2016-2017学年广东省东莞市中堂星晨学校八年级（上）第一次月
考数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1.下列所给的各组线段，能组成三角形的是（ ） A.10𝑐𝑚、20𝑐𝑚、30𝑐𝑚 B.20𝑐𝑚、30𝑐𝑚、40𝑐𝑚 C.10𝑐𝑚、20𝑐𝑚、40𝑐𝑚 D.10𝑐𝑚、40𝑐𝑚、50𝑐𝑚
2.某同学把一块三角形的玻璃打碎成了3块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事方法是（ ）
A.带①去 B.带②去 C.带③去 D.①②③都带去
3.如果从一个多边形的一个顶点出发作它的对角线，最多能将多边形分成2011个三角形，那么这个多边形是（ ） A.2012边形 B.2013边形 C.2014边形 D.2015边形
4.正多边形的一个内角等于144∘，则该多边形是正（ ）边形． A.8 B.9 C.10 D.11
5.等腰三角形中，一个角为50∘，则这个等腰三角形的顶角的度数为（ ） A.150∘ B.80∘ D.70∘ C.50∘或80∘
6.下列说法正确的是（ ）
A.全等三角形是指形状相同大小相等的三角形 B.全等三角形是指面积相等的三角形 C.周长相等的三角形是全等三角形 D.所有的等边三角形都是全等三角形
7.如图所示，在下列条件中，不能判断△𝐴𝐵𝐷≅△𝐵𝐴𝐶的条件是（ ）
A.∠𝐷=∠𝐶，∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐴𝐵𝐶
B.∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐴𝐵𝐶，∠𝐴𝐵𝐷=∠𝐵𝐴𝐶 C.𝐵𝐷=𝐴𝐶，∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐴𝐵𝐶 D.𝐴𝐷=𝐵𝐶，𝐵𝐷=𝐴𝐶
8.如图，𝐸，𝐵，𝐹，𝐶四点在一条直线上，𝐸𝐵=𝐶𝐹，∠𝐴=∠𝐷，再添一个条件仍不能证明
△𝐴𝐵𝐶≅△𝐷𝐸𝐹的是（ ）
A.𝐴𝐵=𝐷𝐸 B.𝐷𝐹 // 𝐴𝐶 C.∠𝐸=∠𝐴𝐵𝐶 D.𝐴𝐵 // 𝐷𝐸
9.△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐶=5，中线𝐴𝐷=7，则𝐴𝐵边的取值范围是（ ） A.1<𝐴𝐵<29 B.4<𝐴𝐵<24 C.5<𝐴𝐵<19 D.9<𝐴𝐵<19
10.如图，点𝐵、𝐶、𝐸在同一条直线上，△𝐴𝐵𝐶与△𝐶𝐷𝐸都是等边三角形，则下列结论不一定成立的是（ ）
