一阶常微分方程解法总结

⑴、可分离变量的方程： ①、形如

dyf(x)g(y) dxdyf(x)dx，两边积分即可得到结果； g(y) 当g(y)0时，得到

当g(0)0时，则y(x)0也是方程的解。 例1.1、

dyxy dx(C为常数)

x2dyxdx，两边积分得到lnyC解：当y0时，有

2y所以yC1ex22(C1为非零常数且C1eC)

y0显然是原方程的解；

综上所述，原方程的解为yC1ex22(C1为常数)

②、形如M(x)N(y)dxP(x)Q(y)dy0

当P(x)N(y)0时，可有

M(x)Q(y)dxdy，两边积分可得结果； P(x)N(y)0时，xx0为原方程的解。 当N(y0)0时，yy0为原方程的解，当P(x0）例1.2、x(y1)dxy(x1)dy0 解：当(x1)(y1)0时，有

2222yxdydx两边积分得到 1y2x21(C0)；

lnx21lny21lnC22(C0)，所以有(x21)(y21)C当(x1)(y1)0时，也是原方程的解； 综上所述，原方程的解为(x1)(y1)C⑵可化为变量可分离方程的方程：

22(C为常数)。

dyyg() dxxydu解法：令u，则dyxduudx，代入得到xug(u)为变量可分离方程，得到

xdx①、形如

yf(u,x,C)0(C为常数)再把u代入得到f(,x,C)0(C为常数)。

xdy②、形如G(axby),(ab0)

dxadxdu1dua解法：令uaxby，则dy，代入得到G(u)为变量可分离方程，

bbdxb得到f(u,x,C)0(C为常数)再把u代入得到f(axby,x,C)0(C为常数)。

③、形如

dyaxb1yc1f(1) dxa2xb2yc2解法：1、

0a1a2b1b20，转化为

dyG(axby)，下同①； dx20、

a1a2uxx0axb1yc10的解为(x0,y0)，令 0，1b2a2xb2yc20vyy0b1a1b1vdvaub1vu)g(v)，下同（2）中①； 得到，f(1)f(vdua2ub2vua2b2u还有几类：yf(xy)dxxg(xy)dy0,uxy

x2dydyyyf(xy),vxy xf(2),w2 dxdxxxM(x,y)(xdxydy)N(x,y)(xdyydx)0,xrcos,yrsin

以上都可以化为变量可分离方程。 例2.1、

dyxy5 dxxy2解：令uxy2，则dydxdu，代入得到1duu7，有udu7dx dxu(C为常数)。

u27xC所以2例2.2、

2（xy2）(C为常数)，把u代入得到7xC2dy2xy1 dxx2y111xux2xy10dydv33解：由得到，令，有，代入得到

11x2y10dxduyvy33vdv2uvu，令tv，有dvtduudt，代入得到tudt2t，化简du12tuduu2v12vu2du12td(1tt2)ln(1tt2)dtC得到，，有lnuu22t2t22(1tt2)2所以有u(C为常数)，

C11tt2，(C1eC)，故代入得到x13C111y33111xx33y2,(C10)

（3）、一阶线性微分方程： 一般形式：a（1x)标准形式：

dya0(x)yh(x) dxdyP(x)yQ(x) dx解法：1、直接带公式：

P(x)dxP(x)dxP(x)dxQ(x)dxeP(x)dx(eP(x)dxQ(x)dxC) yCeee2、积分因子法：

y(x)P(x)dx1[(x)Q(x)dxC]，(x)e (x)3、IVP：

dyP(x)yQ(x)，y(x0)y0 dx(Q(t)ex0xx0xyex0xP(s)dsP(s)dsdty0)y0ex0tP(s)dsP(s)dsQ(t)ex0dt

xx0tdynyex(x1)n1 dxdynn解：化简方程为：yex(x1)n，则P(x),Q(x)ex(x1)n;

dxx1x1例3、(x1)代入公式得到(x)enP(x)dxex1dxxn(x1)-n

nnx所以，y(x)(x1)[(x1)e(x1)dxC](x1)(eC)(4)、恰当方程：

n(C为常数)

形如M(x,y)dxN(x,y)dy0,G(x,y),s.t.dGM(x,y)dxN(x,y)dy 解法：先判断是否是恰当方程：

如果有

M(x,y)N(x,y)恒成立，那么原方程是个恰当方程，找出一个 yxG(x,y),s.tG(x,y)G(x,y)M(X,y),N(x,y), xy有G(x,y)C,(C为常数)；

例4、(3x6xy)dx(6xy4y)dy0

解：由题意得到，M(x,y)3x6xy,N(x,y)6xy4y 由

22232223MN12xy得到，原方程是一个恰当方程； yxG(x,y)G(x,y)M(X,y),N(x,y) xy下面求一个G(x,y),s.t由

G(x,y)两边对y求偏M(X,y)3x26xy2得G(x,y)x33x2y2(y)，

x导得到

G6x2y(y)6x2y4y3，得到(y)4y3，有(y)y4， y3224故G(x,y)x3xyy，由dG0，得到

x33x2y2y4C,(C为常数)

