北京师大附属实验中学2019-2020学年九年级(上)第一次月考数学试卷(含解析)

一、选择题（本题共30分，每小题3分）

1．已知⊙O的半径为4，点O到直线m的距离为3，则直线m与⊙O公共点的个数为（ ） A．0个

B．1个

C．2个

D．3个

2．如图，AB是⊙O的直径，AB⊥CD于E，AB＝10，CD＝8，则BE为（ ）

A．2

B．3

C．4

D．3.5

3．正六边形内接于圆，它的边所对的圆周角是（ ） A．60°

B．120°

C．60°或120°

D．30°或150°

4．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，点D在BA的延长线上，CD与⊙O交于另一点E，DE＝OB＝2，∠D＝20°，则

的长度为（ ）

A．π

B．π

C．π

D．π

5．已知：如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B点，C为⊙O上一点，∠ACB＝65°，则∠

APB等于（ ）

A．65°

B．50°

C．45°

D．40°

，

6．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝45°，以AB为直径的⊙O交BC于点D，若BC＝4则图中阴影部分的面积为（ ）

A．π+1

B．π+2

C．2π+2

D．4π+1

7．一个圆锥侧面展开图的扇形的弧长为12π，则这个圆锥底面圆的半径为（ ） A．6

B．12

C．24

D．2

8．点P为⊙O内一点，且OP＝4，若⊙O的半径为6，则过点P的弦长不可能为（ ） A．12

B．

C．8

D．10.5

9．如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD＝8cm，

AE＝2cm，则OF的长度是（ ）

A．3cm

B．

cm C．2.5cm D．cm

10．如图，AB是⊙O的直径，且AB＝10，弦MN的长为8，若弦MN的两端在圆上滑动时，始终与AB相交，记点A、B到MN的距离分别为h1，h2，则|h1﹣h2|等于（ ）

A．5

B．6

C．7

D．8

二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）

11．如图，点A、B、C在⊙O上，点D是AB延长线上一点，∠CBD＝75°，则∠AOC＝ ．

12．在△ABC中，∠BAC＝80°，∠C＝60°，若点O为△ABC的外心，则∠AOC的度数是 ；若点P为△ABC的内心，则∠APC的度数是 ． 13．在⊙O中，AB是⊙O的直径，AB＝8cm，小值是 cm．

＝

＝

，M是AB上一动点，CM+DM的最

14．扇形的圆心角是120°，面积是3πcm，则扇形的弧长是 cm，将此扇形卷成一个圆锥，则底面圆的半径为 cm．

15．如图所示，△ABC是⊙O的内接三角形，AD⊥BC于D点，且AC＝5，DC＝3，AB＝则⊙O的直径等于 ．

，

2

16．下面是“用三角板画圆的切线”的画图过程． 如图1，已知圆上一点A，画过A点的圆的切线．

画法：（1）如图2，将三角板的直角顶点放在圆上任一点C（与点A不重合）处，使其一直角边经过点A，另一条直角边与圆交于B点，连接AB；

（2）如图3，将三角板的直角顶点与点A重合，使一条直角边经过点B，画出另一条直角边所在的直线AD．

所以直线AD就是过点A的圆的切线． 请回答：该画图的依据是 ．

三、解答题（共7小题，满分46分）

17．（1）如图中，AB是半圆的直径，点C在半圆外，请仅用无刻度的直尺画出△ABC的三条高的交点；

（2）已知⊙O如图所示．

①求作⊙O的内接正方形（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； ②若⊙O的半径为4，则它的内接正方形的边长为 ．

18．如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连结BC． （1）求证：AE＝ED；

（2）若AB＝10，∠CBD＝36°，求

的长．

19．如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC＝120°，AB＝AC＝4，求⊙O的直径．

20．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，以R长为半径画圆，若⊙C与AB边只有一个公共点，求R的取值范围．

