大学高数全册知识点整理

大学高等数学知识点整理 公式，用法合集 极限与连续 一 . 数列函数 : 1. 类型 : (1) 数列 : * (2) 初等函数 :

; *

(3) 分段函数 : * (4) 复合 ( 含

) 函数 :

; *

;*

(5) 隐式 ( 方程 ):

(6) 参式 ( 数一 , 二 ): (7) 变限积分函数 :

(8) 级数和函数 ( 数一 , 三 ): 2. 特征 ( 几何 ):

(1) 单调性与有界性 ( 判别 ); ( (2) 奇偶性与周期性 ( 应用 ). 3. 反函数与直接函数 : 二 . 极限性质 : 1. 类型 : *

; *

( 含

); * 单调

定号 )

( 含 )

2. 无穷小与无穷大 ( 注 : 无穷量 ):

3. 未定型 :

4. 性质 : * 有界性 , * 保号性 , * 归并性 三 . 常用结论 :

, , ,

, , , ,

,

四 . 必备公式 : 1. 等价无穷小 : 当

2. 泰勒公式 : (1) (2) (3) (4) (5)

五 . 常规方法 :

;

;

.

; ;

; ; ;

时 , ; ;

; ;

前提 : (1) 准确判断 ( 如 :

)

,

( 其它如 : ); (2) 变量代换

1. 抓大弃小

2. 无穷小与有界量乘积 ( 3.

处理 ( 其它如 :

) ): ;

) ( 注 : )

4. 左右极限 ( 包括 (1)

; (2)

; (3) 分段函数 : , ,

5. 无穷小等价替换 ( 因式中的无穷小 )( 注 : 非零因子 ) 6. 洛必达法则

(1) 先 ” 处理 ”, 后法则 ( 最后方法 ); ( 注意对比 : (2) 幂指型处理 : (3) 含变限积分 ; (4) 不能用与不便用

7. 泰勒公式 ( 皮亚诺余项 ): 处理和式中的无穷小 8. 极限函数 : 六 . 非常手段 1. 收敛准则 : (1) (2) 双边夹 : * (3) 单边挤 :

, * *

*

*

(

分段函数 ) ( 如 :

与 )

)

2. 导数定义 ( 洛必达 ?):

3. 积分和 : 4. 中值定理 : 5. 级数和 ( 数一三 ):

,

(1) 收敛 , ( 如 ) (2) ,

(3) 与 同敛散

七 . 常见应用 :

1. 无穷小比较 ( 等价 , 阶 ): * (1) (2)

2. 渐近线 ( 含斜 ): (1) (2)

,(

)

3. 连续性 : (1) 间断点判别 ( 个数 ); (2) 分段函数连续性 ( 附 : 极限函数 , 连续性 ) 八 .

上连续函数性质

( 注 : )

2. 介值定理 : ( 附 : 达布 定理 ) (1) 零点存在定理 : (2)

.

( 根的个数 ); , “ 平均 ” 值 :

1. 连通性 :

第二讲 : 导数及应用 ( 一元 )( 含中值定理 ) 一 . 基本概念 :

1. 差商与导数 : (1) (2) 左右导 : (3) 可导与连续 ; ( 在 2. 微分与导数 : (1) 可微

可导 ; (2) 比较

与

( 注 : ; 处 ,

; 连续 )

)

连续不可导 ; 可导 )

的大小比较 ( 图示 );

二 . 求导准备 :

1. 基本初等函数求导公式 ; ( 注 :

)

2. 法则 : (1) 四则运算 ; (2) 复合法则 ; (3) 反函数 三 . 各类求导 ( 方法步骤 ): 1. 定义导 : (1)

与

; (2) 分段函数左右导 ; (3)

( 注 :

2. 初等导 ( 公式加法则 ): (1) (2)

, 求 :

, 求 :

, 求 : 及 的连续性 )

( 图形题 ); ( 注 :

)

(3) , 求 及 ( 待定系数 )

3. 隐式 ( (1) 存在定理 ;

) 导 :

(2) 微分法 ( 一阶微分的形式不变性 ).

(3) 对数求导法 .