A.△𝐴𝐶𝐸≅△𝐵𝐶𝐷 B.△𝐵𝐺𝐶≅△𝐴𝐹𝐶 C.△𝐷𝐶𝐺≅△𝐸𝐶𝐹 D.△𝐴𝐷𝐵≅△𝐶𝐸𝐴 二、填空题（每小题3分，共18分）
11.如图，△𝐴𝐵𝐶≅△𝐷𝐸𝐹，𝐴与𝐷，𝐵与𝐸分别是对应顶点，∠𝐵=32∘，∠𝐴=68∘，𝐴𝐵=13𝑐𝑚，则∠𝐹=________度，𝐷𝐸=________𝑐𝑚．
12.如图，∠1=________．
13.一个等腰三角形有两边分别为5和8厘米，则周长是________厘米．
14.如图，𝐴𝐸=𝐵𝐹，𝐴𝐷 // 𝐵𝐶，𝐴𝐷=𝐵𝐶，则有△𝐴𝐷𝐹≅________，且𝐷𝐹=________．
15.如图，在△𝐴𝐵𝐶和△𝐷𝐸𝐹，若𝐴𝐵=𝐷𝐸，𝐵𝐸=𝐶𝐹，要使△𝐴𝐵𝐶≅△𝐷𝐸𝐹，还需添加一个条件（只要写出一个就可以）是________．
16.如图，已知∠1=∠2，要说明△𝐴𝐵𝐶≅△𝐵𝐴𝐷，
(1)若以“𝑆𝐴𝑆”为依据，则需添加一个条件是________；
(2)若以“𝐴𝐴𝑆”为依据，则需添加一个条件是________；
(3)若以“𝐴𝑆𝐴”为依据，则需添加一个条件是________． 三、解答题（共52分）
17.尺规作图：已知∠𝛼，求作：∠𝐴使∠𝐴=∠𝛼（ 不写作法，保留痕迹 ）
18.已知等腰三角形的一边长等于6𝑐𝑚，周长等于28𝑐𝑚，求其他两边的长．
19.如图，已知𝐷为△𝐴𝐵𝐶边𝐵𝐶延长线上一点，𝐷𝐹⊥𝐴𝐵于𝐹交𝐴𝐶于𝐸，∠𝐴=35∘，∠𝐷=42∘，求∠𝐴𝐶𝐷的度数．
20.如图，𝐴𝐶=𝐷𝐹，𝐴𝐷=𝐵𝐸，𝐵𝐶=𝐸𝐹．求证：
(1)△𝐴𝐵𝐶≅△𝐷𝐸𝐹；
(2)𝐴𝐶 // 𝐷𝐹．
21.如图，在等边△𝐴𝐵𝐶中，点𝐷，𝐸分别在边𝐵𝐶，𝐴𝐵上，且𝐵𝐷=𝐴𝐸，𝐴𝐷与𝐶𝐸交于点𝐹．
(1)求证：𝐴𝐷=𝐶𝐸；
(2)求∠𝐷𝐹𝐶的度数．
22.如图所示，𝐴𝐵=𝐴𝐷，𝐴𝐶=𝐴𝐸，∠1=∠2，求证：△𝐴𝐵𝐶≅△𝐴𝐷𝐸．
23.如图1，四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是正方形，𝐺是𝐶𝐷边上的一个动点（点𝐺与𝐶、𝐷不重合），以𝐶𝐺为一边在正方形𝐴𝐵𝐶𝐷外作正方形𝐶𝐸𝐹𝐺，连接𝐵𝐺，𝐷𝐸．我们探究下列图中线段𝐵𝐺、线段𝐷𝐸的长度关系及所在直线的位置关系．
(1)猜想图1中线段𝐵𝐺、线段𝐷𝐸的长度关系及所在直线的位置关系；
(2)将图1中的正方形𝐶𝐸𝐹𝐺绕着点𝐶按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度𝑎，得到如图2、如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断(1)中得到的结论是否仍然成立，并选取图2证明你的判断． 答案
