【免费】【内部资料】1-2-2-1(10年秋)分数裂项.学生版

分数裂项计算

教学目标

本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算，使其变得更加简单明了。

本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的前提，是能力的体现，对学生要求较高。

知识点拨

分数裂项

一、“裂差”型运算

将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。 (1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即那么有

1形式的，这里我们把较小的数写在前面，即ab，ab1111() abbaab(2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：

11，形式的，我们有： n(n1)(n2)(n3)n(n1)(n2)1111[]

n(n1)(n2)2n(n1)(n1)(n2)1111[]

n(n1)(n2)(n3)3n(n1)(n2)(n1)(n2)(n3)裂差型裂项的三大关键特征：

（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x为任意自然数)的，但是只要将x提取出来即可转化为分子都是1的运算。

（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接” （3）分母上几个因数间的差是一个定值。

1-2-2-1.分数裂项.题库 学生版 page 1 of 8 二、“裂和”型运算：

常见的裂和型运算主要有以下两种形式：

a2b2a2b2ababab11（1）  （2）

abababbaabababba裂和型运算与裂差型运算的对比：

裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。

11111【例 1】 。

1223344556 111【巩固】 ......101111125960

2222【巩固】 

109985443

1111【例 2】  11212312100

1111【例 3】 

13355799101

1111【巩固】 计算：25 1335572325

251251251251251【巩固】 4881212162000200420042008

1-2-2-1.分数裂项.题库 学生版 page 2 of 8 例题精讲

【巩固】 计算：

3245671 25577111116162222292911111111【例 4】 计算：()128

8244880120168224288

11111111【巩固】 _______

612203042567290

111111【巩固】 1

3610152128

111111111【巩固】 计算：＝

2612203042567290

11111【巩固】 。

104088154238

1111【例 5】 计算： 135357579200120032005

74.50.161111【例 6】 18

1133.753.231535633 1-2-2-1.分数裂项.题库 学生版 page 3 of 8

11111【例 7】 计算：123420

261220420

11111【巩固】 计算：200820092010=。 201120121854108180270

11224【巩固】 计算：____。

26153577

1111111【巩固】 计算： 315356399143195

15111929970199【巩固】 计算：．

2612203097029900 111【例 8】 123234789

111【巩固】 计算： 1232349899100

1111【巩固】 计算： 135246357202224

4444【巩固】 ......135357939597959799

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99971【巩固】 12323434599100101 11111【例 9】 123423453456678978910 333【巩固】 ......1234234517181920

5719【例 10】 计算：．

1232348910

571719【巩固】 计算：1155 （）234345891091011

34512【巩固】 计算： 12452356346710111314 12349【例 11】  223234234523410 123456【例 12】 121231234123451234561234567

2399【巩固】 计算：.

3!4!100!

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23450【例 13】

1(12)(12)(123)(123)(1234)(12349)(1250) 234100【巩固】

1(12)(12)(123)(123)(1234)(1299)(12100)

23101【巩固】 1（12）(12)(123)(1239)(12310)

111111【例 14】 222222.

31517191111131

111111【巩固】 计算：(12)(12)(12)(12)(12)(12)

23454849

35715【巩固】 计算：22222222

12233478

321521721199321199521【巩固】 计算：2 ．

31521721199321199521

1232224232529821002【巩固】 计算：22．

21321419921

122232502【巩固】 计算：．

13355799101

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56677889910【例 15】 56677889910

365791113【巩固】 

57612203042

132579101119【巩固】计算：

3457820212435

12379111725【巩固】  3571220283042

111112010263827【巩固】  2330314151119120123124

354963779110531【巩固】 61220304256188



5791113151719【巩固】 计算：1

612203042567290

11798175【巩固】 

451220153012

12222232182192192202【例 16】 1223181919201-2-2-1.分数裂项.题库 学生版 page 7 of 8

11112007111【巩固】 (......)(......)

120072200620062200712008120062200520061

111111【例 17】 计算：

23459899515299

24612【例 18】 计算：

335357357911

2312222824211【例 19】 计算： 1335571719135357171921

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