4. 参式导 ( 数一 , 二 ) : 5. 高阶导

公式 :

, 求 :

注 :

;

;

;

与泰勒展式 :

四 . 各类应用 :

1. 斜率与切线 ( 法线 ); ( 区别 : 2. 物理 : ( 相对 ) 变化率 速度 ;

上点

和过点

的切线 )

3. 曲率 ( 数一二 ): ( 曲率半径 , 曲率中心 , 曲率圆 )

4. 边际与弹性 ( 数三 ) : ( 附 : 需求 , 收益 , 成本 , 利润 ) 五 . 单调性与极值 ( 必求导 ) 1. 判别 ( 驻点 (1)

(2) 分段函数的单调性 (3) 2. 极值点 :

零点唯一 ;

驻点唯一 ( 必为极值 , 最值 ).

): ;

;

(1) 表格 ( 特点 ) (2) 二阶导 ( 注 (1)

变号 ); ( 由 的

) 的匹配 (

图形中包含的信息 );

与

(2) 实例 : 由 确定点 “ ” 的特点 .

(3) 闭域上最值 ( 应用例 : 与定积分几何应用相结合 , 求最优 ) 3. 不等式证明 (

)

与

极值 介值

凹凸性 . ( 如 :

)

?

(1) 区别 : * 单变量与双变量 ? * (2) 类型 : * *

(3) 注意 : 单调性

; * 端点值

; *

4. 函数的零点个数 : 单调 六 . 凹凸与拐点 ( 必求导 !): 1.

表格 ; (

)

2. 应用 : (1) 泰勒估计 ; (2) 单调 ; (3) 凹凸 .

七 . 罗尔定理与辅助函数 : ( 注 : 最值点必为驻点 ) 1. 结论 :

2. 辅助函数构造实例 : (1) (2)

(3) (4) 3.

4. 特例 : 证明 (

待定 )

时 , 分家 !( 柯西定理 )

在

可导 ,

有

个零点 的常规方法 : 令

;

有 个零点

有

个零点

5. 注 : 含

6. 附 ( 达布定理 ):

, , 使 :

八 . 拉格朗日中值定理 1. 结论 : ; (

)

2. 估计 :

九 . 泰勒公式 ( 连接

之间的桥梁 )

1. 结论 : 2. 应用 : 在已知

或

值时进行积分估计

十 . 积分中值定理 ( 附 : 广义 ): [ 注 : 有定积分 ( 不含变限 ) 条件时使用 ] 第三讲 : 一元积分学 一 . 基本概念 : 1. 原函数 : (1) ; (2)

; (3)

注 (1) ( 连续不一定可导 );

(2)

(

连续 )

2. 不定积分性质 : (1) ;

(2)

;

二 . 不定积分常规方法 1. 熟悉基本积分公式 2. 基本方法 : 拆 ( 线性性 )

3. 凑微法 ( 基础 ): 要求巧 , 简 , 活 (

)

如 :

;

4. 变量代换 :

(1) 常用 ( 三角代换 , 根式代换 , 倒代换 ): (2) 作用与引伸 ( 化简 ): 5. 分部积分 ( 巧用 ): (1) 含需求导的被积函数 ( 如 (2)“ 反对幂三指 ”: (3) 特别 : 6. 特例 : (1)

三 . 定积分 : 1. 概念性质 :

(1) 积分和式 ( 可积的必要条件 : 有界 , 充分条件 : 连续 ) (2) 几何意义 ( 面积 , 对称性 , 周期性 , 积分中值 ) * (3) 附 :

; * ,

)

(* 已知

的原函数为 ; (2)

; * 已知

)

快速法 ; (3)

);

(4) 定积分与变限积分 , 反常积分的区别联系与侧重 2: 变限积分 (1) (2) (3) 由函数 3.

的处理 ( 重点 )

连续 , 连续

;

可导

;

参与的求导 , 极限 , 极值 , 积分 ( 方程 ) 问题

(

在

上必须连续 !)

可积

公式 :

注 : (1) 分段积分 , 对称性 ( 奇偶 ), 周期性 (2) 有理式 , 三角式 , 根式 (3) 含 4. 变量代换 : (1)

,

的方程 .