21．如图，⊙O外接于正方形ABCD，P为弧AD上一点，且AP＝1，PC＝3，求正方形ABCD的边长和PB的长．

22．如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A，B两点，且与BC边交于点E，D为BE的下半圆弧的中点，连接AD交BC于F，AC＝FC． （1）求证：AC是⊙O的切线；

（2）已知圆的半径R＝5，EF＝3，求DF的长．

23．在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，P是坐标系内任意一点，点P到⊙O的距离SP的定义如下：若点P与圆心O重合，则SP为⊙O的半径长；若点P与圆心O不重合，作射线OP交⊙O于点A，则SP为线段AP的长度． 图1为点P在⊙O外的情形示意图．

（1）若点B（1，0），C（1，1），

，则SB＝ ；SC＝ ；SD＝ ；

（2）若直线y＝x+b上存在点M，使得SM＝2，求b的取值范围；

（3）已知点P，Q在x轴上，R为线段PQ上任意一点．若线段PQ上存在一点T，满足T在⊙O内且ST≥SR，直接写出满足条件的线段PQ长度的最大值．

参与试题解析

一．选择题（共10小题）

1．已知⊙O的半径为4，点O到直线m的距离为3，则直线m与⊙O公共点的个数为（ ） A．0个

B．1个

C．2个

D．3个

【分析】根据直线和圆的位置关系判断方法，可得结论． 【解答】解：∵d＝3＜半径＝4 ∴直线与圆相交

∴直线m与⊙O公共点的个数为2个 故选：C．

2．如图，AB是⊙O的直径，AB⊥CD于E，AB＝10，CD＝8，则BE为（ ）

A．2

B．3

C．4

D．3.5

【分析】连接OC构建Rt△COE．利用圆的直径与半径的数量关系、垂径定理求得OC＝5，

CE＝4；然后根据勾股定理求得OE＝2；最后利用线段间的和差关系求得BE＝OB﹣OE求

得BE的长度即可． 【解答】解：连接OC． ∵AB是⊙O的直径，AB＝10， ∴OC＝OB＝AB＝5； 又∵AB⊥CD于E，CD＝8， ∴CE＝CD＝4（垂径定理）； 在Rt△COE中，OE＝3（勾股定理）， ∴BE＝OB﹣OE＝5﹣3＝2，即BE＝2； 故选：A．

3．正六边形内接于圆，它的边所对的圆周角是（ ） A．60°

B．120°

C．60°或120°

D．30°或150°

【分析】作出图形，求出一条边所对的圆心角的度数，再根据圆周角和圆心角的关系解答．

【解答】解：圆内接正六边形的边所对的圆心角＝360°÷6＝60°， 根据圆周角等于同弧所对圆心角的一半，

边所对的圆周角的度数是60×＝30°或180°﹣30°＝150°． 故选：D．

4．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，点D在BA的延长线上，CD与⊙O交于另一点E，DE＝OB＝2，∠D＝20°，则

的长度为（ ）

A．π

B．π

C．π

D．π

【分析】连接OE、OC，如图，根据等腰三角形的性质得到∠D＝∠EOD＝20°，根据外角的性质得到∠CEO＝∠D+∠EOD＝40°，根据等腰三角形的性质得到∠C＝∠CEO＝40°，根据外角的性质得到∠BOC＝∠C+∠D＝60°，根据求弧长的公式得到结论． 【解答】解：连接OE、OC，如图， ∵DE＝OB＝OE， ∴∠D＝∠EOD＝20°， ∴∠CEO＝∠D+∠EOD＝40°， ∵OE＝OC，

∴∠C＝∠CEO＝40°，

∴∠BOC＝∠C+∠D＝60°， ∴

的长度＝

＝π，

故选：A．

5．已知：如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B点，C为⊙O上一点，∠ACB＝65°，则∠

APB等于（ ）

A．65°

B．50°

C．45°

D．40°

【分析】连接OA，OB．根据圆周角定理和四边形内角和定理求解即可． 【解答】解：连接OA，OB， ∵PA、PB切⊙O于点A、B， ∴∠PAO＝∠PBO＝90°，

由圆周角定理知，∠AOB＝2∠ACB＝130°，

∴∠APB＝360°﹣∠PAO﹣∠PBO﹣∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣130°＝50°． 故选：B．

