2013广州调研数学文试题及答案

广州市2013届高三年级调研测试

试卷类型：A

数 学（文 科） 2013.1

本试卷共4页，21小题， 满分150分．考试用时120分钟．

注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、

座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上.

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息

点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.

4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答.漏

涂、错涂、多涂的，答案无效.

5．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.

一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的.

1．复数1i（i为虚数单位）的模等于

A．2 B．1 C．

22 D．

12

2．已知集合A{0,1,2,3,4}，集合B{x|x2n,nA}，则AB

A．{0} B．{0,4} C．{2,4} D．{0,2,4}

log2x,x01xf, 则xf的值是

43,x03．已知函数fA．9 B．

19 C．9 D．19

4．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3a4a512，则S7的值为

A．56 B．42 C．28 D．14 5．已知e为自然对数的底数，函数yxex的单调递增区间是

A . 1, B．,1 C．1, D．,1 6．设m,n是两条不同的直线，,,是三个不同的平面，下列命题正确的是

A．若m//n,m//,则n//

B．若,,则//

C．若m//,n//,则m//n

7．如图1，程序结束输出s的值是

A．30 8．已知函数fD．若m,n//,则mn

B．55 C．91 D．140

x122cos2xcosx，xR，则fx是

A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的奇函数

C．最小正周期为

2的偶函数 D．最小正周期为的偶函数

9．在区间2,4分别取一个数,记为a,b, 1,5和xa22则方程yb221表示焦点在x轴上且离心率小于32的

椭圆的概率为 A．

12 B．

1532 C．

1732 D．

3132

10．在R上定义运算:xyx(1y).若对任意x2，不等式xaxa2 都成立，则实数a的取值范围是

二．填空题： 本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分. （一）必做题（11～13题） 11．已知f A.  1,7 B. ,3 C. ,7D. ,17,

x是奇函数,

gxfx4, g12, 则f1的值是 .

12．已知向量a，b都是单位向量，且ab12，则2ab的值为 .

13．设f1(x)cosx，定义fn1(x)为fn(x)的导数，即fn1(x)f 'n(x)，nN*，若

ABC的内角A满足f1(A)f2(A)f2013(A)0，则sinA的值是 . （二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14.（几何证明选讲选做题）

如图2，已知AB是⊙O的一条弦，点P为AB上一点， PCOP，PC交⊙O于C，若AP4，PB2， 则PC的长是 .

CAPOB图2

15．（坐标系与参数方程选讲选做题）

xcos,已知圆C的参数方程为(为参数), 以原点为极点,x轴的正半轴为极

ysin2,轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sincos1, 则直线l截圆C所得的弦长是 .

三．解答题： 本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分12分） 已知函数f(x)sinxsinx. 2（1）求函数yf(x)的单调递增区间；

（2）若f(4)23，求f(24)的值.

17．（本小题满分12分）

某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图3，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83.

（1）求x和y的值；

甲 （2）计算甲班7位学生成绩的方差s；

（3）从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，

求甲班至少有一名学生的概率. 12x1x参考公式：方差sn57611y116x0622乙x22x2xnx2， 图3其中xx1x2xnn.

18．(本小题满分14分)

已知四棱锥PABCD的正视图是一个底边长为4、腰长为3的等腰三角形，图4、图5

分别是四棱锥PABCD的侧视图和俯视图. （1）求证：ADPC；

（2）求四棱锥PABCD的侧面PAB的面积. 侧视

AP222DB正视C2图4图5

19．（本小题满分14分）

已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{Sn1}是公比为2的等比数列，a2是a1和a3的等比中项.

（1）求数列{an}的通项公式； （2）求数列nan的前n项和Tn.

20.（本小题满分14分） 已知fx是二次函数，不等式fx且f0的解集是0,5，

x在点1,f1处

的切线与直线6xy10平行. （1）求fx的解析式；

（2）是否存在tN*，使得方程fx37x0在区间t,t1内有两个不等的实数

根？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由.

21.（本小题满分14分） 已知椭圆C1:xa22yb221ab0的右焦点与抛物线C2:y4x的焦点F重合,

2 椭圆C1与抛物线C2在第一象限的交点为P,PF(1)求椭圆C1的方程；zyy100

53.

(2) 若过点A1,0的直线与椭圆C1相交于M、N两点，求使FMFNFR成立的

动点R的轨迹方程；

(3) 若点R满足条件（2），点T是圆x1y

221上的动点，求RT的最大值.

广州市2013届高三年级调研测试 数学（文科）试题参及评分标准

说明：1．参与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几

种解法供参考，如果考生的解法与参不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．

2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得

超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．

一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分. 题号 答案 1 A 2 D 3 B 4 C 5 A 6 D 7 C 8 C 9 B 10 C 二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共5小题，考生作答4小题，

每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题． 11．2 12.

3 13. 1 14. 22 15.

