江苏省2019届高考数学专题三解析几何3.1小题考法—解析几何中的基本问题讲义

［江苏卷5年考情分析］

小题考情分析 大题考情分析 1 .直线与圆、圆与圆的位置关系 （5年4考） 常考点 主要考查直线与椭圆 （如2014年、2015 2 .圆锥曲线的方程及几何性质 年5考） （5 年、2017年、2018年）的位置关系、弦长问 题、面积问题等；有时也考查直线与圆 （如 偶考点

直线的方程、圆的方程 2016年），常与向量结合在一起命题. 第一讲 小题考法一一解析几何中的基本问题 考点（一）直线、圆的方程 主要考查圆的方程以及直线方程、圆的基本量的计算 . ［题组练透］

1. 已知点P（3,2）与点Q1,4）关于直线l对称，则直线l的方程为.

解析：由题意知直线l与直线PC@直，所以ki=—；=1.又直线l经过PQ的中点（2,3）, kPQ

所以直线l的方程为y—3=x—2,即x — y+ 1 = 0.

答案：x-y+ 1=0

2. （2018 •南通一模）已知圆C过点（2 , J3）,且与直线x —5y+S：。相切于点（0 ,\\/3）,

则圆C的方程为.

解析：设圆心为（a, b）, 「子孚—1, 则a

3

a a-2 +（b- m）=a+ b-V3 2,

2

2

2

解得 a= 1, b=0, r = 2. 即所求圆的方程为（x—1）2+y2=4. 答案：（x—1）2+y2 = 4

3. （2018 ・南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调 ）在平面直角坐标系 xOy中,

，xW3,

若动圆C上的点都在不等式组 x x-^/3y + 3>0

,表示的平面区域内，则面积最大的圆

^x+^/3y + 3>0

C的标准方程为 .

解析：作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示， 面积最大的

圆C即为可行域三角形的内切圆.由对称性可知，圆 C的圆心在x轴上， 设半径为r,则圆心 Q3 —r, 0),且它与直线 x —J3y+3=0相切，所以 |^J_3| = r,解得r = 2,所以面积最大的圆 C的标准方程为(x—1)2+ V1T3

3

y = 4.

答案：(x—1)2+y2 = 4

［方法技巧］

2

1.求直线方程的两种方法 直接法 待定 系数法 选用恰当的直线方程的形式，由题设条件直接求出方程中系数，写出结果 先由直线满足的一个条件设出直线方程，使方程中含有待定系数，再由题 设条件构建方程，求出待定系数 2.圆的方程的两种求法 几何法 代数法 通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，从而求得圆的基本量和方程 用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数，从而求得圆的方程 考点(二)直线与圆、圆与圆的位置关系 ―主要考查直线与圆、圆与圆的位置关系， 以及根据直线与圆的位置关系求相关的最值 与范围问题.

［典例感悟］

［典例］(1)(2018 •无锡期末)过圆x+y= 16内一点P( — 2,3)作两条相互垂直的弦 AB 和CD

2

2

且AB= CD则四边形 ACBD勺面积为.

(2)(2018 •南通、泰州一调)在平面直角坐标系 xOy中，已知点A( —4,0) , B(0,4),从 直线

AB上一点P向圆x+y=4引两条切线PC PD切点分别为 C, D.设线段CD的中点为 M则线段AM长的最

2

2

大值为.

［解析］ ⑴设O到AB的距离为d1,0到CD的距离为d2,则由垂径定理可得 d2= r— 明 ,

2

2

d2= r2— ^2^，由于 AB= CD 故 d= d2,且 d1= d2= ^2^O由所以

16 1319

1、_

1

2

^2^ = r — d2=

2

--=y,得 AB= \\38,从而四边形 ACBD勺面积为 S= 2ABX CD= 2x^38X>/38= 19.

(2)法一：(几何法)因为直线AB的方程为y = x+4,所以可设Ra, a+4) , q。yi), D(x2, y2),所以

PC的方程为xix+yiy=4, PD的方程为xzx + y2y=4,将 Ra, a+4)分别代 axi + a+4 yi = 4, 入PC PD的方程，得， 则直线CD的方程为ax+(a+4)y=4,即a(x

ax2 + a+［ y2= 4,

+

y) =4-4y,所以直线 CDi±定点 N—1,1),

又因为OML CD所以点M在以ON为直径白^圆上(除去原点).又因为以 ON为直径的圆

的方程为—2)=1,所以AM勺最大值为、 尸研2)+乎5.