6．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝45°，以AB为直径的⊙O交BC于点D，若BC＝4则图中阴影部分的面积为（ ）

，

A．π+1

B．π+2

C．2π+2

D．4π+1

【分析】连接DO、AD，求出圆的半径，求出∠BOD和∠DOA的度数，再分别求出△BOD和扇形DOA的面积即可． 【解答】解：连接OD、AD，

∵在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝45°， ∴∠C＝45°， ∴∠BAC＝90°， ∴△ABC是Rt△BAC， ∵BC＝4

，

∴AC＝AB＝4， ∵AB为直径，

∴∠ADB＝90°，BO＝DO＝2， ∵OD＝OB，∠B＝45°， ∴∠B＝∠BDO＝45°， ∴∠DOA＝∠BOD＝90°，

∴阴影部分的面积S＝S△BOD+S扇形DOA＝故选：B．

+

＝π+2．

7．一个圆锥侧面展开图的扇形的弧长为12π，则这个圆锥底面圆的半径为（ ） A．6

B．12

C．24

D．2

【分析】利用圆锥侧面展开扇形的弧长等于底面圆的周长计算．

【解答】解：设底面圆半径为r， 则2πr＝12π， 化简得r＝6． 故选：A．

8．点P为⊙O内一点，且OP＝4，若⊙O的半径为6，则过点P的弦长不可能为（ ） A．12

B．

C．8

D．10.5

【分析】过点P最长的弦是圆的半径，最短的弦是与OP垂直的弦，所以过点P的弦最长是12，最短是

．

【解答】解：如图所示，OP⊥AB， 则AB是过点P最短的弦， ∴AP＝BP，

OA＝6，OP＝4，

在Rt△AOP中，AP＝所以AB＝由于8＜故选：C．

．

，所以过点P的弦长不可能为8．

，

9．如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD＝8cm，

AE＝2cm，则OF的长度是（ ）

A．3cm

B．

cm C．2.5cm D．cm

【分析】根据垂径定理得出AB的长，进而利用中位线定理得出OF即可．

【解答】解：连接AB，OB，

∵AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，BD＝8cm，AE＝2cm， 在Rt△ABE中，AE+BE＝AB， 即AB＝

，

2

2

2

∵OA＝OC，OB＝OC，OF⊥BC， ∴BF＝FC， ∴OF＝故选：D．

10．如图，AB是⊙O的直径，且AB＝10，弦MN的长为8，若弦MN的两端在圆上滑动时，始终与AB相交，记点A、B到MN的距离分别为h1，h2，则|h1﹣h2|等于（ ）

．

A．5

B．6

C．7

D．8

【分析】设AB、NM交于H，做OD⊥MN于D，连接OM，利用垂径定理及勾股定理可求出

OD，再推△AFH∽△ODH∽△BEH，然后就可利用OH表示BE、AN，从而可求出答案．

【解答】解：设AB、NM交于H，作OD⊥MN于D，连接OM． ∵AB是⊙O的直径，且AB＝10，弦MN的长为8， ∴DN＝DM＝4， ∵MO＝5， ∴OD＝3．

∵BE⊥MN，AF⊥MN，OD⊥MN， ∴BE∥OD∥AF，

∴△AFH∽△ODH∽△BEH，

∴

即

即＝

， ，

∴（AF﹣BE）＝﹣2， ∴|h1﹣h2|＝|AF﹣BE|＝6． 故选：B．

二．填空题（共6小题）

11．如图，点A、B、C在⊙O上，点D是AB延长线上一点，∠CBD＝75°，则∠AOC＝ 150° ．

【分析】首先在优弧AC上取点E，连接AE，CE，由圆的内接四边形的性质，可得∠CBD＝∠E，由圆周角定理可求得∠AOC的度数． 【解答】解：在优弧AC上取点E，连接AE，CE，