1. 【答案】B
【解析】根据三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，进行判定即可． 【解答】解：𝐴、∵10+20=30∴不能构成三角形； 𝐵、∵20+30>40∴能构成三角形； 𝐶、∵20+10<40∴不能构成三角形； 𝐷、∵10+40=50∴不能构成三角形． 故选𝐵． 2. 【答案】C
【解析】本题就是已知三角形破损部分的边角，得到原来三角形的边角，根据三角形全等的判定方法，即可求解．
【解答】解：第一块和第二块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这两块中的任一块均不能配一块与原来完全一样的；
第三块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据𝐴𝑆𝐴来配一块一样的玻璃．应带③去． 故选：𝐶． 3. 【答案】B
【解析】经过𝑛边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成(𝑛−2)个三角形，根据此关系式求边数．
【解答】解：设多边形有𝑛条边， 则𝑛−2=2011， 解得：𝑛=2013．
所以这个多边形的边数是2013． 故选：𝐵． 4. 【答案】C
【解析】根据正多边形的每个内角相等，可得正多边形的内角和，再根据多边形的内角和公式，可得答案．
【解答】解：设正多边形是𝑛边形，由题意得 (𝑛−2)×180∘=144∘𝑛． 解得𝑛=10， 故选；𝐶． 5. 【答案】C
【解析】因为题中没有指明该角是顶角还是底角，所以要分两种情况进行分析． 【解答】解：①50∘是底角，则顶角为：180∘−50∘×2=80∘； ②50∘为顶角；所以顶角的度数为50∘或80∘． 故选：𝐶． 6. 【答案】A
【解析】根据能够完全重合的两个三角形是全等三角形，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：𝐴、形状相同大小相等的三角形能够完全重合，是全等三角形，故本选项正确；
𝐵、面积相等的三角形形状不一定相同，所以不一定完全重合，故本选项错误；
𝐶、周长相等的三角形，形状不一定相同，大小不一定相等，所以不一定是全等三角形，故本选项错误；
𝐷、所有的等边三角形形状都相同，大小与边长有关，边长不相等，则不能够重合，所以不一定是全等三角形，故本选项错误． 故选𝐴． 7. 【答案】C