法二：(参数法)因为直线AB的方程为y = x + 4,所以可设P(a, a+4),同法一可知直

线CD的方程为ax+(a+4)y=4,即a(x+ y)=4—4y,得a=

4— 4y

.又因为Q P, M三点共

x十y

4x

4—4y 4x

1

线，所以 ay—(a+4) x= 0,得a= -----.因为a = -,—= ---- ，所以点 M的轨迹万程为Ix+- I

y-x

2

x+y y-x I 2,

+勺-2)= 2(除去原点)，所以AM的最大值为yj 1-4+2 2+ g) +-2 = 3\\/2.

［答案］(1)19

(2)3 2

［方法技巧］

解决关于直线与圆、圆与圆相关问题的策略

(1)讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻 找解题途径，

减少运算量.

(2)解决直线与圆相关的最值问题：一是利用几何性质，如两边之和大于第三边、斜边 大于直角边等

来处理最值；二是建立函数或利用基本不等式求解.

(3)对于直线与圆中的存在性问题，可以利用所给几何条件和等式，得出动点轨迹，转 化为直线与圆、

圆与圆的位置关系.

［演练冲关］

1 .已知圆 M (x—1)+(y—1)=4,直线l： x+y —6=0, A为直线l上一点，若圆 M 上存在两点B,

22

C,使彳导/ BAC= 60° ,则点A的横坐标的取值范围是 .

解析：由题意知，直线 l与圆M相离，所以点 A在圆M外.设AP, AQ分别与圆M相切 于点 P,

Q 则/ PAOZ BAC= 60 ,从而/ MA金30 .因为 MQ= 2,所以 M/4.设 A(XO,6 -XO),则 MA= (XO-1)2+(6-XO-

1)2<16,解得 1wxoW5.

答案：［1,5］

2 . (2018 •苏北四市期末)在平面直角坐标系 xOy中，若圆G： x +(y — 1) = r(r >0)上 存在点

2

2

2

P,且点P关于直线x—y=0的对称点Q在圆G: (x— 2)+(y—1)=1上，则「的取 值范围是.

2

2

解析：设圆。上存在点P(x。，yo)满足题意，点P关于直线x —y = 0的对称点Q(yo, xo),

X0+ yo-l =r,

2

2

2 2 2 2 2

则｛y , ， x ] -I 故只需圆 x+(y—1) =「与圆(x—1) +(y—2) =1

2

有交点即可，所以 |r —1|w4—1 - 0―2+―2-1― wr + 1,解得 <2—1w r w<2+1.

答案：[q2—1,也+1]

3 .在平面直角坐标系 xOy中，已知点 R3,0)在圆C: x2+ y2- 2mx-4y+n2—28=0内， 动直线AB过

点P且交圆C于A B两点，若△ABC勺面积的最大值为16,则实数m的取值范 围为.

解析：圆C的标准方程为(x—n)+(y —2)2=32,圆心为Qm,2),半径为472,当4ABC 的面积的最大值为16时，/ACB= 90° ,此时C到AB的距离为4,所以4WC1 4/，即16w(m —3)2+(0 — 2)2<32,解得 2/w|m- 3| <2^7,即 m€ (3 -277, 3-2yJ3] U [3 +2\\/3, 3 + 2⑺.

答案：(3-2^7, 3-273 ] U [3+273, 3+2小)

2

4 . (2018 •南京、盐城、连云港二模 )在平面直角坐标系 xOy中，已知A B为圆C: (x + 4)+(y—

2

a)2=16上的两个动点，且 AB= 2411.若直线l： y= 2x上存在唯一的一个点 P, 使得\"PA + \"PB = -0C,则实数a的值为.

解析：法一：设 AB的中点为 Mx% yo) , Rx, y),则由AB= 2\\/11,得CM=116-11 = 乖,即点M的轨迹为(*0+4)+(丫0—旬2=5.又因为下八十 而 =\"00,所以 国=\\-0己，即

2

x0=

a

x-2,

则动点 P的轨迹方程为(x+2)2+2 —

… (x0—x, y。- y) = - 2,

)!；从而f , a \" yy + -,

92

2

=5,又因为直线l上存在唯一的一个点 P,所以直线 l和动点P的轨迹(圆)相切，则

「2|厂… 122^ 1 2 -\"J,斛

仔 a = 2 或 a= - 18.

