数值分析模拟题

1. (10分)利用Gauss-Legendre求积公式

011f(x)dx0.5556f(0.7746)0.88f(0)0.5556f(0.7746)导出求积分

3f(x)dx的三点高斯型求积公式。

x12x22x35x13x212x7x322. (15分)写出求解线性代数方程组 1的Gauss-Seidel迭代格式，并分析此格式的敛

散性。

A3. (15分)设矩阵

210102301300110，

0（1）试计算

||A||。

（2）用Householder变换阵H将A相似约化为上Hessenberg阵，即HAH为上Hessenberg阵。

4. (10分) 求关于点集1,2,3,4的正交多项式0(x),1(x),2(x)。

5. (10分)用最小二乘法确定一条经过原点的二次曲线，使之拟合下列数据

xi1.02.03.04.0yi0.81.51.82.0

xi0134y191566. (20分)给出数据点： i

1

数值分析模拟题

（1）用x0,x1,x2构造二次Lagrange插值多项式L2(x)，并计算x1.5的近似值L2(1.5)。

（2）用x1,x2,x3构造二次Newton插值多项式N2(x)，并计算x1.5的近似值N2(1.5)。

（3）用事后误差估计方法估计L2(1.5)、N2(1.5)的误差。

1A1A7．(10分) 设矩阵A可逆，A为A的误差矩阵，证明：当

时，AA也可逆。

xx0ih,i0,1,2.8．(10分)设f(x)四阶连续可导，i试建立如下数值微分

f(x0)2f(x1)f(x2)h2，并推导该公式的截断误差。

公式

f''(x1)1. 若

x310x1S(x)132(x1)a(x1)b(x1)c1x22

是三次样条函数，则a=_______,b=______,c=______.

2. 以n + 1个 整 数 点k ( k =0,1,2,…,n) 为 节 点 的 Lagrange 插 值 基 函 数 为

nlk(x)( k =0,1,2,…,n)，则

klk0k(x)_____.

y3. 序列nn=0满足递推关系：yn10yn11,(n1,2,...)，若y0有误差, 这个计算

2

数值分析模拟题

过程是否稳定？____________.

42若f(x)2xx3,则f[1,2,3,4,5,6]_____. 4.

5. 下面Matlab程序所描述的数学表达式为__________.

for j = 1 : n for i = 1 : m y ( i ) = A ( i , j )*x ( j ) + y( i ) end end

二、 简单计算题(每小题6分，共18分)

134A321411，求Givens 变换阵G 使GAGT 为三对角阵。1. 已知矩阵（不用计算GAGT）

32A11，求cond(A)1. 2.设

3.确定数值求积公式

10f(x)dx311f()f(1)434的代数精度.

3

数值分析模拟题

020A212三、 (12分)已知矩阵

102， 用施密特正交化方法求矩阵A的正交分解，即A=QR.

四、(10分) 应用Lagrange插值基函数法，求满足下面插值条件的 Hermite 插值多项式。

xiyiy'i000111

五、 (10分)设f(x)三阶连续可导，xix0ih,i0,1,2.试推导如下数值微分

0)4f(x1)3f(x2)公式的截断误差

f'(x2)f(x2h

11f(x)六、(10分)利用求积公式 1xdx3(f(32)f(0)f(32))求定积分x2dx。120

xi01.02.0七、(15分) 用最小二乘法确定一条经过原点的二次曲线，使之拟合下列数据yi0.20.51.0并求最小二乘拟合误差

2。

八、(10分)

4

3.01.2

数值分析模拟题

2已知A02x(k1)收敛最快？113,用迭代公式50,b031x(k)a(Ax(k)b),(k0,1,2,0)求解Axb.问a取什么实数可使迭代收敛，且a为何值时

n1. 形如

baf(x)dxAkf(xk)k0的插值型求积公式，其代数精度至少可达______次，

至多可达______次。

2．以n + 1个 整 数 点k ( k =1,2,…,n，n+1) 为 节 点 的 Lagrange 插 值 基 函 数 为

n1k1lk(x)( k =1,2,…,n,n+1)，则

lk(0)kn1__________.

42若f(x)2xx3,则f[1,2,3,4,5]_____. 3.