(2) ( 如 : )

(3) (4) (5) 5. 分部积分 (1) 准备时 “ 凑常数 ” (2) 已知

或

, ; ,

,

时 , 求

6. 附 : 三角函数系的正交性 :

四 . 反常积分 : 1. 类型 : (1) (2) 2. 敛散 ;

: (

在

(

连续 ) 处为无穷间断 )

3. 计算 : 积分法 4. 特例 : (1)

公式 ; (2)

极限 ( 可换元与分部 )

五 . 应用 : ( 柱体侧面积除外 ) 1. 面积 , (1) (3) 2. 体积 : (1) (3)

与

; (2)

(2) ; (4) 侧面积 :

;

3. 弧长 : (1)

(2) (3)

:

4. 物理 ( 数一 , 二 ) 功 , 引力 , 水压力 , 质心 , 5. 平均值 ( 中值定理 ): (1)

;

(2)

第四讲 : 微分方程 一 . 基本概念

, ( 以 为周期 : )

1. 常识 : 通解 , 初值问题与特解 ( 注 : 应用题中的隐含条件 ) 2. 变换方程 :

(1) 令 (2) 令

( 如欧拉方程 )

( 如伯努利方程 )

3. 建立方程 ( 应用题 ) 的能力 二 . 一阶方程 : 1. 形式 : (1) 2. 变量分离型 :

; (2)

; (3)

(1) 解法 : (2)“ 偏 ” 微分方程 : 3. 一阶线性 ( 重点 ):

;

(1) 解法 ( 积分因子法 ): (2) 变化 :

;

(3) 推广 : 伯努利 ( 数一 ) 4. 齐次方程 :

(1) 解法 :

(2) 特例 :

5. 全微分方程 ( 数一 ):

且

6. 一阶差分方程 ( 数三 ): 三 . 二阶降阶方程 1.

:

2. : 令

3. : 令

四 . 高阶线性方程 : 1. 通 解结构 : (1) 齐次解 : (2) 非齐次特解 : 2. 常系数方程 : (1) 特征方程与特征根 :

(2) 非齐次特解形式确定 : 待定系数 ; ( 附 : (3) 由已知解反求方程 . 3. 欧拉方程 ( 数一 ):

五 . 应用 ( 注意初始条件 ):

1. 几何应用 ( 斜率 , 弧长 , 曲率 , 面积 , 体积 ); 注 : 切线和法线的截距

2. 积分等式变方程 ( 含变限积分 ); 可设

3. 导数定义立方程 : 含双变量条件 4. 变化率 ( 速度 )

的方程

, 令

的算子法 )

5.

6. 路径无关得方程 ( 数一 ): 7. 级数与方程 :

(1) 幂级数求和 ; (2) 方程的幂级数解法 :

8. 弹性问题 ( 数三 )

第五讲 : 多元微分与二重积分 一 . 二元微分学概念

1. 极限 , 连续 , 单变量连续 , 偏导 , 全微分 , 偏导连续 ( 必要条件与充分条件 ), (1)

(2)

(3) 注 :

( 判别可微性 )

点处的偏导数与全微分的极限定义 :

2. 特例 :

(1) : 点处可导不连续 ;

(2)

二 . 偏导数与全微分的计算 : 1. 显函数一 , 二阶偏导 : 注 : (1)

型 ; (2)

: 点处连续可导不可微 ;

; (3) 含变限积分

2. 复合函数的一 , 二阶偏导 ( 重点 ): 熟练掌握记号

的准确使用

3. 隐函数 ( 由方程或方程组确定 ):

(1) 形式 : * ; * ( 存在定理 )

( 要求 :

(2) 微分法 ( 熟练掌握一阶微分的形式不变性 ): 二阶导 ) (3) 注 :

与

的及时代入

(4) 会变换方程 . 三 . 二元极值 ( 定义 ?); 1. 二元极值 ( 显式或隐式 ): (1) 必要条件 ( 驻点 ); (2) 充分条件 ( 判别 )

2. 条件极值 ( 拉格朗日乘数法 ) ( 注 : 应用 ) (1) 目标函数与约束条件 : , ( 或 : 多条件 ) (2) 求解步骤 :

, 求驻点即可 .

3. 有界闭域上最值 ( 重点 ). (1)

(2) 实例 : 距离问题 四 . 二重积分计算 :

1. 概念与性质 (“ 积 ” 前工作 ): (1)

,

(2) 对称性 ( 熟练掌握 ): * 域轴对称 ; *

奇偶对称 ; * 字母轮换对称 ; * 坐标 ;

(3)“ 分块 ” 积分 : * ; * 分片定义 ; * 奇偶

2. 计算 ( 化二次积分 ):

(1) 直角坐标与极坐标选择 ( 转换 ): 以 “ ” 为主 ;

(2) 交换积分次序 ( 熟练掌握 ). 3. 极坐标使用 ( 转换 ):

重心

附 : 双纽线 4. 特例 : (1) 单变量 :

或

;

;

(2) 利用 重心 求积分 : 要求 : 题型 心

, 且已知 的面积 与重

5. 无界域上的反常二重积分 ( 数三 ) 五 : 一类积分的应用 ( 1. “ 尺寸 ”: (1)

):

; (2) 曲面面积 ( 除柱体侧面 );

2. 质量 , 重心 ( 形心 ), 转动惯量 ;

3. 为三重积分 , 格林公式 , 曲面投影作准备 . 第六讲 : 无穷级数 ( 数一 , 三 ) 一 . 级数概念

1. 定义 : (1) 注 : (1)

收敛 .