【解析】本题已知条件是两个三角形有一公共边，只要再加另外两边对应相等或有两角对应相等即可，如果所加条件是一边和一角对应相等，必须是这边和公共边的夹角对应相等，只有符合以上条件，才能根据三角形全等判定定理得出结论． 【解答】解：𝐴、符合𝐴𝐴𝑆，能判断△𝐴𝐵𝐷≅△𝐵𝐴𝐶； 𝐵、符合𝐴𝑆𝐴，能判断△𝐴𝐵𝐷≅△𝐵𝐴𝐶； 𝐶、符合𝑆𝑆𝐴，不能判断△𝐴𝐵𝐷≅△𝐵𝐴𝐶； 𝐷、符合𝑆𝑆𝑆，能判断△𝐴𝐵𝐷≅△𝐵𝐴𝐶．
故选𝐶． 8. 【答案】A
【解析】由𝐸𝐵=𝐶𝐹，可得出𝐸𝐹=𝐵𝐶，又有∠𝐴=∠𝐷，本题具备了一组边、一组角对应相等，为了再添一个条件仍不能证明△𝐴𝐵𝐶≅△𝐷𝐸𝐹，那么添加的条件与原来的条件可形成𝑆𝑆𝐴，就不能证明△𝐴𝐵𝐶≅△𝐷𝐸𝐹了．
【解答】解：𝐴、添加𝐷𝐸=𝐴𝐵与原条件满足𝑆𝑆𝐴，不能证明△𝐴𝐵𝐶≅△𝐷𝐸𝐹，故𝐴选项正确．
𝐵、添加𝐷𝐹 // 𝐴𝐶，可得∠𝐷𝐹𝐸=∠𝐴𝐶𝐵，根据𝐴𝐴𝑆能证明△𝐴𝐵𝐶≅△𝐷𝐸𝐹，故𝐵选项错误． 𝐶、添加∠𝐸=∠𝐴𝐵𝐶，根据𝐴𝐴𝑆能证明△𝐴𝐵𝐶≅△𝐷𝐸𝐹，故𝐶选项错误．
𝐷、添加𝐴𝐵 // 𝐷𝐸，可得∠𝐸=∠𝐴𝐵𝐶，根据𝐴𝐴𝑆能证明△𝐴𝐵𝐶≅△𝐷𝐸𝐹，故𝐷选项错误． 故选：𝐴． 9. 【答案】D
【解析】延长𝐴𝐷至𝐸，使𝐷𝐸=𝐴𝐷，连接𝐶𝐸，使得△𝐴𝐵𝐷≅△𝐸𝐶𝐷，则将𝐴𝐵和已知线段转化到一个三角形中，进而利用三角形的三边关系确定𝐴𝐵的范围即可． 【解答】
解：延长𝐴𝐷至𝐸，使𝐷𝐸=𝐴𝐷，连接𝐶𝐸．
在△𝐴𝐵𝐷和△𝐸𝐶𝐷中，𝐵𝐷=𝐶𝐷，∠𝐴𝐷𝐵=∠𝐸𝐷𝐶，𝐴𝐷=𝐸𝐷， ∴△𝐴𝐵𝐷≅△𝐸𝐶𝐷(𝑆𝐴𝑆)． ∴𝐴𝐵=𝐶𝐸．
在△𝐴𝐶𝐸中，根据三角形的三边关系，得 𝐴𝐸−𝐴𝐶<𝐶𝐸<𝐴𝐸+𝐴𝐶， 即9<𝐶𝐸<19． 则9<𝐴𝐵<19． 故选𝐷．
10. 【答案】D
【解析】首先根据角间的位置及大小关系证明∠𝐵𝐶𝐷=∠𝐴𝐶𝐸，再根据边角边定理，证明△𝐵𝐶𝐸≅△𝐴𝐶𝐷；由△𝐵𝐶𝐸≅△𝐴𝐶𝐷可得到∠𝐷𝐵𝐶=∠𝐶𝐴𝐸，再加上条件𝐴𝐶=𝐵𝐶，∠𝐴𝐶𝐵=∠𝐴𝐶𝐷=60∘，可证出△𝐵𝐺𝐶≅△𝐴𝐹𝐶，再根据△𝐵𝐶𝐷≅△𝐴𝐶𝐸，可得∠𝐶𝐷𝐵=
∠𝐶𝐸𝐴，再加上条件𝐶𝐸=𝐶𝐷，∠𝐴𝐶𝐷=∠𝐷𝐶𝐸=60∘，又可证出△𝐷𝐶𝐺≅△𝐸𝐶𝐹，利用排除法可得到答案．
【解答】解：∵△𝐴𝐵𝐶和△𝐶𝐷𝐸都是等边三角形， ∴𝐵𝐶=𝐴𝐶，𝐶𝐸=𝐶𝐷，∠𝐵𝐶𝐴=∠𝐸𝐶𝐷=60∘， ∴∠𝐵𝐶𝐴+∠𝐴𝐶𝐷=∠𝐸𝐶𝐷+∠𝐴𝐶𝐷， 即∠𝐵𝐶𝐷=∠𝐴𝐶𝐸，
𝐵𝐶=𝐴𝐶
∴在△𝐵𝐶𝐷和△𝐴𝐶𝐸中 ∠𝐴𝐶𝐸=∠𝐵𝐶𝐷，
𝐶𝐷=𝐶𝐸∴△𝐵𝐶𝐷≅△𝐴𝐶𝐸(𝑆𝐴𝑆)， 故𝐴成立，
∴∠𝐷𝐵𝐶=∠𝐶𝐴𝐸，
∵∠𝐵𝐶𝐴=∠𝐸𝐶𝐷=60∘， ∴∠𝐴𝐶𝐷=60∘，
∠𝐶𝐴𝐸=∠𝐶𝐵𝐷
在△𝐵𝐺𝐶和△𝐴𝐹𝐶中 𝐴𝐶=𝐵𝐶，
