陕西初三初中数学中考模拟带答案解析

班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________

一、选择题

1.下列各数中是负数的是（ ）

﹣1

A．|﹣6| B．（﹣6）

C．﹣（﹣6）

0

D．（﹣6）

2.如图是由4个大小相同的正方体搭成的几何体，其俯视图是（ ）

A．

B．

C．

D．

3.计算（﹣3a3）2的结果是（ ）

55

A．﹣6a B．6a

C．9a

6

D．﹣9a

6

4.某商场一天中售出某种品牌的运动鞋11双，其中各种尺码的鞋的销售量如下表所示，

鞋的尺码（单位：cm） 23 23.5 24 24.5 25 销售量（单位：双） 1 2 2 5 1 那么这11双鞋的尺码组成的一组数据中，众数与中位数分别为（ ） A．23.5，24 B．24，24.5 C．24，24 D．24.5，24.5

5.图，△ABC中，D，E两点分别在AB，AC边上，且DE∥BC，如果

，AC=6，那么AE的长为（ ）

A．3 B．4 C．9 D．12

6.如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，若AC=12，AB=7，则菱形ABCD的面积是（ ）

A．12

B．36

C．24

D．60

7.不等式组A．1

的最小整数解为（ ）

B．2

C．5

D．6

8.已知x1、x2是方程x2=2x+1的两个根，则A．－

的值为（ ）

C．

B．2 D．﹣2

9.如图，四边形ABCD中，∠A=60°，AD=2，AB=3，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M

不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为（ ）

A．

B．

C．

D．

10.如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OA=OC，则下列结论

①abc＜0；②b2﹣4ac＞0；③ac﹣b+1=0；④OA•OB=

．其中正确结论的个数是（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

二、填空题

1.分解因式：a3﹣a= ．

2.．A．已知圆锥的底面半径长为5，圆锥侧面展开后得到一个半圆，则该圆锥的母线长为 ． B．（用计算器）若某人沿坡角为23°的斜坡前进168cm，则他上升的高度是 （精确到0.01m） 3.如图，反比例函数y=

的图象与矩形AOBC的边AC交于E，且AE=2CE，与另一边BC交于点D，连接DE，

若S△CED=1，则k的值为 ．

4.如图，∠BAC=120°，AD平分∠BAC，且AD=4，点P是射线AB上一动点，连接DP，△PAD的外接圆于AC

交于点Q，则线段QP的最小值是 ．

三、计算题

计算：

四、解答题

1.化简：

，并求值，其中a=3+

．

2.如图，已知△ABC，用直尺和圆规求作一直线AD，使直线过顶点A，且平分△ABC的面积（不需写作法，保留

作图痕迹）

3.为了降低塑料袋﹣﹣“白色污染”对环境污染．学校组织了对使用购物袋的情况的调查，小明同学5月8日到站前市场对部分购物者进行了调查，据了解该市场按塑料购物袋的承重能力分别提供了0.1元，0.2元，0.3元三种质量不同的塑料袋，下面两幅图是这次调查得到的不完整的统计图（若每人每次只使用一个购物袋），请你根据图中的信息，回答下列问题：

（1）这次调查的购物者总人数是 人；

（2）请补全条形统计图，并说明扇形统计图中0.2元部分所对应的圆心角是 度，0.3元部分所对应的圆心角是 度；

（3）若5月8日到该市场购物的人数有3000人次，则该市场应销售塑料购物袋多少个？

4.如图，四边形ABCD中，E点在AD上，其中∠BAE=∠BCE=∠ACD=90°，且BC=CE，求证：△ABC与

△DEC全等．

5.如图，现有甲、乙两个小分队分别同时从B、C两地出发前往A地，甲沿线路BA行进，乙沿线路CA行进，已知C在A的南偏东55°方向，AB的坡度为1：5，同时由于地震原因造成BC路段泥石堵塞，在BC路段中位于A的正南方向上有一清障处H，负责抢修BC路段，已知BH为12000m． （1）求BC的长度；

