上海市三区联考(徐汇松江金山)2013届高三数学二模试卷(含答案,理科)

学习能力诊断卷 （理科试卷）

（考试时间：120分钟，满分150分）

2013.4

一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格

内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.

1．若函数

f(x)ax(a0,a1)的反函数图像过点(2,1)，则a= . 13x4x30，f(x)x,x8,的值域为A，集合Bx|则AB= . x143．已知(,0)，且cos，则tan2=___________. 开 始 25，则此圆锥的体积为4．已知圆锥的母线长为5，侧面积为152．已知函数

__________（结果保留）.

5．已知x32i（i为虚数单位）是一元二次方程x(a,b均为实数)的一个根，则ab=__________.

2i=1, S=0 axb0

i2013 是 S=S+否 输出S 结 束 1116．如图给出的是计算1的值的一个程序框图，图

352013中空白执行框内应填入i .

7. 在极坐标系中,过圆标方程是__________.

1 i6cos的圆心,且垂直于极轴的直线的极坐

第6题图

x2sin8. 将参数方程（为参数，R）化为普通方程，

2y12cos所得方程是_____ _____. 9. 在二项式

3(ax)6(aR)的展开式中，常数项的值是20，则

xlim(aa2a3an)= . n10．一质地均匀的正方体三个面标有数字0，另外三个面标有数字1.将此正方体连续抛掷两次，若用随机变量表示两次抛掷后向上面所标有的数字之积，则数学期望E=___________.

x2y21内有两点A1,3,B3,011．已知椭圆,P为椭圆上一点，则PAPB的最大值2516为 . 12.如图，

O为直线A0A2013外一点，若

A2013A0,A,A2013中任意相邻两点的距离相1,A2,A3,A4,A5,1 / 4

A2A1OA0第12题图uuuruuuruuuruuuuur等，设OA0a,OA2013b，用a,b表示OA0OA其结果为 . 1OA2LLOA2013，

13.设函数

fxxx，将

fx向左平移a(a0)个单位得到函数gx，将fx向上平移

a(a0)个单位得到函数hx,若gx的图像恒在hx的图像的上方，则正数a的取值范围

为 .

14.如图，现将一张正方形纸片进行如下操作：第一步，将纸片以D为顶点，任意向上翻折，折痕与BC交于点E1，然后复原，记CDE11；第二步，将纸片以D为顶点向下翻折，使AD与E1D重合，得到折痕E2D,然后复原，记ADE22；第三步，将纸片以D为顶点向上翻折，使CD按此折法从第二步起重复以上步骤„„，3；

与E2D重合，得到折痕E3D，然后复原，记CDE3得到1,2,,n,，则limnn .

二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.

15．已知a,b为实数，命题甲：abb，命题乙：

2110，则甲是乙的（ ） ba

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

1,x0216．已知函数fx0,x0，设F(x)xf(x)，则F(x)是 （ ）

1,x0A.奇函数，在(,)上单调递减 B.奇函数，在(,)上单调递增 C.偶函数，在 D.偶函数，在

,0上递减，在0,上递增 ,0上递增，在0,上递减

2 / 4

17．气象意义上从春季进入夏季的标志为：“连续5天的日平均温度均不低于22 (0C)”.现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数）：

①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22；

②乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24；

③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8；

则肯定进入夏季的地区有 ( ) A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个

18. 如图所示，向量BC的模是向量AB的模的t倍，AB与BC的夹角为,那么我们称向量AB经

过一次t,变换得到向量BC.在直角坐标平面内，设起始向量OA14,0，向量OA1经过n112次,变换得到的向量为An1AnnN*,n1，其中23Ai,Ai1,Ai2(iN*)为逆时针排列，记Ai坐标为ai,biiN*，则下列

命题中不正确的是（ ） ．．．A. C. D.

CBb23 B. b3k1b3k0kN* a3k1a3k10kN*

A第18题图 8ak4ak3ak1ak0kN*

三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.

19．(本题满分12分) 在

ABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边，且sinAcosCcosAsinC33，求ac的值. 43,若2b7,ABC的面积SABC20．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.

某轮船公司的一艘轮船每小时花费的燃料费与轮船航行速度的平方成正比，比例系数为k.轮船的最大速度为15海里/小时.当船速为10海里/小时，它的燃料费是每小时96元，其余航行运作费用（不论速度如何）总计是每小时150元.假定运行过程中轮船以速度v匀速航行．

（1）求k的值；（2）求该轮船航行100海里的总费用W（燃料费+航行运作费用）的最小值.

21．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分， 第2小题满分8分.

如图，已知ABCABC它的底面边长和侧棱长都是2，111是正三棱柱，

C1DCB1BD为侧棱CC1的中点．

（1）求异面直线A； 1D与BC所成角的大小（结果用反三角函数值表示）（2）求直线AB11到平面DAB的距离.

3 / 4

A1A第21题图

22．(本题满分16分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.