∠𝐴𝐶𝐵=∠𝐴𝐶𝐷=60∘∴△𝐵𝐺𝐶≅△𝐴𝐹𝐶， 故𝐵成立，
∵△𝐵𝐶𝐷≅△𝐴𝐶𝐸， ∴∠𝐶𝐷𝐵=∠𝐶𝐸𝐴，
∠𝐶𝐷𝐵=∠𝐶𝐸𝐴
在△𝐷𝐶𝐺和△𝐸𝐶𝐹中 𝐶𝐸=𝐶𝐷，
∠𝐴𝐶𝐷=∠𝐷𝐶𝐸=60∘
∴△𝐷𝐶𝐺≅△𝐸𝐶𝐹， 故𝐶成立， 故选：𝐷．
11. 【答案】80,13
【解析】先运用三角形内角和求出∠𝐶，再运用全等三角形的性质可求∠𝐹与𝐷𝐸． 【解答】解：∵∠𝐵=32∘，∠𝐴=68∘ ∴∠𝐶=180∘−32∘−68∘=80∘ 又△𝐴𝐵𝐶≅△𝐷𝐸𝐹
∴∠𝐹=80度，𝐷𝐸=13𝑐𝑚． 12. 【答案】120∘
【解析】根据三角形的外角性质，即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，可直接求出∠1=(180∘−140∘)+80∘=120∘． 【解答】解：∠1=(180∘−140∘)+80∘=120∘． 13. 【答案】18或21
【解析】题目给出等腰三角形有两条边长为5𝑐𝑚和8𝑐𝑚，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形． 【解答】解：∵等腰三角形两边为5和8厘米 ∴等腰三角形三边可能为5，5，8或5，8，8 ∴周长可能为18或21厘米． 故填18或21．
14. 【答案】△𝐵𝐶𝐸,𝐶𝐸
【解析】由题中条件可由𝐴𝑆𝐴判定△𝐴𝐷𝐹≅△𝐵𝐶𝐸，进而得出𝐷𝐹=𝐶𝐸． 【解答】解：∵𝐴𝐸=𝐵𝐹，∴𝐴𝐹=𝐵𝐸， ∵𝐴𝐷 // 𝐵𝐶，∴∠𝐴=∠𝐷， 又𝐴𝐷=𝐵𝐶，
∴△𝐴𝐷𝐹≅△𝐵𝐶𝐸， ∴𝐷𝐹=𝐶𝐸．
故答案为：△𝐵𝐶𝐸，𝐶𝐸． 15. 【答案】∠𝐵=∠𝐷𝐸𝐹
【解析】求出𝐵𝐶=𝐸𝐹，根据𝑆𝐴𝑆推出全等即可，此题是一道开放型的题目，答案不唯一． 【解答】解：∠𝐵=∠𝐷𝐸𝐹，
理由是：∵𝐵𝐸=𝐶𝐹， ∴𝐵𝐸+𝐸𝐶=𝐶𝐹+𝐸𝐶， ∴𝐵𝐶=𝐸𝐹，
在△𝐴𝐵𝐶和△𝐷𝐸𝐹中
𝐴𝐵=𝐷𝐸 ∠𝐵=∠𝐷𝐸𝐹 𝐵𝐶=𝐸𝐹
∴△𝐴𝐵𝐶≅△𝐷𝐸𝐹(𝑆𝐴𝑆)， 故答案为：∠𝐵=∠𝐷𝐸𝐹．
16. 【答案】(1)𝐴𝐶=𝐵𝐷；; (2)∠𝐶=∠𝐷；; (3)∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐵𝐴𝐷．
【解析】本题要判定△𝐴𝐵𝐶≅△𝐵𝐴𝐷，已知∠1=∠2，𝐴𝐵是公共边，具备了一边、一角对应相等，故添加𝐴𝐶=𝐵𝐷、∠𝐶=∠𝐷、∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐵𝐴𝐷，可分别根据𝑆𝐴𝑆、𝐴𝐴𝑆、𝐴𝑆𝐴判定全等．; ;