（2）如果两个分队在前往A地时匀速前行，且甲的速度是乙的速度的三倍．试判断哪个分队先到达A地．（tan55°≈1.4，sin55°≈0.84，cos55°≈0.6，≈5.01，结果保留整数）

6.某市为鼓励居民节约用水，规定如下用水收费标准：每户每月的用水量不超过12吨（含12吨）时，水费按a元/吨收费；超过时，不超过12吨（含12吨）时，水费按a元/吨收费；超过时，不超过12吨的部分仍按a元/吨

收费，超过的部分按b元/吨（b＞a）收费，已知该市小明家今年3月份和4月份的用水量、水费如表所示：

月份 用水量（立方米） 水费（元） 3 4 28 56 20 35.2 （1）求a，b的值； （2）设某户1个月的用水量为x（吨），应交水费y（元），求出y与x之间的函数关系式； （3）已知某户5月份的用水量为18吨，求该户5月份的水费．

7.在学习概率的课堂上，老师提出问题：只有一张电影票，小明和小刚想通过抽取扑克牌的游戏来决定谁去看电影，请你设计一个对小明和小刚都公平的方案．

甲同学的方案：将红桃2、3、4、5四张牌背面向上，小明先抽一张，小刚从剩下的三张牌中抽一张，若两张牌上的数字之和是奇数，则小明看电影，否则小刚看电影．

（1）甲同学的方案公平吗？请用列表或画树状图的方法说明；

（2）乙同学将甲的方案修改为只用红桃2、3、4三张牌，抽取方式及规则不变，乙的方案公平吗？（只回答，不说明理由）

8.如图，AB为⊙O的直径，CO⊥AB于点O，D在⊙O上，连接BD、CD，延长CD与AB的延长线交于E，F在BE上，且FD=FE．

（1）求证：FD是⊙O的切线；

（2）若AF=10，tan∠BDF=，求EF的长．

9.如图，抛物线y=ax2+bx+2（a≠0）与x轴交于A（4，0）、B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式，并写出其对称轴；

（2）把（1）中所求出的抛物线记为C1，将C1向右平移m个单位得到抛物线C2，C1与C2的在第一象限交点为M，过点M作MG⊥x轴于点G，交线段AC于点H，连接CM，当△CMH为等腰三角形时，求抛物线向右平移的

距离m和此时点M的坐标．

10.已知Rt△ABD中，边AB=OB=1，∠ABO=90° 问题探究：

（1）以AB为边，在Rt△ABO的右边作正方形ABC，如图（1），则点O与点D的距离为 ． （2）以AB为边，在Rt△ABO的右边作等边三角形ABC，如图（2），求点O与点C的距离． 问题解决：

（3）若线段DE=1，线段DE的两个端点D，E分别在射线OA、OB上滑动，以DE为边向外作等边三角形DEF，如图（3），则点O与点F的距离有没有最大值，如果有，求出最大值，如果没有，说明理

由．

陕西初三初中数学中考模拟答案及解析

一、选择题

1.下列各数中是负数的是（ ）

﹣1

A．|﹣6| B．（﹣6）

C．﹣（﹣6）

0

D．（﹣6）

【答案】B

【解析】首先求出每个选项中的数各是多少；然后根据负数小于0，判断出各数中是负数的是哪个即可． |﹣6|=6＞0， （﹣6）﹣1=﹣

＜0， ﹣（﹣6）=6＞0， （﹣6）0=1＞0，∴各数中是负数的是（﹣6）1．

﹣

【考点】(1)、绝对值；(2)、正数和负数；(3)、相反数；(4)、零指数幂；(5)、负整数指数幂．

2.如图是由4个大小相同的正方体搭成的几何体，其俯视图是（ ）

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】找到从上面看所得到的图形即可． 从上面看可得到一行正方形的个数为3 【考点】简单组合体的三视图．