法二：由题意，圆心 C到直线AB的距离d=^16— 11;乖, AB中点 M的轨迹方程为(x+4)+(y—a)=5.由-PA + \"PB = \"OC, 2-PM=\"0C,所以

2

2

I 4 al

5\"PM// \"OC.如图，连结 CM并延长交i于点N, CN= 2CM= 2，5.故问题

转化为直线l上存在唯一的一个点 N,使得 CN

=2®所以点C到直线l的距离为

|2X -4 -a| m十 二「

2

=2 5,解得

a= 2 或 a= — 18.

答案：2或—18

考点(三) 圆锥曲线的方程及几何性质 主要考查二种圆锥曲线的定义、方程及 几何性质，在小题中以考查椭圆和双曲线的 几何性质为主. ［题组练透］

1. (2018 •南通、泰州一调)在平面直角坐标系 xOy中，已知F为抛物线y=8x的焦点， 则点F到双曲线焉4=1的渐近线的距离为 .

16 9

3 3

y=±-x,不妨取y=4x,即3x

5

2

解析：抛物线的焦点 F(2,0),双曲线的渐近线方程为

-4y=0,所以焦点F到渐近线的距离为 j 2 || । 2 = 6 3 + 答案：

6

6

5

2. (2018 •苏北四市期中)如图，在平面直角坐标系

2

2

xOy中，已知A,

一…，一 x y

B, R分别为椭圆C:孑+$=1(2>^>0)的右、下、上顶点，F是椭圆C的 右焦点.若BaFXAB,则椭圆C的离心率是 .

解析：由题意得，A(a,0) , B(0, — b), B(0, b), F(c,0),所以豆F = (c, — b),人百 =(—

a, -b),因为 B2F±AB,所以\"BF 箱=0,即 b2=ac,所以 c2+ac-a2=0, e2+e — 1 = 0,又椭圆的离心率

e€ (0,1),所以e= 巧—1.

答案：音」

x

2

2

3. (2017 •江苏局考)在平面直角坐标系 xOy中，双曲线万―y=1的右准线与它的两条 渐近线

分别交于点 P, Q,其焦点是FI, F2,则四边形FIPFQ的面积是 .

解析：由题意得，双曲线的右准线

x= 2与两条渐近线 y = ±W3x的交点坐标为

3 + 3 2 2

不妨设双曲线的左、右焦点分别为

F1, F2,

则 FI(—2,0) , F2(2,0), 故四边形F1PF2Q的面积是

1 __

__ 1 -

2产尸2|炉（1 = 2*4*淄=24.

答案：2 3

-

2

x

4. (2018 •常州期末)在平面直角坐标系 xOy中，设直线l： x+y+1=0与双曲线C：君

-b2= 1( a>0, b>0)的两条渐近线都相交且交点都在

值范围是.

y轴左侧，则双曲线 C的离心率e的取

解析：双曲线的渐近线分别为 y= -x, y =- —x,依题意有- 一>一1,即ba a

a+ b

2

a a ■ a

2

=\\ a2 1,所以e的取值氾围是(1 ,小).

答案：(1 ,而

［方法技巧］

应用圆锥曲线的性质的两个注意点

(1)明确圆锥曲线中a, b, c, e各量之间的关系是求解问题的关键. (2)在求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出

的椭圆或双曲线的几何特点，建立关于参数 求得离心率的值或范围.

［必备知能•自主补缺］ (一)主干知识要记牢

c和a的值，而是根据题目给出

c, a, b的方程或不等式，通过解方程或不等式

1 .直线11： Ax+By+。= 0与直线12： Ax+By + Q= 0的位置关系

(1)平行？ AB2-A2B= 0且 BG—B2CW0; (2)重合？ AB2-A2B= 0且 BG—B2C=0; (3)相交？ AB2 —ABW0; (4)垂直？ AA+BR= 0.