, (2) ; (2)

( 或

; (3) ( 如 ) 收敛

); (3)“ 伸缩 ” 级数 :

2. 性质 : (1) 收敛的必要条件 : ;

(2) 加括号后发散 , 则原级数必发散 ( 交错级数的讨论 ); (3)

二 . 正项级数

1. 正项级数 : (1) 定义 :

; (2) 特征 :

; (3) 收敛

( 有界 )

;

2. 标准级数 : (1)

, (2) , (3)

3. 审敛方法 : ( 注 : , )

(1) 比较法 ( 原理 ): ( 估计 ), 如 ;

(2) 比值与根值 : * * ( 应用 : 幂级数收敛半径计算 ) (

)

三 . 交错级数 ( 含一般项 ): 1. “ 审 ” 前考察 : (1)

(2)

; (3) 绝对 ( 条件 ) 收敛 ?

注 : 若

2. 标准级数 : (1)

, 则 发散 ; (2)

; (3)

3. 莱布尼兹审敛法 ( 收敛 ?) (1) 前提 : 4. 补充方法 :

(1) 加括号后发散 , 则原级数必发散 ; (2) 5. 注意事项 : 对比 四 . 幂级数 : 1. 常见形式 : (1)

, (2)

, (3)

;

;

;

之间的敛散关系

.

发散 ; (2) 条件 :

; (3) 结论 :

条件收敛 .

2. 阿贝尔定理 : (1) 结论 : (2) 注 : 当

敛

条件收敛时

;

散

3. 收敛半径 , 区间 , 收敛域 ( 求和前的准备 ) 注 (1) (2)

与

与

同收敛半径 之间的转换

4. 幂级数展开法 :

(1) 前提 : 熟记公式 ( 双向 , 标明敛域 )

(2) 分解 : (3) 考察导函数 : (4) 考察原函数 :

( 注 : 中心移动 ) ( 特别 :

)

;

;

5. 幂级数求和法 ( 注 : * 先求收敛域 , * 变量替换 ): (1) (2) (3) (4) (5) 应用 :

6. 方程的幂级数解法

,( 注意首项变化 ) ,

的微分方程

.

7. 经济应用 ( 数三 ): (1) 复利 :

; (2) 现值 :

)

五 . 傅里叶级数 ( 数一 ): (

1. 傅氏级数 ( 三角级数 ): 2. (1) 由 (2)

充分条件 ( 收敛定理 ):

( 和函数 )

3. 系数公式 : 4. 题型 : ( 注 : (1) (2) (3) *(4) *5.

且

或 正弦或余弦 (

)

)

( 分段表示 )

6. 附产品 :

第七讲 : 向量 , 偏导应用与方向导 ( 数一 ) 一 . 向量基本运算 1.

; ( 平行

)

2. ; ( 单位向量 ( 方向余弦 ) )

3. 4.

; ( 投影 : ; ( 法向 :

; 垂直 :

; 面积 :

; 夹角 : )

)

二 . 平面与直线 1. 平面

; * 三点式

(1) 特征 ( 基本量 ): (2) 方程 ( 点法式 ): (3) 其它 : * 截距式 2. 直线

(1) 特征 ( 基本量 ):

(2) 方程 ( 点向式 ):

(3) 一般方程 ( 交面式 ):

(4) 其它 : * 二点式 ; * 参数式 ;( 附 : 线段

的参数表示 :

)

3. 实用方法 : (1) 平面束方程 :

(2) 距离公式 : 如点 (3) 对称问题 ; (4) 投影问题 .