3.计算（﹣3a3）2的结果是（ ）

556

A．﹣6a B．6a C．9a

D．﹣9a

6

【答案】C

【解析】先根据积的乘方，再根据幂的乘方计算即可． （﹣3a3）2=9a6． 【考点】幂的乘方与积的乘方．

4.某商场一天中售出某种品牌的运动鞋11双，其中各种尺码的鞋的销售量如下表所示，

鞋的尺码（单位：cm） 23 23.5 24 24.5 25 销售量（单位：双） 1 2 2 5 1 那么这11双鞋的尺码组成的一组数据中，众数与中位数分别为（ ） A．23.5，24 B．24，24.5 C．24，24 D．24.5，24.5 【答案】D

【解析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．

从小到大排列此数据为：23、23.5、23.5、24、24、24.5、24.5、24.5、24.5、24.5、25，

数据24.5出现了五次最多为众数． 24.5处在第6位为中位数． 所以众数是24.5，中位数是24.5． 【考点】(1)、众数；(2)、中位数．

5.图，△ABC中，D，E两点分别在AB，AC边上，且DE∥BC，如果

，AC=6，那么AE的长为（ ）

A．3 B．4 C．9 D．12

【答案】B

【解析】根据平行线分线段成比例定理，得到比例式，把已知数据代入计算即可． ∵DE∥BC， ∴

=

，又AC=6， ∴AE=4

【考点】平行线分线段成比例．

6.如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，若AC=12，AB=7，则菱形ABCD的面积是（ ）

A．12

B．36

C．24

D．60

【答案】A

【解析】由菱形的性质得出AC⊥BD，OA=OC=菱形ABCD的面积=∴AC⊥BD，OA=OC=∴BD=2

AC=6，OB=OD=

BD，由勾股定理求出OB，得出BD的长，

AC×BD，即可得出结果． ∵四边形ABCD是平行四边形， AC=6，OB=OD=

BD， ∴OB=AC×BD=

×12×2

=12

=；

=

，

， ∴菱形ABCD的面积=

【考点】菱形的性质．

7.不等式组A．1

的最小整数解为（ ）

B．2

C．5

D．6

【答案】B

【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：大小小大中间找确定不等式组的解集，从而可得最小整数解． 解不等式﹣a≥﹣6，得：a≤6， 解不等式∴1＜a≤6， ∴该不等式组的最小整数解为2 【考点】一元一次不等式组的整数解．

8.已知x1、x2是方程x2=2x+1的两个根，则A．－

的值为（ ）

C．

＞5，得：a＞1，

B．2 D．﹣2

【答案】D

【解析】先把方程化为一般式得x2﹣2x﹣1=0，根据根与系数的关系得到x1+x2=﹣2，x1•x2=﹣1，再把原式通分得

，然后利用整体思想进行计算． 方程化为一般式得x2﹣2x﹣1=0，

根据题意得x1+x2=﹣2，x1•x2=﹣1， ∴原式=

=

=﹣2．

【考点】根与系数的关系．

9.如图，四边形ABCD中，∠A=60°，AD=2，AB=3，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M

