上海市金山区九年级4月质量检测(二模)数学试题含答案

2015第二学期金山区初三教学质量检测

数学试卷 .4

（满分:150分, 完成时间:100分钟）

考生注意:

1.本试卷含三个大题, 共25题.答题时, 考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答, 在草稿纸、本调研卷上答题一律无效.

2.除第一、二大题外,其余各题如无特别说明, 都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤.

一、选择题:（本大题共6题, 每题4分, 满分24分）

【每小题只有一个正确选项, 在答题纸相应题号的选项上用2B铅笔正确填涂】 1. 在下列二次根式中, 与2是同类二次根式的是（ ） A. 2a; B. 4; C. 8;

D. 12. 2. 如果一次函数ykxb的图象经过第一象限, 且与y轴负半轴相交, 那么（ ） A. k0, b0; B. k0, b0; C. k0, b0; D. k0, b0.

3. 如果关于x的方程mx2mx10有两个相等的实数根, 那么m等于（ ） A. 4或0; B.

1; C. 4; D. 4. 44. 一组数据1、2、3、4、5、15的平均数和中位数分别是（ ） A. 5、5; B. 5、4; C. 5、3.5; D. 5、3. 5. 下列图形中, 既是轴对称图形, 又是中心对称图形的是（ ） A. 等边三角形; B. 等腰梯形; C. 平行四边形; D. 圆. 6. 下列命题中, 真命题是（ ）

A.两个无理数相加的和一定是无理数; B. 三角形的三条中线一定交于一点; C.菱形的对角线一定相等; D. 同圆中相等的弦所对的弧一定相等. 二、填空题（本大题共12题, 每题4分, 满分48分） 【在答题纸相应题号后的空格内直接填写答案】 7. 计算:32 ▲ . 228. 分解因式:x9y ▲ . 人数 6 8 9. 方程2xx的根是 ▲ . 4 1 / 13

2 2 年龄

12 13 14 15 16 第13题图

10. 函数y1的定义域是 ▲ . 2x11. 把直线yx2向上平移3个单位, 得到的直线表达式是 ▲ .

12. 如果抛物线yax22a2x1的对称轴是直线x1, 那么实数a ▲ .

13. 某校为了发展校园足球运动, 组建了校足球队, 队员年龄分布如图所示, 则这些队员年龄的众数是

▲ .

14. 在□ABCD中, 对角线AC、BD交于点O, 设ABm, ADn, 如果

用向量

m、n表示向量AO, 那么AO= ▲ .

15. 如图, OA是⊙O的半径, BC是⊙O的弦, OA⊥BC, 垂足为D, 如果

DA=2, 那么BC= ▲ .

16. 如图, 在2×2的正方形网格中四个小正方形的顶点叫格点, 已经取定

和B, 在余下的格点中任取一点C, 使△ABC为直角三角形的概率．．▲ .

17. 已知AB、AC分别是同一个圆的内接正方形和内接正六边形的边,

∠BAC的度数是 ▲ 度.

18. 如图，在△ABC中, AB＝AC=5, BC＝8, 将

△ABC绕着点B旋转得△A＇BC＇, 点A的对应点A＇落在边BC上, 那么点C和点 C＇之间的距离等

A 于 ▲ .

第18题图 第15题图

OD=3, 格点A是

A B

那么

第16题图

C B 三、解答题（本大题共7题, 满分78分）

【将下列各题的解答过程, 做在答题纸的相应位置上】 19.（本题满分10分）

计算:sin45

20.（本题满分10分）

解方程组: 

o2110()122(31)1cot30o

2.

x2y3 22xxy2y0.

2 / 13

21.（本题满分10分, 每小题满分各５分） 在平面直角坐标系xOy中, O为原点, 点A点P（1, m）（m>0）和点Q关于x轴对称. （1）求证:直线OP∥直线AQ;

（2）过点P作PB∥x轴, 与直线AQ交于点

AP⊥BO, 求点P的坐标.

22.（本题满分10分, 每小题满分各5分） 如图, 在Rt△ABC中, ∠C=90º, 斜边AB的垂线分别和AB、BC交于点E和点D, 已知CD = 2∶3. （1）求∠ADC的度数;

（2）利用已知条件和第（1）小题的结论求

C D B A E 直平分BD∶

5 4 3 2 1 -2 -1 O -1 -2 1 2 3 4 5 x B, 如果

y （2, 0）,

tan15o的值（结果保留根号）.