4. 下面Matlab程序所描述的数学表达式为________________________.

for j = 1 : n - 1

b ( j ) = b ( j ) / L ( j , j ); b ( j + 1 : n ) = b ( j + 1 : n ) - b ( j ) * L ( j + 1 :n, j ) ; end b ( n ) = b ( n ) / L ( n ,n ); 5

数值分析模拟题

二、 简单计算题(每小题6分，共18分)

1A251. 已知矩阵

252111，求Householder 变换阵H 使HAH 为三对角阵。（不用计算HAH）

12A1111，求cond(A)2. 2. 设

211A412223，求A的LU分解。 3. 设

三、 (12分) 已知一组线性无关的向量

u1(1,1,1)T,u2(2,1,0)T,u3(0,1,1)T,由此向量组，按Schmidt正交化方法，求一组A共轭向量组,100其中A=020.001

四、(12分) 应用Lagrange插值基函数法，求满足下面插值条件的 Hermite 插值多项式,

并写出截断误差。

xiyi'yi00011220

6

数值分析模拟题

五、(12分)设线性方程组为

4x1x22x31x13x2x322xx4x3123

(1) 写出用SOR迭代法求解此方程组的分量计算格式；

(2) 当取2时，SOR迭代法是否收敛，为什么？

(3) 当取1时，SOR迭代法是否收敛，为什么？

1六、(12分)已知高斯求积公式

11f(x)dxf(0.57735)f(0.57735)将区间[0,1]二等分，用复化高斯

求积法求定积分

0xdx的近似值。

xiy七、(12分)用最小二乘法确定一条经过点(-1,0)的二次曲线，使之拟合下列数据i0.01.02.03.02.02.83..8

八、(7分)设内积空间Hspan0(x),1(x),由0(x),1(x),,n(x),,n(x)所确定的Gram矩阵为(0(x),n(x))(0(x),0(x)) G(n(x),n(x))(n(x),0(x))证明：若G为非奇异矩阵，则0(x),1(x),,n(x)线性无关。

1. 已知x=62.1341是由准确数a经四舍五入得到的a的近似值，试给出x的绝对误差界_______________.

12A21，则A的奇异值为 _________. 2. 已知矩阵

7

数值分析模拟题

3. 设x和y的相对误差均为0.001，则xy的相对误差约为____________.

若f(x)5x4x23,xi=i,则4f(xi)_____.4.

5. 下面Matlab程序所描述的数学表达式为________________________.

a=[10,3,4,6];t=1/(x-1);n=length(a)

ya(n);forkn1:1:1yt*ya(k); end 32f(x)(xa)二、(10分)设。

（1）写出解f(x)0的Newton迭代格式；（2）证明此迭代格式是线性收敛的。

211A10,b1121011三、 (15分)已知矛盾方程组Ax=b，其中，（1）用Householder方法求矩阵

A的正交分解，即A=QR。（2）用此正交分解求矛盾方程组Ax=b的最小二乘解。

xi01四、(15分) 给出数据点：yi3923461215

（1）用x1,x2,x3,x4构造三次Newton插值多项式N3(x)，并计算x1.5的近似值N3(1.5)。

（2）用事后误差估计方法估计N3(1.5)的误差。

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数值分析模拟题

2{(x),(x),(x)}(x)x012五、(15分) （1）设是定义于[-1，1]上关于权函数的首项系数为1的正交

多项式组，若已知0(x)1,1(x)x，试求出2(x)。

（2）利用正交多项式组{0(x),1(x),2(x)}，求

11[,]f(x)x22上的二次最佳平方逼近多项式。 在

六、(15分) 设P1(x)是f(x)的以

If(x)dx02(133),(1)33为插值节点的一次插值多项式，试由P1(x)导出求积分

的一个插值型求积公式，并推导此求积公式的截断误差。

七、(15分) 已知求解线性方程组Ax=b的分量迭代格式

nxi(k1)xi(k)（biaijx(jk)),aiij1i1,2,,n

（1）试导出其矩阵迭代格式及迭代矩阵；

（2）证明当A是严格对角占优阵，

12时此迭代格式收敛。

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