不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为（ ）

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【解析】根据三角形的中位线定理得出EF=

DN，从而可知DN最大时，EF最大，因为N与B重合时DN最大，

此时根据勾股定理求得DN，从而求得EF的最大值． 连接DB，过点D作DH⊥AB交AB于点H， ∵ED=EM，MF=FN， ∴EF=

DN， ∴DN最大时，EF最大， ∴N与B重合时DN=DB最大，

==

，AH=ADcos60°=2×=1， ， ∴EFmax=

DB=

， ∴EF的最大值为

在Rt△ADH中， ∵∠A=60° ∴DH=ADsin60°=2×∴BH=AB﹣AH=3﹣1=2， ∴DB=

=

．

【考点】角形中位线定理．

10.如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OA=OC，则下列结论

①abc＜0；②b2﹣4ac＞0；③ac﹣b+1=0；④OA•OB=

．其中正确结论的个数是（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【解析】利用抛物线开口方向得到a＜0，利用抛物线的对称轴位置得到b＜0，利用抛物线与y轴的交点位置得到c＜0，则可对①进行判断；利用抛物线与x轴有2个交点可对②进行判断；把A点坐标代入解析式可对③进行判断；设A、B两点的横坐标为x1、x2，则OA=﹣x1，OB=x2，利用根与系数的关系可对④进行判断． ∵抛物线开口向下， ∴a＜0， ∵抛物线的对称轴在y轴的右侧， ∴b＜0，

∵抛物线与y轴的交点在x轴下方， ∴c＜0， ∴abc＜0，所以①正确；∵抛物线与x轴有2个交点， ∴△=b2﹣4ac＞0，所以②正确； ∵OA=OC，C（0，c）， ∴A（﹣c，0）， ∴ac2﹣bc+c=0， ∴ac﹣b+1=0，所以③正确； 设A、B两点的横坐标为x1、x2，则OA=﹣x1，OB=x2， ∵x1•x2=∴OA•OB=﹣

，所以④错误．

，

【考点】(1)、抛物线与x轴的交点；(2)、二次函数图象与系数的关系．

二、填空题

1.分解因式：a3﹣a= ． 【答案】a（a+1）（a﹣1）．

【解析】先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解． a3﹣a， =a（a2﹣1）， =a（a+1）（a﹣1）． 【考点】提公因式法与公式法的综合运用．

2.．A．已知圆锥的底面半径长为5，圆锥侧面展开后得到一个半圆，则该圆锥的母线长为 ． B．（用计算器）若某人沿坡角为23°的斜坡前进168cm，则他上升的高度是 （精确到0.01m） 【答案】A.10 B.65.m．

【解析】A、侧面展开后得到一个半圆就是底面圆的周长．依此列出方程即可；B、在三角函数中，根据坡度角的正弦值=垂直高度：坡面距离即可解答．

A、设母线长为x，根据题意得： 2πx÷2=2π×5， 解得：x=10． B、如图，∠A=23°，∠C=90°， 则他上升的高度BC=ABsin23°=168•sin23°≈65.

（米）．

【考点】(1)、解直角三角形的应用-坡度坡角问题；(2)、圆锥的计算．

3.如图，反比例函数y=

的图象与矩形AOBC的边AC交于E，且AE=2CE，与另一边BC交于点D，连接DE，

若S△CED=1，则k的值为 ．

【答案】3

【解析】设E的坐标是（m，n），则C的坐标是（3m，n），在y=

中，令x=3m，解得y=

，根据面积公式

求出mn，即可得出选项． 设E的坐标是（m，n），则C的坐标是（3m，n）， 在y=

中，令x=3m，解得：y=

， ∵S△ECD=1， ∴

CE•CD=1， ∴

|m|•|n﹣

|=1，

解得：mn=3， ∴k=3

【考点】反比例函数系数k的几何意义．

4.如图，∠BAC=120°，AD平分∠BAC，且AD=4，点P是射线AB上一动点，连接DP，△PAD的外接圆于AC

交于点Q，则线段QP的最小值是 ．

【答案】2．

【解析】根据圆周角定理求出∠DQP=∠DPQ=60°，求出△PDQ是等边三角形，推出PQ=DP，求出PD的最小值，即可得出答案．

连接DQ，

∵∠BAC=120°，AD平分∠BAC， ∴∠CAD=∠DAB=60°， ∴∠DQP=∠DAB=60°，∠DPQ=∠DAC=60°， ∴∠DQP=∠DPQ=60°， ∴△PDQ是等边三角形， ∴DP=PQ， 在△DAP中，由余弦定理得：