23.（本题满分12分, 每小题满分各6分）

如图, BD是△ABC的角平分线, 点E、F分别在BC、AB∥AB, ∠DEF=∠A. （1）求证: BE=AF ;

（2）设BD与EF交于点M, 联结AE, 交BD于点N, 求证: BN·MD=BD·ND.

B

E

C

F D

M A 上, 且DE

3 / 13

24.（本题满分12分, 每小题满分各4分）

在平面直角坐标系xOy中, 抛物线yx2bxc与x轴相交于点A和点B, 已知点A的坐标为（1, 0）, 与y轴相交于点C（0, 3）, 抛物线的顶点为点P. （1）求这条抛物线的解析式, 并写出顶点P的坐标;

（2）如果点D在此抛物线上, DF⊥x轴于点F, DF与直线PB相交于点E, 设点D的横坐标为t（t3）, 且DE:EF=2:1, 求点D的坐标; （3）在第（2）小题的条件下, 求证: ∠DPE=∠BDE.

25.（本题满分14分,第（1）小题满分4分,第（2）小题满分4分,第（3）小题满分6分） 如图, 已知在Rt△ABC中, ∠ACB=90°, AB=5, sinA-2 -1 O -1 -2 1 2 3 4 5 6 x 6 5 4 3 2 1 y 4, P是边BC上的一点, PE⊥AB, 垂足为E, 5以点P为圆心, PC为半径的圆与射线PE相交于点Q, 线段CQ与边AB交于点D. （1）求AD的长;

（2）设CP=x, △PCQ的面积为y, 求y关于x的函数解析式, 并写出定义域;

（3）过点C作CF⊥AB, 垂足为F, 联结PF、QF, 如果△PQF是以PF为腰的等腰三角形, 求CP的长.

P B E D Q B 4 / 13

C

C

A A

金山区中考数学二模卷

一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）

1．C 【解析】(1.1.1/同类二次根式的概念)对于A，其中含有字母a,故与对于B，2不是同类二次根式；

42，故与2不是同类二次根式；对于C，822，与2是同类二次根式；对

2不是同类二次根式；故选C.

于D，1223，与2．B 【解析】(1.1.4/一次函数的图象与性质)一次函数ykxb的图象经过第一象限, 且与y轴负半轴相交,则b0，且k0.故选B.

3．C 【解析】(1.1.2/一元二次方程根的判别式)关于x的方程mx2mx10有两个相等的实数根等价于m0m4m102，解得m=4.

4．C 【解析】(1.1.5/平均数与中位数)数据1、2、3、4、5、15的中位数为

343.5，平均数为212345155，故此组数据平均数和中位数分别是5、3.5.

65．D 【解析】(1.1.3/轴对称与中心对称图形)等边三角形是轴对称图形, 但不是中心对称图形；等腰梯形是轴对称图形, 但不是中心对称图形；平行四边形是中心对称图形, 但不是轴对称图形；圆既是轴对称图形, 又是中心对称图形，故选D.

6．B 【解析】(1.1.3/命题的真假，无理数的概念，三角形中线的性质，菱形的性质，圆的有关性质)对于A，两个无理数如果是相反数，则它们相加的和为0，不是无理数，为假命题；对于B，三角形的三条中线一定交于一点，为真命题；对于C，菱形的对角线不一

定相等；对于D，圆中弦所对的弧有两个，分别是优弧和劣弧，且优弧≥劣弧，故同圆中相等的弦所对的弧不一定相等，为假命题；故答案选B.

二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）

11127．9 【解析】（1.1.1/指数的运算)32.

3922228.x3yx3y 【解析】（1.1.1/分解因式)x9yx(3y)

x3yx3y.

9．x1 【解析】（1.1.2/无理方程的求解)方程2xx2x≥0x≤2,故22xxx1或2x1.

5 / 13

10．x2 【解析】（1.1.4/函数的定义域)函数y1x2. 2x02x有意义，则，即

11．yx5 【解析】（1.1.4/一次函数图像的平移)直线yx2向上平移3个单位, 得到的直线表达式为

yx23，即yx5.

12．1 【解析】（1.1.4/二次函数图像的性质)抛物线yax22a2x1的对称轴是直线

2a2x1(a0),故实数a=1.