已知数列

1Sn*的前项和为,数列是首项为，公差为的等差数列. 0a(nN)nSnn2n（1）求数列（2）设bnan的通项公式；

4a2n(nN*)，对任意的正整数k，将集合b2k1,b2k,b2k1中的三个元素排15成一个递增的等差数列，其公差为dk，求证：数列（3）对（2）题中的dk，求集合

dk为等比数列；

xdkxdk1,xZ的元素个数.

23．(本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题有三个问题情形，每位考生只能选择一个作答，若多答，只对所答情形中最前面的一个记分，情形一、二、三满分依次为5分、6分、8分.

已知双曲线C的中心在原点，D1,0是它的一个顶点，d(1,2)是它的一条渐近线的一个

方向向量.

(1) 求双曲线C的方程；

(2) 若过点(3,0)任意作一条直线与双曲线C交于A,B两点 (A,B都不同于点D)，

求证：DADB为定值；

x2y2(3) 对于双曲线:221(a0,b0,ab)，E为它的右顶点，M,N为双曲线上的两点

ab(都不同于点E)，且EMEN，那么直线MN是否过定点？若是，请求出此定点的坐标；若不是，说明理由.然后在以下三个情形中选择一个，写出类似结论（不要求书写求解或证明过程）.

x2y2情形一：双曲线221(a0,b0,ab)及它的左顶点；

ab情形二：抛物线y22px(p0)及它的顶点；

x2y2情形三：椭圆221(ab0)及它的顶点.

ab4 / 4

（理）参

一．填空题:(本题共有14题，每小题4分)

124 2. 2,3 3.  4. 12 5. 19 6．i2 7. cos3 271128. yx3(2x2) 9.  10. 11.15 12.1007(ab)

4413.a2 14.

61．

二．选择题：（本题共有4小题，每小题5分） 15. B 16. B 17. C 18.D 三．解答题 19．（本题12分） 解：由条件可得sin(AC)3，„„„„„2分 2即sinB3，„„„„„4分 213SABCacsinB3.ac3.„„„„„„„„„„„„6分

24由余弦定理b2若cosBa2c22accosB,得b2(ac)22ac2accosB,„„„„„„8分

112，则7(ac)23(1).ac4， „„„„„„„„„„„„„10分 22112若cosB，则7(ac)23(1).ac10，经检验，不成立（舍） „„11分

22故ac4 „„„„„„„„„„„„„12分

20.（本题14分）本题共有2小题，第（1）小题6分，第（2）小题8分. 解：（1）由题意得燃料费W1kv，„„„„„„„„„„„„2分

把v=10，W196代入得k0.96.„„„„„„„„„„„„„„„„„„6分 （2）W20.96v2100100150，„„„„„„„„„„„„„„9分 vv15000214400002400，„„„„„„„„„11分 =96vv15000时成立，解得

vv其中等号当且仅当96v1500012.515，„„„„„13分 96 所以，该轮船航行100海里的总费用W的最小值为2400（元）. „„„„„„„„„„„14分

21．（本题14分）本题共有2题，第(1)小题6分,第(2)小题8分. 解：（1）方法一：

以AB11中点O为坐标原点，如图建立空间直角坐标系.„„„1分 由题意得

B1BC1zDCA11,0,0,D0,1,3,B1,2,0,C0,2,3 ,1,3,BC1,0,3. .............3分 则A1D1yOA1xA5 / 4

设为向量ADBC的夹角，则 1与13cos222(1)1312325，.....5分 5

C1DC

5异面直线A1D与BC所成角的大小为arccos . ...... 6分 5方法二：取B1B中点E，连结AE1,DE.

B1EBA1ADE//CB„„„„„„„„„„„„„.2分

（或其补角）为异面直线ADADE1与BC所成的角. „„3分 1由题意得:

在RtAB11E中，AE15;在RtAC5;„„„„„„„„4分 11D中，AD1DE

52cosADE在等腰三角形ADE中， . 11CAD51„„„5分

z1DCarccos所以异面直线A1D与BC所成角的大小为 . .... 6分

A1O55B1By（2）方法一：

由题意可得ABABD, 11//平面Ax所以，AB11到平面DAB的距离即为A1到平面DAB的距离，设为h. „„„„„.8分

r设平面ABD的法向量为n，nx,y,1, ,0,0),A1,2,0,D由A1(10,1,3,B1,2,0得 AB2，0，0，AD1，1，3，AD1,1,3,„„„„„„„11分 12x0 x0ABn0xy30y3, ADn0

即n0,3,1. „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„12分

所以 033nAD1h3, 2n

故直线AB11到平面DAB的距离为方法二：

由题意可得ABABD, 11//平面所以，AB11到平面DAB的距离即为A1到平面DAB的距离，设为h.„„„„„.8分 由题意得ADADBD1等腰ADB底边AB上的高为则SAA1B2，