2 .直线与圆相交

(1)几何法

由弦心距d、半径「和弦长的一半构成直角三角形，计算弦长

| AB=2Jr—d:

2

(2)代数法

设直线 y=kx + m与圆 x + y+Dx+ Ey+ F=0 相交于点 M N M(xb y。，N(x2, y» ,将 直线

2

2

方程代入圆方程中，消去 y得关于x的一元二次方程，求出 XI+X2和XI - x2,则| MN = 小 + k q X1+X2

2

2

—

4X1 • X2.

3 .判断两圆位置关系时常用几何法

即通过判断两圆心距离 OO与两圆半径 R, r(R>r)的关系来判断两圆位置关系.

⑴外离：OQ>R+ r；

(2)外切：OQ=R+ r;

⑶相交：R— r(4)内切：OQ=R— r； (5)内含：0w OQ4 .椭圆、双曲线中，a, b, c之间的关系

(1)在椭圆中:

(2)在双曲线中：c=a+b,离心率为e = c= a

2

2

2

a=b2+c,离心率为 e=a= \\11~ (aJ；

22

(3)双曲线Xb1(a>0, b>0)的渐近线方程为

的关系.

(二)二级结论要用好

2 2 2-2=

y=±bx.注意离心率e与渐近线的斜率

y(0的圆的切线方程是 X0x+y0y = r2.

1 .过圆O x+y=r上一点P(x0,

2

2

2

2 .过圆C外一点P做圆C的切线，切点分别为 A B(求切线时要注意 斜率不存

在的情况)如图所示，则

(1) P, B, C, A四点共圆，且该圆的直径为 PC (2)该四边形是有两个全等的直角三角形组成；

/BPA r

⑶cos

—2-=sin 2 =PC

(4)直线AB的方程可以转化为圆 C与以PC为直径的圆的公共弦，且

2

/ BCA

Rx。，y。)时，直线

AB的方程为 XQX + yoy=r.

3 .椭圆焦点三角形的 3个规律 2

2

___ ____ x y

八， ....... ..

设椭圆万程是 孑+ g=1(a>b>0),焦点Fi( —c, 0), F2(c, 0),点P的坐标是(x。，y。).

(1)三角形的三个边长是 PF=a+ex°, PF>=a-ex0, |FFW=2c, e为椭圆的离心率. (2)如果△ PFF2中/ FPR= a ,则这个三角形的面积

……、+ sin/FPE

(3)椭圆的离心率 e = . /匚匚. /匚匚口. sin / F1F2P+ sin

/ F2F1P

SJA PFF2=c|y°| = b2tan 彳

4 .双曲线焦点三角形的 2个结论 2 2 _ __ _ x y

Rx°, y0)为双曲线了一 j=1(a>0, b>0)上的点，△ PFF2为焦点三角形. (1)面积公式

S= c| yo| = «r ir 2sin ----- 0 = (其中 PF=ri, PE= r 2, / FiPF2= 0 ).

2

0 tan -2

(2)焦半径

若 P在右支上，PF=ex0+a, PF2=ex0 —a；若 P在左支上，PFi= - exo - a, PF2= - exo +

a.

5.抛物线y2=2px(p>0)焦点弦AB的3个结论

2

- p

(1) XA • XB= 了；

2

(2) yA - yB= p ; (3) AB= XA+ XB+ p. (4)

达标训练］

A———抓牢中档小题

1 .若直线 1I： mx+ y+8 = 0 与 l2： 4x+ （ m- 5）y+ 2m= 0垂直，贝U m=.

解析：; l I±12, 答案：1

4m+ （m-5）=0, m= 1.

2 .已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点 M0 ,乖）在圆C上，且圆心^到直线 2x—y = 0的距离为坐，则圆C的方程为_________________ .

5

解析：因为圆 C的圆心在x轴的正半轴上，设 C（a, 0）,且a>0,所以圆心到直线 2x — y= 0的距离 d=2^=¥，解得a=2,所以圆C的半径 r = |CM =、2+ 幸 2=3,所以 圆C的方程为（x—2）2 + y2=9.

2

答案：（x—2）2+y2 = 9

3. （2018 ・镇江期末）已知双曲线与一y= 1的左焦点与抛物线 y=- 12x的焦点重合， a

2

2

则双曲线的右准线方程为 .

