为直角梯形，直角梯形的直角腰为4，两底边长分别为2，5，求得另一腰长，把数据代入表面积公式计算． 解答： 解：由三视图知几何体为一四棱柱，且四棱柱的高为4，

底面为直角梯形，直角梯形的直角腰为4，两底边长分别为2，5，另一腰长为∴几何体的表面积S=S底面+S侧面=2×

×4+（2+4+5+5）×4=92．

=5；

故选：B．

点评：本题考查了由三视图求几何体的表面积，由三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键． 8．在（

+

）的展开式中，x项的系数为( )

12

A．C B．C C．C D．C

考点：二项式系数的性质． 专题：计算题；二项式定理．

分析：在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于1，求出r的值，即可求得x的系数．

解答： 解：（+

）的展开式的通项公式为Tr+1=

12

，

令6﹣r=1，求得 r=6， 故x的系数为

，

故选：A．

点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．

9．如图，四边形ABCD为矩形，AB=，BC=1，以A为圆心，1为半径画圆，交线段AB于E，在圆弧DE上任取一点P，则直线AP与线段BC有公共点的概率为( )

A． B． C． D．

考点：几何概型． 专题：概率与统计．

分析：由题意知本题是一个几何概型，由题意，试验包含的所有事件是∠BAD，而满足条件的事件是直线AP在∠CAB内时AP与BC相交时，即直线AP与线段BC有公共点，根据几何概型公式得到结果．

解答： 解：由题意知本题是一个几何概型， 试验包含的所有事件是∠BAD， 如图，连接AC交弧DE于P，

则tan∠CAB=，

∴∠CAB=30°，

满足条件的事件是直线AP在∠CAB内时AP与BC相交时，即直线AP与线段BC有公共点 ∴概率P=故选：C．

=

，

点评：本题考查了几何摡型知识，几何概型的概率的值是通过长度、面积、和体积的比值得到．

10．某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内应填( )

A．k＞4？ C．k＞6？ D．k＞7？

考点：程序框图．

专题：算法和程序框图．

分析：执行程序框图，依次写出每次循环得到的k，S的值，当k=5时，根据题意此时满足条件，退出循环，输出S的值为57，从而即可判断． 解答： 解：执行程序框图，可得 k=2，S=4； k=3，S=11； k=4，S=26； k=5，S=57；

根据题意此时，满足条件，退出循环，输出S的值为57． 故判断框内应填k＞4． 故选：A．

点评：本题主要考察了程序框图和算法，正确得到退出循环时k，S的值是解题的关键，属于基础题．

B．k＞5？

11．已知点A（0，2），抛物线C1：y=ax（a＞0）的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，若|FM|：|MN|=1：，则a的值等于( ) A．

B．

C．1

D．4

2

考点：抛物线的简单性质．

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．

分析：作出M在准线上的射影，根据|KM|：|MN|确定|KN|：|KM|的值，进而列方程求得a．

解答： 解：依题意F点的坐标为（，0）， 设M在准线上的射影为K，

由抛物线的定义知|MF|=|MK|， ∴|KM|：|MN|=1：， 则|KN|：|KM|=2：1， kFN=

=﹣，

kFN=﹣

=﹣2

∴=2，求得a=4，

故选D．

点评：本题主要考查了抛物线的简单性质．抛物线中涉及焦半径的问题常利用抛物线的定义转化为点到准线的距离来解决．

12．已知直线y=kx与函数f（x）=的图象恰好有3个不同的公共点，

则实数k的取值范围是( ) A．（﹣1，+∞） B．（0，﹣1） C．（﹣﹣1，﹣1） D．（﹣∞，﹣

考点：函数的零点与方程根的关系．

专题：计算题；作图题；函数的性质及应用．

﹣1）∪（﹣1，+∞）

分析：作直线y=kx与函数f（x）=的图象，结合图象，由排除法确

定选项即可．

解答： 解：作直线y=kx与函数f（x）=的图象如下，

由图象可知，k不可能是负数， 故排除C，D；

且k可以取到1，故排除B； 故选A．

点评：本题考查了函数的图象的作法及应用，属于基础题．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．计算：