(5)、积分因子法：

方程M(x,y)dxN(x,y)dy0,(x,y),s.t.MdxNdy0是一个恰当方程，那么称(x,y)是原方程的积分因子；积分因子不唯一。

MN(x)dxyx(x)，原方程有只与x有关的积分因子，且为(x,y)e①当且仅当，

N两边同乘以(x,y)，化为恰当方程，下同(4)。

MN(y)dyyx(y)，原方程有只与y有关的积分因子，且为(x,y)e②当且仅当，

M两边同乘以(x,y)，化为恰当方程，下同(4)。 例5.1、(e3y)dx2xydy0

x2解：由M(x,y)e3y,N(x,y)2xy得

x2MN6y2y4y，且有yxMN22yxxdxx2，原方程两边同乘x2，得到(x)，有(x,y)eNxx2(ex3y2)dx2x3ydy0,化为d((x22x2)exx3y2)0，得到解为

(x22x2)exx3y2C,(C为常数)

例5.2、ydx(xy)dy0

解:由题意得到，M(x,y)y,N(x,y)(xy)，有

33MN1(1)2 yxMN2dy(y)dy2yx(y)，有(x,y)e有eyy2，原方程两边同乘y2，得

Mydxxxy2(2y)dyd()0，得到原方程的解为： 到yyy2xy2C,(C为常数) y2(6)、贝努力方程： 形如

dyP(x)yQ(x)yn, dx1n解法：令uy同（3） 例6、

，有du(1n)ydy，代入得到

ndu(1n)P(x)u(1n)Q(x)，下dxdyy6xy2 dxx12解：令uy，有duydy，代入得到

du66ux，则P(x),Q(x)x， dxxxP(x)dxx2C666,(C为常数)，有(x)e把u代入得x，u(x)x[xxdxC]8x61x2C,(C为常数). 到y8x6(7)、一阶隐式微分方程：

一般形式：F(x,y,y)0，解不出y的称为一阶隐式微分方程。

下面介绍四种类型：

(1)yf(x,y) (2)xf(y,y) (3)F(x,y)0 (4)F(y,y)0

①、形如yf(x,一般解法：令pdy)， dxffdpdy，代入得到yf(x,p)，两边对x求导得到p，这是xpdxdx关于x，p的一阶线性微分方程，仿照(3)，

1、得出解为p(x,C),C为常数，那么原方程的通解为

yf(x,(x,C)),C为常数

2、得出解为x(p,C),C为常数，那么原方程的通解为

x(p,C),C为常数 yf((p,C),p)3、得出解为(x,p,C)0,C为常数，那么原方程的通解为

(x,p,C)0,C为常数 yf(x,p)②、形如xf(y,一般解法：令pdy) dx1ffdpdy，代入有xf(y,p)，两边对y求导，得到，此方

pypdydx程是一阶微分方程，可以按照以上(1)—(5)求出通解(y,p,C)0,C为常数，那么原方程的通解为

(y,p,C)0,C为常数 xf(y,p)③、形如F(x,y)0

一般解法：设x(t),(t为参数)，dyydx(t)(t)dt，两边积分得到

y(t)y(t)(t)dtC,C为常数，于是有原方程的通解为

y(t)(t)dtC,C为常数 x(t)④、形如F(y,y)0

一般解法：设y(t),(t为参数)，由关系式dyydx得(t)dt(t)dx，有

y(t)dx(t)(t)dtC，C为常数，于是有 dt，两边积分得到x(t)(t)(t)dtCx，C为常数 (t)y(t)例7.1 xy1y 解：令py，得到x31p113(1p)dp()，两边对y求导，得到， 334ppppdy有dy(2323yC,C为常数，于是通解为 )dp，得到232p2ppp1pxp3，C为常数 23yC2p2p例7.2 yye 解：令py，得到

2yyp2ep，两边对x求导，得到p(p22p)epdp，有 dxdx(p2)epdp，两边积分得到x(p1)epC,C为常数，于是通解为

x(p1)epC,C为常数 2pype22例7.3 xy1

解：设xcostcos2t1dt，所以 ,有dyydxsint(sint)dt2ysintysin2ttC,C为常数 42于是通解为

sin2ttyC,C为常数 42xcost例7.4 y(1y)1

22ysintdysint1dtdtd(tant)，所以 解：设1,有dx22yycostsintcostcostxtantC,C为常数

于是通解为

tCxtan1,C为常数 ycost(8)、里卡蒂方程： 一般形式：

dyP(x)y2Q(x)yR(x) dx1dydy01dz，有，代入原方2zdxdxzdxdy01dz11程得到 2P(x)(y0)2Q(x)(y0)R(x)，

dxzdxzzdz化简得到 (2P(x)y0Q(x))zP(x)0，为一阶线性微分方程，解出

dx一般解法：先找出一个特解y0(x)，那么令yy0z(x)(x,C),C为常数

那么原方程的通解为

yy0例8 xy(xy2)0 解：我们可以找到一个特解y0令y221,C为常数

(x,C)1x，验证：y01，代入满足原方程。 x21111dz11dz112，代入有x(22，y22)(x()2)20，

xzxzdxxzdxxz21xCdz2dxz1，所以有z(x)2[exdxC]2,C为常数 化简得到，

3xdxxxdxe所以原方程的解为

y111,C为常数 或 y

xxxC3x2