DP2=AD2+AP2﹣2•AD•AP•cos∠DAP， ∵∠DAP=60°，AD=4， ∴DP2=PA2﹣4PA+16=（PA﹣2）2+12， 即当PA=2时，DP2有最小值12， 即DP=2， ∴PQ的最小值是2 【考点】三角形的外接圆与外心．

三、计算题

计算：

【答案】1+2，

【解析】根据负整数指数幂的意义，零指数的规定，绝对值的定义，锐角三角函数的定义即可求出该式子的值．

试题解析：原式=（﹣2）2﹣1+（

﹣2）+2×

=4﹣1+

﹣2+

=1+2

，

【考点】(1)、实数的运算；(2)、零指数幂；(3)、负整数指数幂；(4)、特殊角的三角函数值．

四、解答题

1.化简：【答案】

，并求值，其中a=3+

．

【解析】先将分式化简，然后将a的值代入即可． 试题解析：原式=将a=3+

代入

•

， ∴原式=

=+

=

+

=

=

【考点】分式的化简求值．

2.如图，已知△ABC，用直尺和圆规求作一直线AD，使直线过顶点A，且平分△ABC的面积（不需写作法，保

留作图痕迹）

【答案】答案见解析

【解析】首先作出BC的垂直平分线，可确定BC的中点记作D，再根据三角形的中线平分三角形的面积画出直线AD即可．

试题解析：如图所示：

，

直线AD即为所求．

【考点】作图—复杂作图．

3.为了降低塑料袋﹣﹣“白色污染”对环境污染．学校组织了对使用购物袋的情况的调查，小明同学5月8日到站前市场对部分购物者进行了调查，据了解该市场按塑料购物袋的承重能力分别提供了0.1元，0.2元，0.3元三种质量不同的塑料袋，下面两幅图是这次调查得到的不完整的统计图（若每人每次只使用一个购物袋），请你根据图中的信息，回答下列问题：

（1）这次调查的购物者总人数是 人；

（2）请补全条形统计图，并说明扇形统计图中0.2元部分所对应的圆心角是 度，0.3元部分所对应的圆心角是 度；

（3）若5月8日到该市场购物的人数有3000人次，则该市场应销售塑料购物袋多少个？

【答案】(1)、120； (2)、99 ， 36 (3)、1875

【解析】(1)、根据扇形图中，每部分占总体的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度数与360°的比．已知自备的有45人，占比例为

；可求得总人数．(2)、根据各类别人数等于总数可得0.1元的人数，补全条形图；用

各类别人数占被调查人数的比例可求得扇形统计图中0.2、0.3元元部分所对应的圆心角．(3)、用样本估计总体，按比例可估算出市场需销售塑料购物袋数目． 试题解析：(1)、自备的有45人，占比例为

总人数为45÷

=120人；

(2)、0.1元的人数为：120﹣45﹣33﹣12=30（人），条形统计图如图所示，

0.2元的有33人，占0.3元的有12人，占(3)、3000×

=1875

，其圆心角是=

×360°=99° ×360°=36°；

，其圆心角是

【考点】(1)、条形统计图；(2)、扇形统计图．

4.如图，四边形ABCD中，E点在AD上，其中∠BAE=∠BCE=∠ACD=90°，且BC=CE，求证：△ABC与

△DEC全等．

【答案】证明过程见解析

【解析】根据同角的余角相等可得到∠3=∠5，结合条件可得到∠1=∠D，再加上BC=CE，可证得结论． 试题解析：∵∠BCE=∠ACD=90°， ∴∠3+∠4=∠4+∠5， ∴∠3=∠5， 在△ACD中，∠ACD=90°， ∴∠2+∠D=90°， ∵∠BAE=∠1+∠2=90°， ∴∠1=∠D， ∴△ABC≌△DEC