三 . 曲面与空间曲线 ( 准备 ) 1. 曲面

到平面的距离

(1) 形式 : (2) 法向 2. 曲线

或 ; ( 注 : 柱面

( 或

) )

(1) 形式 (2) 切向 : 3. 应用

, 或

( 或

;

)

(1) 交线 , 投影柱面与投影曲线 ;

(2) 旋转面计算 : 参式曲线绕坐标轴旋转 ; (3) 锥面计算 . 四 . 常用二次曲面 1. 圆柱面 : 2. 球面 : 变形 : 3. 锥面 : 变形 : 4. 抛物面 : 变形 : 5. 双曲面 : 6. 马鞍面 : 五 . 偏导几何应用 1. 曲面

, 或 ,

,

,

,

,

,

(1) 法向 :

(2) 切平面与法线 : 2. 曲线 (1) 切向 : (2) 切线与法平面

, 注 :

3. 综合 : ,

六 . 方向导与梯度 ( 重点 ) 1. 方向导 ( 方向斜率 ): (1) 定义 ( 条件 ):

(2) 计算 ( 充分条件 : 可微 ):

附 :

(3) 附 :

2. 梯度 ( 取得最大斜率值的方向 ) (1) 计算 : (2) 结论

取

;

为最大变化率方向 ; 为最大方向导数值 .

;

:

第八讲 : 三重积分与线面积分 ( 数一 )

一 . 三重积分 ( 1.

)

域的特征 ( 不涉及复杂空间域 ):

(1) 对称性 ( 重点 ): 含 : 关于坐标面 ; 关于变量 ; 关于重心 (2) 投影法 : (3) 截面法 :

(4) 其它 : 长方体 , 四面体 , 椭球 2.

的特征 :

, (2)

, (3)

, (4)

(1) 单变量

3. 选择最适合方法 : (1)“ 积 ” 前 : *

; * 利用对称性 ( 重点 )

(2) 截面法 ( 旋转体 ): ( 细腰或中空 , , )

(3) 投影法 ( 直柱体 ): (4) 球坐标 ( 球或锥体 ): (5) 重心法 ( 4. 应用问题 :

):

,

(1) 同第一类积分 : 质量 , 质心 , 转动惯量 , 引力 (2)

公式

)

二 . 第一类线积分 ( 1. “ 积 ” 前准备 : (1)

; (2) 对称性 ; (3) 代入 “ ” 表达式

2. 计算公式 : 3. 补充说明 : (1) 重心法 : (2) 与第二类互换 : 4. 应用范围 (1) 第一类积分 (2) 柱体侧面积 三 . 第一类面积分 ( 1. “ 积 ” 前工作 ( 重点 ): (1)

; ( 代入

)

)

;

(2) 对称性 ( 如 : 字母轮换 , 重心 ) (3) 分片 2. 计算公式 :

(1)

(2) 与第二类互换 : 四 : 第二类曲线积分 (1):

( 其中 有向 )

1. 直接计算 : ,

常见 (1) 水平线与垂直线 ; (2) 2. Green 公式 :

(1) ;

(2) (3)

(

: *

但

换路径 ; * 内有奇点 )

围路径 ( 变形 )

3. 推广 ( 路径无关性 ):

(1) (2) 4. 应用 功 ( 环流量 ):

( 微分方程 )

与路径无关 (

( 道路变形原理 ) 待定 ): 微分方程 .

( 有向 , , )

五 . 第二类曲面积分 : 1. 定义 : 2. 计算 :

(1) 定向投影 ( 单项 ): 注 : 垂直侧面 , 双层分隔 (2) 合一投影 ( 多项 , 单层 ):

(3) 化第一类 ( 不投影 ): 3.

公式及其应用 :

, 其中

( 特别 : 水平面 );

, 或

( 其中 含侧 )

(1) 散度计算 :

(2)

公式 : 封闭外侧 , 内无奇点

; * 封闭曲面变形

( 含奇点 )

(3) 注 : * 补充 “ 盖 ” 平面 : 4. 通量与积分 :

( 有向 ,

,

)

六 : 第二类曲线积分 (2):

1. 参数式曲线 : 直接计算 ( 代入 ) 注 (1) 当

时 , 可任选路径 ; (2) 功 ( 环流量 ):

含侧 )

2. Stokes 公式 : ( 要求 : 为交面式 ( 有向 ), 所张曲面

(1) 旋度计算 :

(2) 交面式 ( 一般含平面 ) 封闭曲线 :

;