解析：因为抛物线的焦点为（一3,0）,即为双曲线的左焦点， 曲线的右准线方程为 x= 8. 3

所以a2=9-1=8,所以双

…

8

答案：x =- 3

4. 已知直线l过点R1,2）且与圆C： x+y2=2相交于A, B两点，△ ABC勺面积为1, 则直线l的

2

方程为.

解析：当直线斜率存在时，设直线的方程为

y=k（x—1）+2,即kx —y —k+2= 0.因为

一 1

1

&ABC= 2CA・ CB- sin / ACB= 1,所以 ^xpxpxsin / ACB= 1,所以 sin Z ACB= 1,即/

ACB= 90。，所以圆心 C到直线AB的距离为1,所以11二| =1,解得k=3,所以直线方

；k + 1

4

程为3x —4y+5=0;当直线斜率不存在时，直线方程为 x=1,经检验符合题意.综上所述， 直线l的方程为3x—4y+5 = 0或x=1.

答案：3*-4丫 + 5=0或*= 1

5. 已知椭圆C：会+（=1（a> b> 0）的左、右焦点为 F, F2,离心率为过F2的直线 l交C于A B

两点.若^ AFB的周长为443,则C的方程为 .

解析：因为△ AFB 的周长为 4y3,所以 |AF| +|AB+|BF| = | AF1| + | A向 + | BF| + | BE|

= 4a=4百所以a=g又因为椭圆的离心率= 5等，所以c=1, 2= a-2=3-1=2,

b

2c

e

2 2

所以椭圆C的方程为\"+y=1.

3 2

2

2

答案：x- + y-=1

3 2

6. （2018 •南京学情调研）在平面直角坐标系 xOy中，若圆（x —2） 2+（y—2） 2= 1上存在

点M使得点M关于x轴的对称点N在直线kx+y+3=。上，则实数k的最小值为

解析：圆（x—2）2+（y—2）2=1关于x轴的对称圆的方程为（x—2）2+（y+2）2=1,由题 意得，圆心（2, —2）到直线kx+y+3=0的距离d=|2k^2^^<1,解得—3实数k的最小值为一4.

3

7. 已知以椭圆的右焦点 F2为圆心的圆恰好过椭圆的中心，交椭圆于点

焦点为F1,且直线MF与此圆相切，则椭圆的离心率 e=

M N,椭圆的左

解析：因为圆的半径 r = c,在 Rt^F1F2M 中，| FE| = 2c, | F2M = c, |F1M=43c,所

2c 以 2a= | F1M + | F2M = (^3+ 1) c,离心率 e=—

2a 2c = ^3-1.

答案：43—1

8. （2018 •南京学情调研）在平面直角坐标系 xOy中，若直线ax+y—2=0与圆心为C 的圆（x—1）2+（y—a） 2= 16相交于 A, B两点，且^ ABC为直角三角形，则实数 a的值是

解析：由题意知^ ABC^等腰直角三角形，且 AC= BC= 4, AB= 4y2,

・•・圆心C到直线ax+y —2=0的距离d = 声二一2v2 =2艰,

2

••.t-a23| =20 解得 a=- 1.

-a + 1

|a

答案：—1

2

2

9. (2018 •扬州期末)在平面直角坐标系 xOy中，若双曲线

线与圆x+y —6y+5=0没有交点，则双曲线离心率的取值范围是 .

2

2

X=1(a>0, b>0)的渐近

解析：由圆x+y-6y+5=0,得圆的标准方程为 x+(y —3)2=4,所以圆心C(0,3),

2

2

222

半径r = 2.因为双曲线 ,一b2=1(a>0, b>0)的渐近线bx土ay=0与该圆没有公共点，则圆心 到直线的距离应大于半径，即

| bx0土 ax3|

b2 + a

2

… … c 3

>2,即3a>2c,即e=-<-,又e>1,故双曲线离

a 2

心率的取值范围是 1,2.