（AAS）．

【考点】全等三角形的判定．

5.如图，现有甲、乙两个小分队分别同时从B、C两地出发前往A地，甲沿线路BA行进，乙沿线路CA行进，已知C在A的南偏东55°方向，AB的坡度为1：5，同时由于地震原因造成BC路段泥石堵塞，在BC路段中位于A的正南方向上有一清障处H，负责抢修BC路段，已知BH为12000m． （1）求BC的长度；

（2）如果两个分队在前往A地时匀速前行，且甲的速度是乙的速度的三倍．试判断哪个分队先到达A地．（tan55°≈1.4，sin55°≈0.84，cos55°≈0.6，≈5.01，结果保留整数）

【答案】(1)、15360m；(2)、乙

【解析】(1)、利用坡度的定义得出AH的长，再利用tan∠HAC=勾股定理得出AB的长利用cos∠HAC=

，得出CH的长，进而得出答案；(2)、利用

，得出AC的长进而得出答案．

试题解析：(1)、连接AH ∵H在A的正南方向， ∴AH⊥BC， ∵AB的坡度为：1：5， ∴在Rt△ABH中，∴1.4=

=， ∴AH=12000×=2400（m） ∵在Rt△ACH中，tan∠HAC=

，

，即CH=3360m ∴BC=BH+CH=15360m，

，∴0.6=

，即AC=

=4000（m），

(2)、乙先到达目的地，理由如下：在Rt△ACH中，cos∠HAC=在Rt△ABH中，由勾股定理得：AB=

=，设AH=x，BH=5x，

=

x≈5.01×2400=12024（m），

∵3AC=12000＜12024=AB， ∴乙分队先到达目的地．

【考点】(1)、解直角三角形的应用-方向角问题；(2)、解直角三角形的应用-坡度坡角问题．

6.某市为鼓励居民节约用水，规定如下用水收费标准：每户每月的用水量不超过12吨（含12吨）时，水费按a元/吨收费；超过时，不超过12吨（含12吨）时，水费按a元/吨收费；超过时，不超过12吨的部分仍按a元/吨收费，超过的部分按b元/吨（b＞a）收费，已知该市小明家今年3月份和4月份的用水量、水费如表所示：

月份 用水量（立方米） 水费（元） 3 4 28 56 20 35.2 （1）求a，b的值； （2）设某户1个月的用水量为x（吨），应交水费y（元），求出y与x之间的函数关系式； （3）已知某户5月份的用水量为18吨，求该户5月份的水费． 【答案】(1)、a=1.2；b=2.6；(2)、y=

；(3)、30

【解析】(1)、由题意可知，3、4月都超出12吨，所以费用应该由两部分组成，列出方程组即可求出a、b的值；(2)、由于用水量不确定，所以需要分类讨论，第一种情况为当0＜x≤12时，第二种情况为x＞12，； (3)、由题意知，x=18吨，代入（2）中相应的解析式即可求出5月份的水费． 试题解析：(1)、由题意列出方程为：

， 解得：

，

(2)、当0＜x≤12时， y=1.2x， 当x＞12时， ∴y=12×1.2+2.6（x﹣12）=2.6x﹣16.8 综上所述：y=

；

(3)、令x=18 ∴y=2.6×18﹣16.8=30

【考点】(1)、一次函数的应用；(2)、二元一次方程组的应用；(3)、一元一次不等式组的应用．

7.在学习概率的课堂上，老师提出问题：只有一张电影票，小明和小刚想通过抽取扑克牌的游戏来决定谁去看电影，请你设计一个对小明和小刚都公平的方案．

甲同学的方案：将红桃2、3、4、5四张牌背面向上，小明先抽一张，小刚从剩下的三张牌中抽一张，若两张牌上的数字之和是奇数，则小明看电影，否则小刚看电影．

（1）甲同学的方案公平吗？请用列表或画树状图的方法说明；

（2）乙同学将甲的方案修改为只用红桃2、3、4三张牌，抽取方式及规则不变，乙的方案公平吗？（只回答，不说明理由）

【答案】(1)、答案见解析；(2)、不公平

【解析】(1)、依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率，比较即可．(2)、解题思路同上．

试题解析：(1)、甲同学的方案不公平．理由如下： 列表法，

小明 小刚 2 3 4 5 （2，3） （2，4） （2，5） 2 3 （3，2） 4 （4，2） （4，3） （3，4） （3，5） 5 （5，2） （5，3） （5，4） （4，5） =