3.„„„„„„„„„„„„„14分

5,AB2， 512，

1SABD222,26 / 4

且D到平面ABB1A1的距离为

3，„„„„„„„„„„„„„„„12分

由VA1ABDVDA1AB得„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„13分

11SABDhSA1AB3，则h3， 33

所以，直线AB11到平面DAB的距离为3.„„„„„14分

22．(本题满分16分) 本题共有3个小题，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分, 第（3）小题

满分6分. 解：(1)由条件得

Sn1n0(n1)，即Sn(n1),…………………………..2分 n22n1(nN*). ……………………………………………………..4分

所以，an4(2)n1(nN*) 154444(2)2k222k2，b2k(2)2k122k1, 所以，b2k11515151544b2k1(2)2k22k，…………………………..7分

1515 (2) 由（1）可知bn由2b2k1b2kb2k1及b2kb2k1b2k1得

b2k,b2k1,b2k1依次成递增的等差数列, …………………………..8分

42k42k24k22，…………………………..9分 所以dkb2k1b2k115155满足

dk14为常数，所以数列dk为等比数列. …………………………..10分 dk1k15Ck25k2(1)k4k(51)k5kCkdk555，…………………………..12分

11k25k1Ck5Ck25k3Ckk150(1)k15 （3）①当k为奇数时，

4k1(51)k1k11k12k2k0k5Ck5C5C5(1)同样，可得dk1, 1k1k1555所以，集合

11xdxd,xZ(d)(d)1 的元素个数为kk1k1k5533(4k1)dk1dk；……..13分

553(4k1)②当k为偶数时，同理可得集合xdkxdk1,xZ的元素个数为. .…..16分

57 / 4

23．(本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题有三个问题情形，每位考生只能选择一个作答，若多答，只对所答情形中最前面的一个记分，情形一、二、三满分依次为5分、7分、8分。

x2y2解：(1)设双曲线C的方程为221(a0,b0)，则a1，…….2分

aby2b21. ………….4分 又2 ，得b2，所以，双曲线C的方程为xa2(2) 当直线AB垂直于x轴时，其方程为x3，A,B的坐标为(3,4)、(3,4)，

DA(4,4),DB(4,4)，得DADB=0. ………………..6分

yk(x3) 当直线AB不与x轴垂直时，设此直线方程为yk(x3)，由2得 22xy2

(2k2)x26k2x9k220.

6k29k22 设A(x1,y1),B(x2,y2)，则x1x2, x1x2，……………..8分 222k2k故DADB(x11)(x21)y1y2(x11)(x21)k2(x13)(x23) (k21)x1x2(3k21)(x1x2)9k21.……....9分

9k226k222(k1)＋(3k1)＋9k1=0 . 综上，DADB=0为定值. ………………10分 222k2k2(3)当M,N满足EMEN时，取M,N关于x轴的对称点M、N，由对称性知EMEN，此时

MN与MN所在直线关于x轴对称，若直线MN过定点，则定点必在x轴上. …… ..11分

设直线MN的方程为：xmyt，

xmyt22222222 由22，得(bma)y2bmtyb(ta)0 2222bxayab2b2mtb2(t2a2) 设M(x1,y1),N(x2,y2)，则y1y222, y1y222，

bma2bma2 由EMEN，得(x1a)(x2a)y1y20，(my1ta)(my2ta)y1y20，

2 即(1m2)y1y2m(ta)(y1y2)(ta)20，

b2(t2a2)2b2mt(1m)222m(ta)222(ta)20，

bmabma8 / 4

a(a2b2) 化简得， t或ta (舍)， ……………………………………….13分 22aba(a2b2) 所以，直线MN过定点(,0). ………………………………..14分

a2b2x2y2 情形一：在双曲线 ：221(a0,b0,ab)中，若E为它的左顶点，M,N为双曲线上

aba(a2b2)的两点(都不同于点E)，且EMEN，则直线MN过定点(,0). …….15分

a2b2 情形二：在抛物线y2若M,N为抛物线上的两点(都不同于原点O)，且OMON2px(p0)中，

，

则直线MN过定点(2p,0). …………..16分

x2y2 情形三：（1）在椭圆221(ab0)中，若E为它的右顶点，M,N为椭圆上的两点(都不同

aba(a2b2)于点E), 且EMEN，则直线MN过定点(,0)；…………..15分 22abx2y2（2）在椭圆221(ab0)中，若E为它的左顶点，M,N为椭圆上的两点(都不同于点E)，

aba(b2a2)且EMEN，则直线MN过定点(,0) ；………..16分 22abx2y2（3）在椭圆221(ab0)中，若F为它的上顶点，M,N为椭圆上的两点(都不同于点F), 且

abb(b2a2)FMFN，则直线MN过定点(0,22)； ………..17分

abx2y2（4）在椭圆221(ab0)中，若F为它的下顶点，M,N为椭圆上的两点(都不同于点F), 且

abb(a2b2)FMFN，则直线MN过定点(0,22). ………..18分

ab

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