【解答】解：(1)若以“𝑆𝐴𝑆”为依据，则需添加一个条件是𝐴𝐶=𝐵𝐷；; (2)若以“𝐴𝐴𝑆”为依据，则需添加一个条件是∠𝐶=∠𝐷；; (3)若以“𝐴𝑆𝐴”为依据，则需添加一个条件是∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐵𝐴𝐷．
17. 【答案】解：如图所示：
∠𝐴即为所求．
【解析】首先画射线𝐴𝐾，以点𝑂为圆心，以任意长为半径画弧，分别交𝑂𝑀，𝑂𝑁于点𝐶，𝐵，再以点𝐴为圆心，以𝑂𝐵的长为半径画弧，交𝐴𝐾于𝐸，以𝐵𝐶的长为半径，以点𝐸为圆心画弧，两弧相交于点𝐹，画射线𝐸𝐹即可得出∠𝐴=∠𝛼． 【解答】解：如图所示：
∠𝐴即为所求．
18. 【答案】解：若腰长为6𝑐𝑚，则另一腰的长也为6𝑐𝑚，则底边长为28−6−6=16𝑐𝑚， 此时三角形的三边为6𝑐𝑚，6𝑐𝑚，16𝑐𝑚， ∵6+6<16，不能构成三角形， ∴此情况舍去；
若底边长度为6𝑐𝑚，则两腰的长度为
28−62
=11(𝑐𝑚)，
∴此时其他两边的长度为11𝑐𝑚，11𝑐𝑚．
【解析】分腰长为6𝑐𝑚和底边长度为6𝑐𝑚两种情况，根据等腰三角形的性质讨论可得． 【解答】解：若腰长为6𝑐𝑚，则另一腰的长也为6𝑐𝑚，则底边长为28−6−6=16𝑐𝑚， 此时三角形的三边为6𝑐𝑚，6𝑐𝑚，16𝑐𝑚，
∵6+6<16，不能构成三角形， ∴此情况舍去；
若底边长度为6𝑐𝑚，则两腰的长度为
28−62
=11(𝑐𝑚)，
∴此时其他两边的长度为11𝑐𝑚，11𝑐𝑚． 19. 【答案】∠𝐴𝐶𝐷的度数为83∘．
【解析】根据三角形外角与内角的关系及三角形内角和定理解答． 【解答】解：∵∠𝐴𝐹𝐸=90∘，
∴∠𝐴𝐸𝐹=90∘−∠𝐴=90∘−35∘=55∘， ∴∠𝐶𝐸𝐷=∠𝐴𝐸𝐹=55∘，
∴∠𝐴𝐶𝐷=180∘−∠𝐶𝐸𝐷−∠𝐷=180∘−55∘−42∘=83∘．
20. 【答案】证明：(1)∵𝐴𝐷=𝐵𝐸， ∴𝐴𝐷+𝐷𝐵=𝐵𝐸+𝐷𝐵， ∴𝐴𝐵=𝐷𝐸，
在△𝐴𝐵𝐶和△𝐷𝐸𝐹中， 𝐴𝐶=𝐷𝐹 𝐴𝐵=𝐷𝐸， 𝐵𝐶=𝐸𝐹
∴△𝐴𝐵𝐶≅△𝐷𝐸𝐹(𝑆𝑆𝑆)．; (2)∵△𝐴𝐵𝐶≅△𝐷𝐸𝐹， ∴∠𝐴=∠𝐸𝐷𝐹， ∴𝐴𝐶 // 𝐷𝐹．
【解析】(1)求出𝐴𝐵=𝐷𝐸，根据𝑆𝑆𝑆证出两三角形全等即可．; (2)根据全等三角形性质得出∠𝐴=∠𝐸𝐷𝐹，根据平行线的判定推出即可． 【解答】证明：(1)∵𝐴𝐷=𝐵𝐸， ∴𝐴𝐷+𝐷𝐵=𝐵𝐸+𝐷𝐵， ∴𝐴𝐵=𝐷𝐸，
在△𝐴𝐵𝐶和△𝐷𝐸𝐹中， 𝐴𝐶=𝐷𝐹 𝐴𝐵=𝐷𝐸， 𝐵𝐶=𝐸𝐹
∴△𝐴𝐵𝐶≅△𝐷𝐸𝐹(𝑆𝑆𝑆)．; (2)∵△𝐴𝐵𝐶≅△𝐷𝐸𝐹， ∴∠𝐴=∠𝐸𝐷𝐹， ∴𝐴𝐶 // 𝐷𝐹．