答案:

10.在平面直角坐标系

xOy中，已知圆 C: x2+(y —3)2=2,点A是x轴上的一个动点,

AP AQ分别切圆C于P, Q两点，则线段 PQ长的取值范围是

解析：设/ PCA= 0 ,所以 PQ= 242sin 。.又 cos 0 = AC，AOE [3,+ °°) ,

所以 cos

0 € 0,

所以 cos 0 € |^0, 9 1 0 =1 —cos。£ I9, 1 !,所以 sin 0 C

2

2

sin

所以PQE卜0^, . 3

答案：I*, 2

4

_

2

3

11. (2018 •南京、盐城、连云港二模 )在平面直角坐标系 xOy中，已知双曲线 =1( b>0) 的两条渐近线与圆 O x2+y2=2的四个交点依次为

C： X-专

2

A, B, C, D.若矩形ABCD勺

面积为b, 则b的值为

解析: 由题意知，双曲线 C的渐近线方程为 y=± bx,如图所示,

两条渐近线与圆 O的四个交点为 A, B, C, D.不妨设点B的坐标为(簿

n=bm

। 2

2

_2 2 ___■一…

解得m=b^1，而矩形ABCD勺面积为2nrK 2 n =

4bx 2 口， _ 4mn= 4bm= bq7y =b,解得 b= ^7.

2

答案：7

12.(2018 •苏锡常镇调研)已知直线l：x—y+2=0与x轴交于点A,点P在直线l上.圆 C： (x —2)2+y = 2上有且仅有一个点 B满足ABL BP,则点P的横坐标的取值集合为 . 解析：法

2

一：由 AB± BP,得点B在以AP为直径的圆D上，所以圆D与圆C相切.

由题意得A(—2,0) , C(2,0),若圆D与圆C外切，则DC- DA=/；若圆D与圆C内切， 2

则DA- DC=。2.所以圆心D在以A, C为焦点的双曲线 ;一)1上，即14x2—2y2=7.又点D

2

2

y=x + 2,

在直线l上，由“

2

.一 3

2

5 一

D

2 2

14x — 2y =

一 一一、 1

—XA= 2xD)+ 2 = 5 或 XP=-.

3

得 12x -8x- 15=0, 斛付xD= 2或xD=-6.所以xP= 2x

法二：由题意可得 A( -2,0),设P(a, a+2),则 AP的中点 取a2N，%

2

AP=

姆—a+2—，故以AP为直径的圆M的方程为/一史/ 2+ [y-ay- 2= 2^ 2 J.由题意得 圆C与圆M相切

2

(内切和外切),故、y(^2^2^N^^2^J J 小। ，解得a=3或

a=5.故点P的横坐标的取值集合为

答案：，3,5；

, ，一 x 13.已知椭圆P十 y

a

......

g=1(a>b>0)的左焦点为

F,直线x=m与椭圆相交于 A, B两点.若

△ FAB的周长最大时，△ FAB的面积为ab,则椭圆的离心率为 .

解析：设直线 x=m与x轴交于点H,椭圆的右焦点为 F1,由椭圆的对称性可知△ FAB 的周长为2(FA+ AH = 2(2a—F1A+ AH,因为FIA>AH故当FIA= AH时，^FAB的周长最大，

b

2b

2

此时直线AB经过右焦点，从而点A, B坐标分别为Jc,-卜3，一 £卜所以^FAB的面积为

1 2b , - 1

2

2b , 一一 2 2

2

2

2 ・ 2 C •高，由条件得2 ・ 2 c ・ v= ab，即b + c = 2bc, b = c,从而椭圆的离心率为e= /

答案：得

14.已知 A, B是圆 C： x+y=1 上的动点，AB= {3, P是圆 Q： (x— 3)2+(y-4)2=1

2

2

上的动点，则| \"PA +-PB |的取值范围为

解析：因为 A, B是圆C: x+y=1上的动点，AB=、/3,所以线

2

2

段AB的中点H在圆O X+ y=4上，且|\"PA + ■ | =2| \"PH|.因为点P是圆G： (x—3)

2

22

，一一 . rr . ~,、， _

+ (y —4) =1 上的动点，所以 5 —2力 PH|W5+2,即2\" PH| w~2■，所以 7W2| PH| <13,

2

,

,

33713

一

从而| \"PA + -PB |的取值范围是[7,13].

答案：[7,13]

B———力争难度小题

1.已知点 P是圆C： x+y+4x—6y—3=0上的一点，直线 l： 3x-4y- 5= 0.若点P 到直线l

的距离为2,则符合题意的点

2

2

P有 个.