∵∠ABC＝180°﹣∠E，∠ABC＝180°﹣∠CBD，∠CBD＝75°， ∴∠E＝∠CBD＝75°． ∴∠AOC＝2∠E＝150°， 故答案为：150°．

12．在△ABC中，∠BAC＝80°，∠C＝60°，若点O为△ABC的外心，则∠AOC的度数是 80° ；若点P为△ABC的内心，则∠APC的度数是 110° ．

【分析】先根据三角形内角和计算出∠ABC＝40°，若点O为△ABC的外心，利用圆周角定理得到∠AOC＝2∠ABC；若点P为△ABC的内心，利用角平分线的性质和三角形内角和得到∠APC＝90°+∠ABC．

【解答】解：∵∠BAC＝80°，∠C＝60°，

∴∠ABC＝180°﹣∠BAC﹣∠C＝180°﹣80°﹣60°＝40°， 若点O为△ABC的外心，则∠AOC＝2∠ABC＝80°；

点P为△ABC的内心，则∠APC＝90°+∠ABC＝90°+×40°＝110°． 故答案为80°，110°．

13．在⊙O中，AB是⊙O的直径，AB＝8cm，小值是 8 cm．

＝

＝

，M是AB上一动点，CM+DM的最

【分析】作点C关于AB的对称点C′，连接C′D与AB相交于点M，根据轴对称确定最短路线问题，点M为CM+DM的最小值时的位置，根据垂径定理可得出C′D为直径，从而得解．

【解答】解：如图，作点C关于AB的对称点C′，连接C′D与AB相交于点M， 此时，点M为CM+DM的最小值时的位置， 由垂径定理，

＝

，

＝

，然后求

∴∵

＝＝

＝

，

，AB为直径，

∴C′D为直径，

∴CM+DM的最小值是8cm． 故答案为：8．

14．扇形的圆心角是120°，面积是3πcm，则扇形的弧长是 2π cm，将此扇形卷成一个圆锥，则底面圆的半径为 1 cm． 【分析】根据扇形的面积公式S＝

即可求得半径，然后根据扇形的面积公式S＝

2

lr，即可求得弧长．利用圆的周长公式求出底面圆的半径．

【解答】解：设扇形的半径是rcm，则

＝3π，解得：r＝3，

设扇形的弧长是l，则×3l＝3π，解得：l＝2π（cm），

将此扇形卷成一个圆锥，设底面圆的半径为Rcm，则2πR＝2π，解得R＝1， 故答案为2π，1．

15．如图所示，△ABC是⊙O的内接三角形，AD⊥BC于D点，且AC＝5，DC＝3，AB＝则⊙O的直径等于 ．

，

【分析】连接AO并延长到E，连接BE．设AE＝2R，则∠ABE＝90°，∠AEB＝∠ACB，∠

ADC＝90°，利用勾股定理求得AD＝ADC，得到

＝

，即2R＝

＝

＝＝5

．

＝4；再证明Rt△ABE∽Rt△

【解答】解：如图，

连接AO并延长到E，连接BE．设AE＝2R，则 ∠ABE＝90°，∠AEB＝∠ACB； ∵AD⊥BC于D点，AC＝5，DC＝3，AB＝∴∠ADC＝90°，AD＝在Rt△ABE与Rt△ADC中，

∠ABE＝∠ADC＝90°，∠AEB＝∠ACB， ∴Rt△ABE∽Rt△ADC， ∴

＝

， ＝

．

＝5

； ＝

， ＝4；

即2R＝

∴⊙O的直径等于

16．下面是“用三角板画圆的切线”的画图过程． 如图1，已知圆上一点A，画过A点的圆的切线．

画法：（1）如图2，将三角板的直角顶点放在圆上任一点C（与点A不重合）处，使其一直角边经过点A，另一条直角边与圆交于B点，连接AB；

（2）如图3，将三角板的直角顶点与点A重合，使一条直角边经过点B，画出另一条直角边所在的直线AD．

所以直线AD就是过点A的圆的切线．

请回答：该画图的依据是 90°的圆周角所对的弦是直径，经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 ．