dx=6．

考点：定积分．

专题：导数的概念及应用．

分析：找出被积函数的原函数，然后代入上下限，计算．

解答： 解：dx=3lnx|=3（lne﹣ln1）=6；

2

故答案为：6．

点评：本题考查了定积分的计算，关键是正确写出被积函数的原函数．

14．从1=1，1﹣4=﹣（1+2），1﹣4+9=1+2+3，1﹣4+9﹣16=﹣（1+2+3+4），…，推广到第n

n+12n+1

个等式为1﹣4+9﹣16+…+（﹣1）•n=（﹣1）•（1+2+3+…+n）．

考点：归纳推理． 分析：本题考查的知识点是归纳推理，解题的步骤为，由1=1，1﹣4=﹣（1+2），1﹣4+9=1+2+3，1﹣4+9﹣16=﹣（1+2+3+4），…，中找出各式运算量之间的关系，归纳其中的规律，并大胆猜想，给出答案．

1+1

解答： 解：∵1=1=（﹣1）•1

2+1

1﹣4=﹣（1+2）=（﹣1）•（1+2）

3+1

1﹣4+9=1+2+3=（﹣1）•（1+2+3）

4+1

1﹣4+9﹣16=﹣（1+2+3+4）=（﹣1）•（1+2+3+4）

…

所以猜想：1﹣4+9﹣16+…+（﹣1）•n=（﹣1）•（1+2+3+…+n）

n+12n+1

故答案为：1﹣4+9﹣16+…+（﹣1）•n=（﹣1）•（1+2+3+…+n） 点评：归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．

n+1

2

n+1

15．设变量x，y满足约束条件，则z=x﹣3y的最小值﹣8．

考点：简单线性规划． 专题：计算题．

分析：作出变量x，y满足约束条件所对应的平面区域，采用直线平移的方法，将直线l：

平移使它经过区域上顶点A（﹣2，2）时，目标函数达到最小值﹣8

解答： 解：变量x，y满足约束条件所对应的平面区域为△ABC如图，化目标函数z=x﹣3y为 将直线l：

平移，因为直线l在y轴上的截距为﹣

，所以直线l越向上

移，

直线l在y轴上的截距越大，目标函数z的值就越小，故当直线经过区域上顶点A时， 将x=﹣2代入，直线x+2y=2，得y=2，得A（﹣2，2）

将A（﹣2，2）代入目标函数，得达到最小值zmin=﹣2﹣3×2=﹣8

故答案为：﹣8 点评：本题考查了用直线平移法解决简单的线性规划问题，看准直线在y轴上的截距的与目标函数z符号的异同是解决问题的关键．

16．在斜三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则=3．

考点：余弦定理；正弦定理． 专题：计算题．

分析：先把已知条件利用切化弦，所求的式子是边的关系，故考虑利用正弦定理与余弦定理把式子中的三角函数值化为边的关系，整理可求

解答： 解：由题设知：，即，

由正弦定理与余弦定理得，

即

故答案为：3

点评：本题主要考查了三角函数化简的原则：切化弦．考查了正弦与余弦定理等知识综合运用解三角形，属于基础知识的简单综合．

三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．已知数列{an}是公比大于1的等比数列，且a1=1，a3=9． （1）求数列{an}的通项公式；

（2）若数列{bn}满足bn=log3an+n+2，且b1+b2+…+bn≥80，求n的最小值．

考点：数列的求和；等比数列的通项公式． 专题：等差数列与等比数列． 分析：（1）设等比数列{an}的公比q＞1，由a1=1，a3=9．利用等比数列的通项公式即可得出；

（2）bn=log3an+n+2=n﹣1+n+2=2n+1，利用等差数列的前n项和公式及其一元二次不等式的解法即可得出．

2

解答： 解：（1）设等比数列{an}的公比q＞1，∵a1=1，a3=9．∴9=q，解得q=3．

∴．

（2）bn=log3an+n+2=n﹣1+n+2=2n+1， ∴b1+b2+…+bn=

=n+2n≥80，

2

解得n≥8，

∴n的最小值为8． 点评：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、一元二次不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