2

2

解析：由题意知圆 C的标准方程为(x+2) +(y—3)=16,所以圆心(一2,3)到直线l

23 一 人 L

的距离d = ^ ---- ---- = —€ (4,5)，故满足题意的点 P有2个.

5 5

,, 一 | -6-12-5|

答案：2

2

2

2. (2017 •全国卷I

)已知双曲线C： £看=1(2>0, b>0)的右顶点为 A以A为圆心,

b为半径作圆 A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于 M N两点.若/ MAN=

60。，则C的离 心率为.

解析：双曲线的右顶点为 A( a, 0), 一条渐近线的方程为 y= bx,即bx- ay= 0,则圆心 a

............... | ba— ax0| ab 一.

. ...... ~

A到此渐近线的距离 d」.g + 2」=’.又因为/ MAN= 60。，圆的半径为 b,所以b - sin … ab

3b ab 2 2,3

60 =—,即与—=W，所以 e=^ = -3-.

答案审

3

3. (2018 •南京、盐城一模)在平面直角坐标系 xOy中，若直线y= k(x —3，3)上存在

点P,圆x+(y—1)=1上存在一点 Q满足\"OP =3\"OQ,则实数k的最小值为

2

2

y3.又点Q在圆x2+ (y — 1)2= 1上，可

, 一 、一. , 一

得+ ^-1)=1,即x+(y—3)=9,所以点P既在圆x+(y—3)=9上，又在直线y

3

2

2

2

2

/ /

3

「，r—八———、」 ~,一 | -3-3x/3k| 一 「

J

= k(x—3北)上，即直线与圆有交点，所以圆心到直线距离 d = ——产为一LW3,解得—小

1 + k

答案：—.3

2

,

2 2

4 . (2017 •山东高考)在平面直角坐标系 xOy中，双曲线看一看=1(a>0, b>0)的右支与

焦点为F的抛物线x2=2py(p>0)交于A, B两点.若| AF + | BF = 4| OF ,则该双曲线的渐近 线方程为

解析：设A(xi, yi), B(x2, y2),由抛物线的定义可知

p p

p

|AF =y1 + 2, |BF=y2+2, |OF = 2, ,

P P

由 | AF + | BF| =yi+ 2+ y2+2= yi+ y2+ p = 4| OF = 2p,得 yi + y2= p.

x2

y2

=1,

消去 x,得 a2

y2— 2pb2

y + a2

b2

= 0,

x2= 2py

2pb2 2pb2

所以 y= p1 + y2=—2-, 所以

~^p， a

所以双曲线的渐近线方程为

y= 土挈.

答案：y=±*x

2

2

一一 x y

5 .设椭圆C： j=1(a>b>0)恒过定点A(1,2)，则椭圆的中心到准线的距离的最小值

“、

, 右 口 1 4 「 ， m ， 3 LL ,4「心― ,-J » ,

解析：由已知得x所以椭圆的中心到准线的距离为d

?+广1,因为准线万程为=-,

-,即 d2

4_2 - 2

c

=a2= c' a4

_2 - a4

a - a2

+9

a2 —b21 40^= a2

-5

a

a 3—a2 —5

+ 20 2

一=\"5

+ E +

a

9>2 而+9=4或+9=(m+2)2,当且仅当a2=5+2加时取等号.所以d>,+2,即dmin =A/5+ 2.

答案：。5+2

6 .已知圆C： (x—2)2 + y2=4,线段EF在直线l : y=x+1上运动，点 P为线段EF上任意一点，若圆C上存在两点 A, B,使得\"PA • \"PB W0,则线段EF长度的最大值是 .

3 3 2

解析：过点C作CHL l于H,因为C到l的距离。+忑=-2->2=r,所以直线l与圆

C相离，故点 P在圆C外.因为 PA • PB=| PA|| PB|cos/AP/0,所以cos/AP国0,

20

__. TT .__. ....... ….一

兀,,由于点P在圆C外，故当

所以APB：兀，圆C上存在两点A, B使得/ APBE

・一一

--

.

一.

......... 兀 一一

一 L ___ - PA PB都与圆 C相切时，/ APB最大，此时若/ APB= ~2,则PC= J2r = 2。2,所以PH=

qpC-CH=

,由对称性可得 EFmax= 2PH= 14.

答案：14