2 三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16．（本小题满分12分）

(本小题主要考查三角函数性质、同角三角函数的基本关系、二倍角公式等知识, 考查化归与转化的数学思想方法和运算求解能力) （1） 解：f(x)sinxsinx 2 cosxsinx „„„„„ 1分 22sinx2cosx

222sinx. „„„„„ 3分

4由22kx422k, „„„„„ 4分

解得342kx42k,kZ. „„„„„ 5分

∴yf(x)的单调递增区间是[342k,42k],kZ. „„„„ 6分

（2）解：由（1）可知f(x) 2sin(x4)，

∴f(4)2sin23，得sin13. „„„„„ 8分

∴f(24)2sin2 „„„„„ 9分

2  2cos2 „„„„„ 10分

212sin „„„„„ 11分

2729. „„„„„ 12分

17．（本小题满分12分）

(本小题主要考查茎叶图、样本均值、样本方差、概率等知识, 考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识) （1）解：∵甲班学生的平均分是85， ∴

92968080x857978785. „„„„„ 1分

∴x5. „„„„„ 2分 ∵乙班学生成绩的中位数是83，

∴y3. „„„„„ 3分 （2）解：甲班7位学生成绩的方差为

s22167725202027221140. „„ 5分

（3）解：甲班成绩在90分以上的学生有两名，分别记为A,B， „„„„„ 6分 乙班成绩在90分以上的学生有三名，分别记为C,D,E. „„„„„ 7分 从这五名学生任意抽取两名学生共有10种情况：A,B,A,C,A,D, A,E,B,C , E „„„„„ 9分 ,B,D,B,E,C,D,C,E,. D 其中甲班至少有一名学生共有7种情况：A,B,A,C,A,D,

A,E,B,C „„„„„11分 ,B,D,B,. E 记“从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲班至少有一名学生”为事

件M，则PM710.

710答：从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲校至少有一名学生的概率为

.

„„„„„12分

18．（本小题满分14分）

（本小题主要考查空间线面位置关系、三视图、几何体的侧面积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力）

（1）证明：依题意，可知点P在平面ABCD上的正射影是线段CD的中点E，连接PE， 则PE平面ABCD. „„„„„ 2分 ∵AD平面ABCD，

∴ADPE. „„„„„ 3分 ∵ADCD，CDPEE,CD平面PCD，PE平面PCD，

∴AD平面PCD. „„„„„ 5分 ∵PC平面PCD，

∴ADPC. „„„„„ 6分 （2）解：依题意，在等腰三角形PCD中，PCPD3，DEEC2， 在Rt△PED中，PEPD2DE25，„„„„„ 7分

P 过E作EFAB，垂足为F，连接PF，

∵PE平面ABCD，AB平面ABCD，

∴ABPE. „„„„„ 8分

∵EF平面PEF，PE平面PEF，EFPEE， ∴AB平面PEF. „„„„„ 9分 ∵PF平面PEF，

∴ABPF. „„„„„ 10分 依题意得EFAD2. „„„„„ 11分 在Rt△PEF中， PF∴△PAB的面积为S12PE2DFEBCAEF23， „„„„„ 12分

ABPF6.

∴四棱锥PABCD的侧面PAB的面积为6. „„„„„ 14分

19．（本小题满分14分）

(本小题主要考查数列、数列求和等知识, 考查化归与转化、分类与整合的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识) （1）解：∵{Sn1}是公比为2的等比数列，

n1n1(a11)2. „„„„„ 1分 ∴Sn1(S11)2n11. ∴Sn(a11)2从而a2S2S1a11，a3S3S22a12. „„„„„ 3分 ∵a2是a1和a3的等比中项

∴(a11)a1(2a12)，解得a11或a11. „„„„„ 4分

2

当a11时，S110，{Sn1}不是等比数列， „„„„„ 5分 ∴a11.

∴Sn2n1. „„„„„ 6分 当n2时，anSnSn12n1. „„„„„ 7分 ∵a11符合an2n1，

∴an2n1. „„„„„ 8分 （2）解：∵nann2n1，

∴Tn11221322n2n1. ① „„„„„ 9分 2Tn121222323n2n.② „„„„„ 10分

①②得Tn1222 12nn2n1n2 „„„„„ 11分

n12n2 „„„„„ 12分

1n2n1. „„„„„ 13分 ∴Tnn12n1. „„„„„ 14分

20.（本小题满分14分）

(本小题主要考查二次函数、函数的性质、方程的根等知识, 考查函数与方程、分类与整合的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和应用意识) （1）解法1：∵f ∴可设fx是二次函数，不等式fx0的解集是0,5，

xaxx5，a0. „„„„„ 1分

/ ∴f(x)2ax5a. „„„„„ 2分

∵函数f ∴f/x在点1,f1处的切线与直线6xy10平行，

16. „„„„„ 3分

∴2a5a6，解得a2. „„„„„ 4分 ∴fx2xx52x210x. „„„„„ 5分

解法2：设fxax2bxc，

∵不等式fx0的解集是0,5，

∴方程ax2bxc0的两根为0,5.