18．已知函数f（x）=sinx+

cosx，x∈[0，

]．

（1）当函数取得最大值时，求自变量x的值；

（2）若方程f（x）﹣a=0有两个实数根，求a的取值范围．

考点：两角和与差的正弦函数；正弦函数的图象． 专题：三角函数的求值．

分析：（1）化简可得f（x）=2sin（x+），易得当x=时，函数取最大值；

（2）问题等价于f（x）与y=a有两个不同的交点，作图象易得a的取值范围． 解答： 解：（1）化简可得f（x）=sinx+cosx =2（sinx+

cosx）=2sin（x+

]，

时，函数取最大值；

），

∵由已知可得x∈[0，∴当x+

=

即x=

（2）方程f（x）﹣a=0有两个实数根， 等价于f（x）与y=a有两个不同的交点， 作图象可得a的取值范围为：[，2）

点评：本题考查两角和与差的三角函数公式，等价转化并作图是解决问题的关键，属中档题．

19．已知正方形ABCD的边长为1，AC∩BD=O，将正方形ABCD沿对角线折起，使AC=1，得到三棱锥A﹣BCD，如图所示． （1）求证：AO⊥平面BCD；

（2）求平面ABC与平面BCD夹角的余弦值．

考点：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定． 专题：空间位置关系与距离；空间角． 分析：（1）由勾股定理得AO⊥CO，由正方形性质得AO⊥BD，由此能证明AO⊥平面BCD． （2）以O为原点，建立空间直角坐标系，求出平面ABC的一个法向量和平面BCD的一个法向量，利用向量法能求出平面ABC与平面BCD的夹角的余弦值．

解答： 解：（1）证明：在△AOC中，∵

2

2

2

，

∴AC=AO+CO，AO⊥CO，

又∵AC、BD是正方形ABCD的对角线，∴AO⊥BD， 又BD∩CO=O，∴AO⊥平面BCD．

（2）解：由（1）知AO⊥平面BCD，则OC、OA、OD两两互相垂直， 如图，以O为原点，建立空间直角坐标系， 则O（0，0，0），A（0，0，B（0，﹣=（

，0），D（0，

），

），C（，0）， =（

，0）， ，0，0），

设平面ABC的一个法向量=（x，y，z），

则，取x=1，得=（1，﹣1，1），

=（0，0，）是平面BCD的一个法向量，

从而cos＜＞==，

∴平面ABC与平面BCD的夹角的余弦值为．

点评：本小题主要考查立体几何的相关知识，具体涉及到线面以及面面的垂直关系、二面角的求法及空间向量在立体几何中的应用．本小题对考生的空间想象能力与运算求解能力有较高要求．

20．某网站用“10分制”调查一社区人们的治安满意度，现从调查人群中随机抽取16名，以下茎叶图记录了他们的治安满意度分数（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶）：

（1）若治安满意度不低于9.5分，则称该人的治安满意度为“极安全”．求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极安全”的概率；

（3）以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区（人数很多）任选3人，记X表示抽到“极安全”的人数，求X的分布列及数学期望．

考点：离散型随机变量的期望与方差；茎叶图；离散型随机变量及其分布列． 专题：概率与统计． 分析：（1）设Ai表示所取得人中有i个人是“极安全”，至多有一人是“极安全”记为事件A，则P（A）=P（A0）+P（A1），由此能求出至多有1人是“极安全”的概率．

（2）X的可能取值为0，1，2，3，由已知得X～B（3，），由此能求出X的分布列及数学期望． 解答： 解：（1）设Ai表示所取得人中有i个人是“极安全”， 至多有一人是“极安全”记为事件A， 则P（A）=P（A0）+P（A1）=

+

=

．

（2）X的可能取值为0，1，2，3， 由已知得X～B（3，）， P（X=0）=（）=P（X=1）=p（X=2）=P（X=3）=∴X的分布列为： X P

EX=3×=．

点评：本题主要考查概率、随机变量分布列以及数学期望等基础知识，考查运用概率统计知识解决简单实际问题的能力，考查数据处理能力．

21．已知椭圆C：

椭圆的短半轴为半径的圆O相切． （Ⅰ）求椭圆C的方程；

3

，

， ，

，

0

1

2

3

的离心率为，直线l：y=x+2与以原点为圆心，

（Ⅱ）设椭圆C与曲线|y|=kx（k＞0）的交点为A、B，求△OAB面积的最大值．

考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程． 专题：函数思想；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析：（Ⅰ）写出圆O的方程，根据直线与圆相切可求得b值，根据所给斜率及a，b，c的平方关系可求得a值；