，

所有可能出现的结果共有12种，其中抽出的牌面上的数字之和为奇数的有：8种，故小明获胜的概率为：则小刚获胜的概率为：， 故此游戏两人获胜的概率不相同，即他们的游戏规则不公平； (2)、不公平．理由如下：

小明 小刚 2 3 4 （2，3） （2，4） 2 3 （3，2） 4 （4，2） （4，3） （3，4） =

，

所有可能出现的结果共有6种，其中抽出的牌面上的数字之和为奇数的有：4种，故小明获胜的概率为：则小刚获胜的概率为：， 故此游戏两人获胜的概率不相同，即他们的游戏规则不公平．

【考点】(1)、游戏公平性；(2)、列表法与树状图法．

8.如图，AB为⊙O的直径，CO⊥AB于点O，D在⊙O上，连接BD、CD，延长CD与AB的延长线交于E，F在BE上，且FD=FE．

（1）求证：FD是⊙O的切线；

（2）若AF=10，tan∠BDF=，求EF的长．

【答案】(1)、证明过程见解析；(2)、2.5

【解析】(1)、连结OD，如图，由CO⊥AB得∠E+∠C=90°，根据等腰三角形的性质由FE=FD，OD=OC得到∠E=∠FDE，∠C=∠ODC，于是有∠FDE+∠ODC=90°，则可根据切线的判定定理得到FD是⊙O的切线；(2)、

连结AD，如图，利用圆周角定理，由AB为⊙O的直径得到∠ADB=90°，则∠A+∠ABD=90°，加上∠OBD=∠ODB，∠BDF+∠ODB=90°，则∠A=∠BDF，易得△FBD∽△FDA，根据相似的性质得在Rt△ABD中，根据正切的定义得到tan∠A=tan∠BDF=

=

=

，再

，于是可计算出DF=2.5，从而得到EF=2.5．

试题解析：(1)、连结OD，如图， ∵CO⊥AB， ∴∠E+∠C=90°， ∵FE=FD，OD=OC， ∴∠E=∠FDE，∠C=∠ODC， ∴∠FDE+∠ODC=90°， ∴∠ODF=90°， ∴OD⊥DF， ∴FD是⊙O的切线； (2)、连结AD，如图， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADB=90°， ∴∠A+∠ABD=90°， ∵OB=OD， ∴∠OBD=∠ODB， ∴∠A+∠ODB=90°， ∵∠BDF+∠ODB=90°， ∴∠A=∠BDF， 而∠DFB=∠AFD， ∴△FBD∽△FDA， ∴

=

， 在Rt△ABD中，tan∠A=tan∠BDF=

=

， ∴

=

，

∴DF=2.5， ∴EF=2.5．

【考点】(1)、切线的判定；(2)、勾股定理；(3)、垂径定理；(4)、解直角三角形．

9.如图，抛物线y=ax2+bx+2（a≠0）与x轴交于A（4，0）、B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式，并写出其对称轴；

（2）把（1）中所求出的抛物线记为C1，将C1向右平移m个单位得到抛物线C2，C1与C2的在第一象限交点为M，过点M作MG⊥x轴于点G，交线段AC于点H，连接CM，当△CMH为等腰三角形时，求抛物线向右平移的

距离m和此时点M的坐标．

【答案】(1)、y=﹣

x2+

x+2，对称轴是：直线x=

；(2)、m=1，M（2，3）.

