黑龙江省鸡西市第十九中学2017届高考数学一轮复习学案《导数与公切线》专题

2016年（ ）月（ ）日 班级 姓名 1

若函数f(x)＝x2－ax＋ln x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________．

2答案 [2，＋∞)

11

解析 ∵f (x)＝x2－ax＋ln x，∴f′(x)＝x－a＋. 2x∵f(x)存在垂直于y轴的切线，∴f′(x)存在零点， 11

即x＋－a＝0有解，∴a＝x＋≥2.

xx

1

已知函数f(x)＝x＋1，g(x)＝aln x，若在x＝处函数f(x)与g(x)的图象的切线平行，则实数a的值为

4( )

11

A. B. C． 1 D．4 42答案 A

11a解析 由题意可知f′(x)＝x－，g′(x)＝，

22x11111a

由f′()＝g′()，得×()－＝，

442421

411

可得a＝，经检验，a＝满足题意．

44

17

已知f(x)＝ln x，g(x)＝x2＋mx＋(m<0)，直线l与函数f(x)，g(x)的图象都相切，且与f(x)图象的切

22点为(1，f(1))，则m等于( ) A．－1 B．－3 C．－4 D．－2 答案 D

1

解析 ∵f′(x)＝，

x

∴直线l的斜率为k＝f′(1)＝1. 又f(1)＝0，∴切线l的方程为y＝x－1. g′(x)＝x＋m，

设直线l与g(x)的图象的切点为(x0，y0)，

17

则有x0＋m＝1，y0＝x0－1，y0＝x20＋mx0＋，m<0， 22于是解得m＝－2.故选D.

典例 (12分)若存在过点O(0,0)的直线l与曲线y＝x3－3x2＋2x和y＝x2＋a都相切，求a的值． 易错分析 由于题目中没有指明点O(0,0)的位置情况，容易忽略点O在曲线y＝x3－3x2＋2x上这个

隐含条件，进而不考虑O点为切点的情况． 规范解答

解 易知点O(0,0)在曲线y＝x3－3x2＋2x上．

(1)当O(0,0)是切点时，由y′＝3x2－6x＋2，得y′|x＝0＝2， 即直线l的斜率为2，故直线l的方程为y＝2x.

y＝2x，由得x2－2x＋a＝0， 2

y＝x＋a，

依题意Δ＝4－4a＝0，得a＝1.[4分]

2(2)当O(0,0)不是切点时，设直线l与曲线y＝x3－3x2＋2x相切于点P(x0，y0)，则y0＝x30－3x0＋2x0，

且k＝y′|x＝x0＝3x20－6x0＋2，① y0又k＝＝x2－3x0＋2，②

x00

31

联立①②，得x0＝(x0＝0舍去)，所以k＝－，

241

故直线l的方程为y＝－x.[7分]

41y＝－4x，1

由得x2＋x＋a＝0，

42y＝x＋a，11

依题意，Δ＝－4a＝0，得a＝.[10分]

161

综上，a＝1或a＝.[12分]

已知函数f(x)＝ax3＋3x2－6ax－11，g(x)＝3x2＋6x＋12和直线m：y＝kx＋9，且f′(－1)＝0. (1)求a的值；

(2)是否存在k，使直线m既是曲线y＝f(x)的切线，又是曲线y＝g(x)的切线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．

解 (1)由已知得f′(x)＝3ax2＋6x－6a， ∵f′(－1)＝0，∴3a－6－6a＝0，∴a＝－2. (2)存在．

2由已知得，直线m恒过定点(0,9)，若直线m是曲线y＝g(x)的切线，则设切点为(x0,3x0＋6x0＋12)．

∵g′(x0)＝6x0＋6，

∴切线方程为y－(3x20＋6x0＋12) ＝(6x0＋6)(x－x0)，

将(0,9)代入切线方程，解得x0＝±1. 当x0＝－1时，切线方程为y＝9； 当x0＝1时，切线方程为y＝12x＋9.

由(1)知f(x)＝－2x3＋3x2＋12x－11， ①由f′(x)＝0得－6x2＋6x＋12＝0， 解得x＝－1或x＝2.

在x＝－1处，y＝f(x)的切线方程为y＝－18； 在x＝2处，y＝f(x)的切线方程为y＝9， ∴y＝f(x)与y＝g(x)的公切线是y＝9. ②由f′(x)＝12得－6x2＋6x＋12＝12， 解得x＝0或x＝1.

在x＝0处，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－11； 在x＝1处，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－10； ∴y＝f(x)与y＝g(x)的公切线不是y＝12x＋9.

综上所述，y＝f(x)与y＝g(x)的公切线是y＝9，此时k＝0.

(2016·课标全国Ⅱ)16．若直线ykxb是曲线ylnx2的切线，也是曲线yln(x1)的切线，则b ．

16．1ln2．