∴c0,25a5b0. ① „„„„„ 2分 ∵f/(x)2axb. 又函数f ∴f/x在点1,f1处的切线与直线6xy10平行，

16.

∴2ab6. ② „„„„„ 3分

由①②,解得a2,b10. „„„„„ 4分 ∴fx2x210x. „„„„„ 5分

（2）解：由（1）知，方程fx37x0等价于方程2x10x32370.

„„„„„ 6分

设hx2x310x237，

则h/x6x220x2x3x10. „„„„„ 7分

当x0,1010/时，h310，函数在x0hx0,3上单调递减； „„„ 8分  当x,时，h/310,，函数在x0hx3上单调递增. „ 9分  ∵h310,h1010,h450， „„„„„ 12分 327 ∴方程hx0在区间3,1010,4，内分别有唯一实数根，在区间0,3,

33 4,内没有实数根. „„„„„ 13分

∴存在唯一的自然数t3，使得方程fx37x0在区间t,t1内有且只

有两个不等的实数根. „„„„„ 14分

21.（本小题满分14分）

(本小题主要考查求曲线的轨迹方程、直线、椭圆、抛物线等知识, 考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力和创新意识) (1)解法1：抛物线C2:y24x的焦点F的坐标为1,0，准线为x1， 设点P的坐标为x0,y0，依据抛物线的定义，由PF5，得1x05， 解得x02.

3 ∵ 点P在抛物线C2上，且在第一象限，

∴ y22604x043，解得y023.

∴点P的坐标为2263,3. 22 ∵点P在椭圆C1:x8a2yb21上， ∴

49a23b21. 又c1，且a2b2c2b21， 解得a24,b23.

的方程为

x2∴椭圆Cy21431. 解法2: 抛物线C22:y4x的焦点F的坐标为1,0，

设点P的坐标为x0,y0,x00,y00. ∵PF53,

∴x201y20259. ① ∵点P在抛物线C22:y4x上,

∴y204x0. ②

解①②得x22603,y03.

33„„„„„ 1分

„„„„„ 2分 „„„„„ 3分

„„„„„ 4分 „„„„„ 5分

„„„„„ 1分

∴点P的坐标为226,33. „„„„„ 2分 22 ∵点P在椭圆C1:xa22yb1上， ∴

49a283b21. „„„„„ 3分

又c1，且a2b2c2b21， „„„„„ 4分 解得a24,b23.

x2∴椭圆C1的方程为(2)解法1：设点M4y231. „„„„„ 5分

x1,y1、Nx2,y2、Rx,y，

 则FMx11,y1,FNx21,y2,FRx1,y.  ∴FMFNx1x22,y1y2.

∵ FMFNFR,

∴x1x22x1,y1y2y. ① „„„„„ 6分

x142∵M、N在椭圆C1上， ∴

y1321,x242y2321.

上面两式相减得

x1x2x1x24y1y2y1y230.②

把①式代入②式得

x1x1x24yy1y230.

当x1x2时，得

y1y2x1x23x14y. ③ „„„„„ 7分

设FR的中点为Q，则Q的坐标为∵M、N、Q、A四点共线，

yx1y,22. ∴kMNkAQ, 即

y1y2x1x22x121yx3. ④ „„„„„ 8分

把④式代入③式，得

yx33x14y，

化简得4y23x24x30. „„„„„ 9分 当x1x2时，可得点R的坐标为3,0，

经检验，点R3,0在曲线4y23x24x30上.

∴动点R的轨迹方程为4y23x24x30. „„„„„ 10分

解法2：当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为ykx1，

ykx1,2 由2消去y，得34k2xy1,34x28kx4k22120.

设点Mx1,y1、Nx2,y2、Rx,y，

8k22 则x1x234k,

y1y2kx11kx21kx1x22 ∵FMx11,y1,FNx21,y2,FRx1,y.  ∴FMFNx1x22,y1y2.

6k34k2.„6分

∵ FMFNFR,

∴x1x22x1,y1y2y.

8k22∴x1x1x26k34k234k, ①

y. ② „„„„„ 7分 3x14y①②得k， ③ „„„„„ 8分

把③代入②化简得4y23x24x30. (*) „„„„„ 9分 当直线MN的斜率不存在时，设直线MN的方程为x1,

依题意, 可得点R的坐标为3,0，

经检验，点R3,0在曲线4y23x24x30上.

∴动点R的轨迹方程为4y23x24x30. „„„„„ 10分

(3)解: 由(2)知点Rx,y的坐标满足4y23x4x30,

2即4y23x24x3,

由y20,得3x24x30,解得3x1. „„„„„ 11分 ∵圆x1y21的圆心为F1,0,半径r1, ∴RF2x1212y2x123x424x3  x10105. „„„„„ 12分

max2 ∴当x3时,RF 此时,RT

4, „„„„„ 13分

max415. „„„„„ 14分