（Ⅱ）设点A（x0，y0），（x0＞0，y0＞0），AB交x轴于点D，由对称性知S△OAB=2S△OAD，根据点A在直线OA、椭圆上可用k表示出x0，从而可把△OAB面积表示为关于k的函数，利用基本不等式即可求得其最大值．

222

解答： 解：（Ⅰ）由题设可知，圆O的方程为x+y=b， 因为直线l：x﹣y+2=0与圆O相切，故有

=b，

所以b=

2

，已知

2

2

2

，

所以有a=3c=3（a﹣b），

2

解得a=3， 所以椭圆C的方程为

．

（Ⅱ）设点A（x0，y0），（x0＞0，y0＞0），则y0=kx0， 设AB交x轴于点D，由对称性知： S△OAB=2S△OAD=2×x0y0=

，

由，解得，

所以S△OAB=k

=≤，

当且仅当，即k=时取等号，

．

所以△OAB面积的最大值为

点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系及椭圆方程的求解，考查函数思想，解决（Ⅱ）问的关键是把三角形OAB面积表示为函数，正确运用基本不等式是解决基础．

22．已知函数f（x）=lnx﹣ax．

（1）当a=1时，求f（x）的最大值； （2）试讨论函数y=f（x）的零点情况；

（3）设ak，bk，…（k=1，2，…，n）均为正数，若a1b1+a2b2+…+anbn≤b1+b2+…+bn，求证：

…

≤1．

考点：根的存在性及根的个数判断；不等式的证明． 专题：计算题；函数的性质及应用． 分析：（1）利用导数研究函数的单调性，可得函数f（x）=lnx﹣ax在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数，故fmax（x）=f（1）．

（2）由 y=f（x）=0 可得lnx=ax，故函数y=f（x）的零点个数即为 y=lnx与 y=ax 的交点

的个数．结合图象可得，当a≤0或a= 时，y=f（x）有1个零点； 当 0＜a＜ 时，y=f（x）有2个零点； 当a＞ 时，y=f（x）没有零点．

（3）由（1）可得，当x∈（0，+∞）时，lnx≤x﹣1，可得 lnak＜ak﹣1，故 bk•lnak＜bk（ak﹣1）=bk•ak﹣bk．可得 ln再由已知条件证得

+ln …

+…+ln ≤1成立．

＜a1b1+a2b2+…+anbn ﹣（ b1+b2+…+bn），

解答： 解：（1）当a=1时，f′（x）=﹣1，当x＞1时，f′（x）＜0，当0＜x＜1时，f′（x）＞0．

故函数f（x）=lnx﹣ax在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数． 故fmax（x）=f（1）=ln1﹣1=﹣1．

（2）由 y=f（x）=0 可得lnx=ax，故函数y=f（x）的零点个数即为 y=lnx与 y=ax 的交点的个数．

结合图象可得，当a≤0时，f（x）的零点个数仅有一个． 当a＞0时，令f′（x）=﹣a=0，可得 x=．

由于 当x＞时，f′（x）＜0，当0＜x＜时，f′（x）＞0． 故 f（x）在（0，）上是增函数，在（，+∞）上是减函数． 故fmax（x）=f（）=﹣lna﹣1．

故当﹣lna﹣1＞0时，即 0＜a＜ 时，y=f（x）有2个零点；当a= 时，y=f（x）有1个零点； 当a＞ 时，y=f（x）没有零点．

综上可得，当a≤0或a= 时，y=f（x）有1个零点； 当 0＜a＜ 时，y=f（x）有2个零点； 当a＞ 时，y=f（x）没有零点．

（3）由（1）可得，当x∈（0，+∞）时，lnx≤x﹣1． ∵ak，bk 都是正数，∴lnak＜ak﹣1， ∴bk•lnak＜bk（ak﹣1）=bk•ak﹣bk． ∴ln

+ln

+…+ln

＜a1b1+a2b2+…+anbn ﹣（ b1+b2+…+bn）．

又因为 a1b1+a2b2+…+anbn≤b1+b2+…+bn， ∴ln故

+ln

…

+…+ln ≤1．

≤0，即ln（

•

…

）≤0，

点评：本题主要考查方程的根的存在性及个数判断，利用导数研究函数的单调性，用放缩法证明不等式，属于中档题．