【分析】画法（1）的依据为圆周角定理，画法（2）的依据为切线的判定定理． 【解答】解：利用90°的圆周角所对的弦是直径可得到AB为直径，根据经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线可判断直线AD就是过点A的圆的切线． 故答案为90°的圆周角所对的弦是直径，经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．

三．解答题（共7小题）

17．（1）如图中，AB是半圆的直径，点C在半圆外，请仅用无刻度的直尺画出△ABC的三条高的交点；

（2）已知⊙O如图所示．

①求作⊙O的内接正方形（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； ②若⊙O的半径为4，则它的内接正方形的边长为 4 ．

【分析】（1）半圆与AC、BC分别交于点D、E，利用圆周角定理得到BD⊥AC，AE⊥BC，

BD与AE相交于P，延长CP交AB于F，利用三角形三条高线相交于一点可判断CF⊥AB；

（2）①先作直径MP，再过点O作MP的垂线得到直径NQ，则四边形MNPQ满足条件； ②利用正方形的性质求解．

【解答】解：（1）如图1，AE、BD、CF为所作； （2）①如图2，正方形MNPQ为所作； ②因为四边形MNPQ为正方形， 所以MN＝

PM＝×8＝4．

故答案为4．

18．如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连结BC． （1）求证：AE＝ED；

（2）若AB＝10，∠CBD＝36°，求

的长．

【分析】（1）根据平行线的性质得出∠AEO＝90°，再利用垂径定理证明即可； （2）根据弧长公式解答即可．

【解答】证明：（1）∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∵OC∥BD，

∴∠AEO＝∠ADB＝90°， 即OC⊥AD， ∴AE＝ED； （2）∵OC⊥AD， ∴

，

∴∠ABC＝∠CBD＝36°，

∴∠AOC＝2∠ABC＝2×36°＝72°， ∴

．

19．如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC＝120°，AB＝AC＝4，求⊙O的直径．

【分析】连接BO并延长交圆O与点D，连接AD，根据BD是直径，易证△ABD为直角三角形；∠D＝∠C＝30°．则BD＝2AB＝8．

【解答】解：连接BO并延长交圆O于点D，连接AD， ∵∠BAC＝120°，AB＝AC＝4， ∴∠C＝30°， ∴∠BOA＝60°． 又∵OA＝OB， ∴△AOB是正三角形． ∴OB＝AB＝4， ∴BD＝8． ∴⊙O的直径为8．

20．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，以R长为半径画圆，若⊙C与AB边只有一个公共点，求R的取值范围．

【分析】过C作CD⊥AB于D，根据勾股定理得到AB＝5cm，根据三角形的面积公式得到

CD＝＝，然后根据圆心到AB的距离与半径的关系即可得到结论．

【解答】解：过C作CD⊥AB于D， ∵∠C＝90°，BC＝4cm，AC＝3cm， ∴AB＝5cm， ∴CD＝

＝

，

或3＜r≤4．

若边AB与⊙C只有一个公共点，r的取值范围是r＝

21．如图，⊙O外接于正方形ABCD，P为弧AD上一点，且AP＝1，PC＝3，求正方形ABCD的边长和PB的长．

【分析】连接AC，作AE⊥PB于E，由正方形的性质得出AB＝BC＝CD＝AD，∠ABC＝∠D＝∠BCD＝90°，∠ACB＝45°，由圆周角定理得出AC是⊙O的直径，△ABC是等腰直角三角形，得出∠APC＝90°，AC＝