21. 【答案】(1)证明：∵△𝐴𝐵𝐶是等边三角形， ∴∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐵=60∘，𝐴𝐵=𝐴𝐶． 又∵𝐴𝐸=𝐵𝐷，
∴△𝐴𝐸𝐶≅△𝐵𝐷𝐴(𝑆𝐴𝑆)． ∴𝐴𝐷=𝐶𝐸；; (2)解： ∵(1)△𝐴𝐸𝐶≅△𝐵𝐷𝐴， ∴∠𝐴𝐶𝐸=∠𝐵𝐴𝐷，
∴∠𝐷𝐹𝐶=∠𝐹𝐴𝐶+∠𝐴𝐶𝐹=∠𝐹𝐴𝐶+∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐵𝐴𝐶=60∘．
【解析】根据等边三角形的性质，利用𝑆𝐴𝑆证得△𝐴𝐸𝐶≅△𝐵𝐷𝐴，所以𝐴𝐷=𝐶𝐸，
∠𝐴𝐶𝐸=∠𝐵𝐴𝐷，再根据三角形的外角与内角的关系得到∠𝐷𝐹𝐶=∠𝐹𝐴𝐶+∠𝐴𝐶𝐹=∠𝐹𝐴𝐶+
∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐵𝐴𝐶=60∘．;
【解答】(1)证明：∵△𝐴𝐵𝐶是等边三角形， ∴∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐵=60∘，𝐴𝐵=𝐴𝐶． 又∵𝐴𝐸=𝐵𝐷，
∴△𝐴𝐸𝐶≅△𝐵𝐷𝐴(𝑆𝐴𝑆)． ∴𝐴𝐷=𝐶𝐸；; (2)解： ∵(1)△𝐴𝐸𝐶≅△𝐵𝐷𝐴， ∴∠𝐴𝐶𝐸=∠𝐵𝐴𝐷，
∴∠𝐷𝐹𝐶=∠𝐹𝐴𝐶+∠𝐴𝐶𝐹=∠𝐹𝐴𝐶+∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐵𝐴𝐶=60∘． 22. 【答案】证明：∵∠1=∠2， ∴∠1+∠𝐷𝐴𝐶=∠2+∠𝐷𝐴𝐶， 即∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐷𝐴𝐸， 在△𝐴𝐵𝐶和△𝐴𝐷𝐸中，
𝐴𝐵=𝐴𝐷
∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐷𝐴𝐸 𝐴𝐶=𝐴𝐸
∴△𝐴𝐵𝐶≅△𝐴𝐷𝐸(𝑆𝐴𝑆)．
【解析】已知∠1=∠2，∠𝐷𝐴𝐶是公共角，从而可推出∠𝐷𝐴𝐸=∠𝐵𝐴𝐶，已知𝐴𝐵=𝐴𝐷，𝐴𝐶=𝐴𝐸，从而可以利用𝑆𝐴𝑆来判定△𝐴𝐵𝐶≅△𝐴𝐷𝐸． 【解答】证明：∵∠1=∠2， ∴∠1+∠𝐷𝐴𝐶=∠2+∠𝐷𝐴𝐶， 即∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐷𝐴𝐸， 在△𝐴𝐵𝐶和△𝐴𝐷𝐸中，
𝐴𝐵=𝐴𝐷
∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐷𝐴𝐸 𝐴𝐶=𝐴𝐸
∴△𝐴𝐵𝐶≅△𝐴𝐷𝐸(𝑆𝐴𝑆)． 23. 【答案】
解：(1)𝐵𝐺=𝐷𝐸，𝐵𝐺⊥𝐷𝐸；
∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷和四边形𝐶𝐸𝐹𝐺是正方形，
∴𝐵𝐶=𝐷𝐶，𝐶𝐺=𝐶𝐸，∠𝐵𝐶𝐷=∠𝐸𝐶𝐺=90∘， ∴∠𝐵𝐶𝐺=∠𝐷𝐶𝐸， 在△𝐵𝐶𝐺和△𝐷𝐶𝐸中，
𝐵𝐶=𝐷𝐶∠𝐵𝐶𝐺=∠𝐷𝐶𝐸 𝐶𝐺=𝐶𝐸， ∴△𝐵𝐶𝐺≅△𝐷𝐶𝐸(𝑆𝐴𝑆)， ∴𝐵𝐺=𝐷𝐸；
延长𝐵𝐺交𝐷𝐸于点𝐻， ∵△𝐵𝐶𝐺≅△𝐷𝐶𝐸， ∴∠𝐶𝐵𝐺=∠𝐶𝐷𝐸，
又∠𝐶𝐵𝐺+∠𝐵𝐺𝐶=90∘，
∴∠𝐶𝐷𝐸+∠𝐷𝐺𝐻=90∘， ∴∠𝐷𝐻𝐺=90∘，
∴𝐵𝐻⊥𝐷𝐸，即𝐵𝐺⊥𝐷𝐸；; (2)𝐵𝐺=𝐷𝐸，𝐵𝐺⊥𝐷𝐸仍然成立， 在图(2)中证明如下
∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷、四边形𝐶𝐸𝐹𝐺都是正方形 ∴𝐵𝐶=𝐶𝐷，𝐶𝐺=𝐶𝐸，∠𝐵𝐶𝐷=∠𝐸𝐶𝐺=90∘ ∴∠𝐵𝐶𝐺=∠𝐷𝐶𝐸， ∴△𝐵𝐶𝐺≅△𝐷𝐶𝐸(𝑆𝐴𝑆)
∴𝐵𝐺=𝐷𝐸，∠𝐶𝐵𝐺=∠𝐶𝐷𝐸，
又∵∠𝐵𝐻𝐶=∠𝐷𝐻𝑂，∠𝐶𝐵𝐺+∠𝐵𝐻𝐶=90∘ ∴∠𝐶𝐷𝐸+∠𝐷𝐻𝑂=90∘ ∴∠𝐷𝑂𝐻=90∘ ∴𝐵𝐺⊥𝐷𝐸．
【解析】(1)根据正方形的性质，显然三角形𝐵𝐶𝐺顺时针旋转90∘即可得到三角形𝐷𝐶𝐸，从而判断两条直线之间的关系；; (2)结合正方形的性质，根据𝑆𝐴𝑆仍然能够判定△𝐵𝐶𝐺≅△𝐷𝐶𝐸，从而证明结论． 【解答】
解：(1)𝐵𝐺=𝐷𝐸，𝐵𝐺⊥𝐷𝐸；
∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷和四边形𝐶𝐸𝐹𝐺是正方形，
∴𝐵𝐶=𝐷𝐶，𝐶𝐺=𝐶𝐸，∠𝐵𝐶𝐷=∠𝐸𝐶𝐺=90∘， ∴∠𝐵𝐶𝐺=∠𝐷𝐶𝐸， 在△𝐵𝐶𝐺和△𝐷𝐶𝐸中，
𝐵𝐶=𝐷𝐶∠𝐵𝐶𝐺=∠𝐷𝐶𝐸 𝐶𝐺=𝐶𝐸， ∴△𝐵𝐶𝐺≅△𝐷𝐶𝐸(𝑆𝐴𝑆)， ∴𝐵𝐺=𝐷𝐸；
延长𝐵𝐺交𝐷𝐸于点𝐻， ∵△𝐵𝐶𝐺≅△𝐷𝐶𝐸， ∴∠𝐶𝐵𝐺=∠𝐶𝐷𝐸，
又∠𝐶𝐵𝐺+∠𝐵𝐺𝐶=90∘， ∴∠𝐶𝐷𝐸+∠𝐷𝐺𝐻=90∘， ∴∠𝐷𝐻𝐺=90∘，
∴𝐵𝐻⊥𝐷𝐸，即𝐵𝐺⊥𝐷𝐸；; (2)𝐵𝐺=𝐷𝐸，𝐵𝐺⊥𝐷𝐸仍然成立， 在图(2)中证明如下
∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷、四边形𝐶𝐸𝐹𝐺都是正方形 ∴𝐵𝐶=𝐶𝐷，𝐶𝐺=𝐶𝐸，∠𝐵𝐶𝐷=∠𝐸𝐶𝐺=90∘ ∴∠𝐵𝐶𝐺=∠𝐷𝐶𝐸， ∴△𝐵𝐶𝐺≅△𝐷𝐶𝐸(𝑆𝐴𝑆)
∴𝐵𝐺=𝐷𝐸，∠𝐶𝐵𝐺=∠𝐶𝐷𝐸，
又∵∠𝐵𝐻𝐶=∠𝐷𝐻𝑂，∠𝐶𝐵𝐺+∠𝐵𝐻𝐶=90∘ ∴∠𝐶𝐷𝐸+∠𝐷𝐻𝑂=90∘
∴∠𝐷𝑂𝐻=90∘ ∴𝐵𝐺⊥𝐷𝐸．