(3)Stokes 公式 ( 选择 ): ( ) 化为

高数重点知识总结

; ( ) 化为

同侧法向 或

; ( ) 化为

1、 基本初等函数：反函数 (y=arctanx) ，对数函数 (y=lnx) ，幂函数 (y=x) ，指数函数 (

) ，三角函数 (y=sinx) ，常数函数 (y=c)

2、 分段函数不是初等函数。

3、 无穷小：高阶 + 低阶 = 低阶 例如：

4、 两个重要极限： 经验公式：当

，

例如：

连续但不可导。

5、 可导必定连续，连续未必可导。例如：

6、 导数的定义： 7、 复合函数求导：

例如：

8、 隐函数求导： (1) 直接求导法； (2) 方程两边同时微分，再求出 dy/dx

例如：

9、 由参数方程所确定的函数求导：若 ，则 ，其二

阶导数：

10、 微分的近似计算：

例如：计算

11、 函数间断点的类型： (1) 第一类：可去间断点和跳跃间断点；例如：

（ x=0 是函数可去间断点），

(2) 第二类：振荡间断点和无穷间断点；例如： 振荡间断点），

（ x=0 是函数的跳跃间断点）

（ x=0 是函数的

（ x=0 是函数的无穷间断点）

12、 渐近线： 水平渐近线： 铅直渐近线：

斜渐近线：

例如：求函数 的渐近线

13、 驻点：令函数 y=f(x) ，若 f'(x0)=0 ，称 x0 是驻点。

14、 极值点：令函数 y=f(x) ，给定 x0 的一个小邻域 u(x0, δ ), 对于任意 x ∈ u(x0, δ ) ，都有 f(x) ≥ f(x0) ，称 x0 是 f(x) 的极小值点；否则，称 x0 是 f(x) 的极大值点。极小值点与极大值点统称极值点。

15、 拐点：连续曲线弧上的上凹弧与下凹弧的分界点，称为曲线弧的拐点。 16、 拐点的判定定理：令函数 y=f(x) ，若 f\"(x0)=0 ，且 x0 ； x>x0 时， f\"(x)<0 或 xx0 时， f\"(x)>0 ，称点 (x0 ， f(x0)) 为 f(x) 的拐点。

17、 极值点的必要条件：令函数 y=f(x) ，在点 x0 处可导，且 x0 是极值点，则 f'(x0)=0 。

18、 改变单调性的点： ， 点可能是驻点，也可能是不可导点）

不存在，间断点（换句话说，极值

19、 改变凹凸性的点： ， 不存在（换句话说，拐点可能是二阶导数等于零的点，也可能是二阶导数不存在的点）

20、 可导函数 f(x) 的极值点必定是驻点，但函数的驻点不一定是极值点。 21、 中值定理： (1) 罗尔定理：

(2) 拉格朗日中值定理： ，使得

(3) 积分中值定理：

22、 常用的等价无穷小代换：

在 [a,b] 上连续， (a,b) 内可导，则至少存在一点 ，使得

在 [a,b] 上连续， (a,b) 内可导，则至少存在一点

在区间 [a,b] 上可积，至少存在一点 ，使得

23、 对数求导法：例如，

，

24、 洛必达法则：适用于“

”型，“ ，

例如，

25、 无穷大：高阶 + 低阶 = 高阶 例如，

26、 不定积分的求法 (1) 公式法

(2) 第一类换元法（凑微分法）

(3) 第二类换元法：哪里复杂换哪里，常用的换元： 1) 三角换元： 可令

；

，可令

；

，可令

， 2) 当

”型，“

”型等。当

，则

皆存在，且

有理分式函数中分母的阶较高时，常采用倒代换 27、 分部积分法：

，选取 u 的规则“反对幂指三”，剩下的作 v 。

分部积分出现循环形式的情况，例如： 28、 有理函数的积分：

例如：

其中，前部分 需要进行拆分，令

29、 定积分的定义： 30、 定积分的性质：

(1) 当 a=b 时， ；

(2) 当 a>b 时，

(3) 当 f(x) 是奇函数，

(4) 当 f(x) 是偶函数，

(5) 可加性：

31、 变上限积分：

推广：

32、 定积分的计算（牛顿 — 莱布尼茨公式）：

33、 定积分的分部积分法： 例如：

34、 反常积分： (1) 无穷限的反常积分：

(2) 无界函数的反常积分： 35、 平面图形的面积：

(1)

36、 旋转体的体积：

(2)

(1) 绕 x 轴旋转，

(2) 绕 y 轴旋转，