AB，由勾股定理得出AC＝＝，得出

AB＝，由圆周角定理得出∠APB＝∠ACB＝45°，证出△APE是等腰直角三角形，得出

PE＝AE＝AP＝，再由勾股定理得出BE＝＝，即可得出PB的长．

【解答】解：连接AC，作AE⊥PB于E，如图所示： ∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝BC＝CD＝AD，∠ABC＝∠D＝∠BCD＝90°，∠ACB＝45°， ∴AC是⊙O的直径，△ABC是等腰直角三角形， ∴∠APC＝90°，AC＝∴AC＝∴AB＝

＝

＝，

AB，

＝

，

∵∠APB＝∠ACB＝45°，AE⊥PB， ∴△APE是等腰直角三角形， ∴PE＝AE＝∴BE＝

AP＝

＝

，

＝

，

∴PB＝PE+BE＝+．

22．如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A，B两点，且与BC边交于点E，D为BE的下半圆弧的中点，连接AD交BC于F，AC＝FC． （1）求证：AC是⊙O的切线；

（2）已知圆的半径R＝5，EF＝3，求DF的长．

【分析】（1）连结OA、OD，如图，根据垂径定理的推理，由D为BE的下半圆弧的中点得到OD⊥BE，则∠D+∠DFO＝90°，再由AC＝FC得到∠CAF＝∠CFA，根据对顶角相等得∠CFA＝∠DFO，所以∠CAF＝∠DFO，加上∠OAD＝∠ODF，则∠OAD+∠CAF＝90°，于是根据切线的判定定理即可得到AC是⊙O的切线；

（2）由于圆的半径R＝5，EF＝3，则OF＝2，然后在Rt△ODF中利用勾股定理计算DF的长．

【解答】（1）证明：连结OA、OD，如图， ∵D为BE的下半圆弧的中点， ∴OD⊥BE，

∴∠D+∠DFO＝90°， ∵AC＝FC， ∴∠CAF＝∠CFA， ∵∠CFA＝∠DFO， ∴∠CAF＝∠DFO， 而OA＝OD，

∴∠OAD＝∠ODF，

∴∠OAD+∠CAF＝90°，即∠OAC＝90°， ∴OA⊥AC， ∴AC是⊙O的切线；

（2）解：∵圆的半径R＝5，EF＝3， ∴OF＝2，

在Rt△ODF中，∵OD＝5，OF＝2， ∴DF＝

＝

．

23．在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，P是坐标系内任意一点，点P到⊙O的距离SP的定义如下：若点P与圆心O重合，则SP为⊙O的半径长；若点P与圆心O不重合，作射线OP交⊙O于点A，则SP为线段AP的长度． 图1为点P在⊙O外的情形示意图．

（1）若点B（1，0），C（1，1），

，则SB＝ 0 ；SC＝ ﹣1 ；SD＝

；

（2）若直线y＝x+b上存在点M，使得SM＝2，求b的取值范围；

（3）已知点P，Q在x轴上，R为线段PQ上任意一点．若线段PQ上存在一点T，满足T在⊙O内且ST≥SR，直接写出满足条件的线段PQ长度的最大值． 【分析】（1）根据点的坐标和新定答即可；

（2）根据直线y＝x+b的特点，结合SM＝2，根据等腰直角三角形的性质解答；

（3）根据T在⊙O内，确定ST的范围，根据给出的条件、结合图形求出满足条件的线段

PQ长度的最大值．

【解答】解：（1）∵点B（1，0）， ∴SB＝0， ∵C（1，1）， ∴SC＝∵

∴SD＝， 故答案为：0；

﹣1；；

﹣1， ，

（2）设直线y＝x+b与分别与x轴、y轴交于F、E， 作OG⊥EF于G， ∵∠FEO＝45°， ∴OG＝GE，

当OG＝3时，GE＝3， 由勾股定理得，OE＝3

，

，

≤b≤3

；

此时直线的解析式为：y＝x+3

∴直线y＝x+b上存在点M，使得SM＝2，b的取值范围是﹣3（3）∵T在⊙O内， ∴ST≤1， ∵ST≥SR， ∴SR≤1，

∴线段PQ长度的最大值为1+2+1＝4．