【解析】(1)、利用交点式求二次函数的解析式，并配方求对称轴；(2)、先求直线AC的解析式，根据各自的解析式设出M（x，﹣

x2+

+2），H（x，﹣

x+2），由图得△CMH为等腰三角形时，CM=CH，则有GH+GM=4，

列式计算求出M的坐标，把M的坐标代入平移后的解析式可并得出m的值． 试题解析：(1)、当x=0时，y=ax2+bx+2=2， ∴抛物线经过（0，2）， ∵抛物线y=ax2+bx+2（a≠0）与x轴交于A（4，0）、B（﹣1，0）两点，

设抛物线的解析式为：y=a（x﹣4）（x+1）， 把（0，2）代入得：2=a（0﹣4）（0+1）， a=﹣∴y=﹣

（x﹣4）（x+1）=﹣

x2+

+2=﹣

（x﹣

）2+

， ；

，

∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+

+2，对称轴是：直线x=

(2)、设直线AC的解析式为：y=kx+b， 把A（4，0）、C（0，2）代入得：∴直线AC的解析式为：y=﹣

x+2， 设M（x，﹣

x2+

+2），H（x，﹣

，解得： x+2），

，

∵△CMH为等腰三角形， ∴CM=CH， ∴C是MH垂直平分线上的点， ∴GH+GM=4， 则﹣

x2+

+2+（﹣

x+2）=4， 解得：x1=0（舍），x2=2， ∴M（2，3），

（x﹣

﹣m）2+

， 把M（2，3）代入得：m=1．

设平移后的抛物线的解析式为：y=﹣

【考点】(1)、抛物线与x轴的交点；(2)、二次函数图象与几何变换；(3)、等腰三角形的性质．

10.已知Rt△ABD中，边AB=OB=1，∠ABO=90° 问题探究：

（1）以AB为边，在Rt△ABO的右边作正方形ABC，如图（1），则点O与点D的距离为 ． （2）以AB为边，在Rt△ABO的右边作等边三角形ABC，如图（2），求点O与点C的距离． 问题解决：

（3）若线段DE=1，线段DE的两个端点D，E分别在射线OA、OB上滑动，以DE为边向外作等边三角形DEF，如图（3），则点O与点F的距离有没有最大值，如果有，求出最大值，如果没有，说明理

由．

【答案】(1)、

；(2)、

；(3)、

.

计算即可．(2)、如图2中，作

计算即可．(3)、如图3中，当

【解析】(1)、如图1中，连接OD，在Rt△ODC中，根据OD=CE⊥OB于E，CF⊥AB于F，连接OC．在Rt△OCE中，根据OC=

OF⊥DE时，OF的值最大，设OF交DE于H，在OH上取一点M，使得OM=DM，连接DM．分别求出MH、OM、FH即可解决问题．

试题解析：(1)、如图1中，连接OD，

∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC=CD=AD=1，∠C=90° 在Rt△ODC中，∵∠C=90°，OC=2，CD=1， ∴OD===．

(2)、如图2中，作CE⊥OB于E，CF⊥AB于F，连接OC．

∵∠FBE=∠E=∠CFB=90°， ∴四边形BECF是矩形， ∴BF=CF=在Rt△OCE中，OC=

=

=

．

，CF=BE=

，

(3)、如图3中，当OF⊥DE时，OF的值最大，设OF交DE于H，在OH上取一点M，使得OM=DM，连接

DM．

∵FD=FE=DE=1，OF⊥DE， ∴DH=HE，OD=OE，∠DOH=

∠DOE=22.5°， ∵OM=DM，

， ∴DM=OM=

．

，

∴∠MOD=∠MDO=22.5°， ∴∠DMH=∠MDH=45°， ∴DH=HM=∵FH=

∴OF的最大值为

【考点】四边形综合题．

=

， ∴OF=OM+MH+FH=．

+

+

=