2a13．14 【解析】（1.1.5/条形统计图，众数)由队员年龄的条形分布图知，年龄14的人数 有8个，所占比重最大，故这些队员年龄的众数是14. 14．

11mn 【解析】（1.1.3/向量的线性运算)因为在□ABCD中, 对角线AC、BD交于点O,故22AO1111AC，ACABADmn，故AOACmn 222.215．8 【解析】（1.1.3/解直角三角形，垂径定理)联结OB，, OA⊥BC, 垂足为D,故由垂径定理知D

为

BC中点，△OBD为直角三角形，OB=OA=OD+DA=5,由勾股定理知，

BDOB2OD24，BC=2BD=8.

HJS2A

第15题图

16．

47 【解析】（1.1.5/简单随机事件的概率)在余下的7个格点中，要使△ABC为直角三角形,点C．．

C2、C3、C4所示，故所求概率P可取4个位置的点，如图中C1、4. 7HJS3A

第16题图

17．15或者105 【解析】（1.1.3/圆的有关性质，多边形)AB、AC分别是同一个圆的内接正方形和内接

正六边形的边，如图所示，

6 / 13

sxc34

图a 第17题图

sxc35 图b

36060， 对于图a,AOC是内接正六边形一边所对的圆心角，其度数为636090， AOB是内接正方形一边所对的圆心角，其度数为4圆周角∠BAC与圆心角COB所对的弧均为BC， 故∠BAC=

11COB(AOBAOC)15； 2236060， 对于图b,AOC是内接正六边形一边所对的圆心角，其度数为636090， AOB是内接正方形一边所对的圆心角，其度数为4故∠BOC=AOC+AOB=150，又圆心角∠BAC所对的弧与圆心角COB所对的优弧相同，故∠BAC1(360BOC)105；综上所述，∠BAC的度数是15或105. 2 【解析】（1.1.3,4.1/解直角三角形，图形的旋转)过C＇作C＇DBC,AEBC,交BC

18．8105于点D，E，因为 AB＝AC=5,BC＝8,故在Rt△ABE中，AE=AB2BE23，设

43ABE，则cos,sin，又△A＇BC＇是由等腰△ABC绕着点B顺时针旋转得到，

55故BC＇=BC=8,ABCA'BC'，

432324,C'DBC'sin8BD=BC＇cos8，

5555则CD=BC-BD=

8810,在Rt△C＇DC中，CC'CD2C'D255 .

7 / 13

HJS4A

第18题图

三．解答题（本大题共7题，满分78分） 19． （本题满分10分）

【解】（1.1.1/本题考查实数的运算)

22313………………………………………………………………5分 原式=2312233113………………………………………………………2分 = 123131=

11333……………………………………………………………………1分 23……………………………………………………………………………………2分 2= 20．（本题满分10分）

【解】（1.1.2/本题考查二元二次方程组的求解) 方法1： 解：①x2y3 22xxy2y0②

由方程①，得： x32y③………………………………………………………………1分 把③代入②，得：32y32yy2y0……………………………………1分

22 2整理，得： 4y15y90………………………………………………………………2分 解这个方程，得：y13，y23………………………………………………………2分 48 / 13

把y133，y23代入③，得： x1，x23…………………………………2分

243xx2312原方程组的解是：，．………………………………………………2分

y332y14方法2： 解：①x2y3 22xxy2y0②

由方程②，得： x2y0或者xy0…………………………………………………2分

原方程可以化成两个方程组：x2y3x2y3和………………………………2分

x2y0xy03xx2312分别解这两个方程组，得原方程组的解是：，．……………………6分

y3y231421．（本题满分10分, 每小题满分各５分）

【解】（1.1.3，3.3/本题考查两直线平行的判定，两直线垂直，菱形的判定及性质） （1）设直线OP和直线AQ的解析式分别为yk1x和yk2xb2．

根据题意，得：点Q的坐标为（1，－m）……………………………………………1分

k2b2mk1m，，………………………………………………………………2分

2k2+b20k2m解得：…………………………………………………………………………1分

b2m2∵k1k2m，∴直线OP∥直线AQ…………………………………………………1分 （2）∵OP∥AQ，PB∥OA，AP⊥BO

∴四边形POAQ是菱形，………………………………………………………………1分 ∴PO=AO，………………………………………………………………………………1分

2∴1m2，m3．…………………………………………………………1分

∵m0，∴m3，∴点P的坐标是1,3．…………………………………2分 22．（本题满分10分, 每小题满分各5分） 【解】（1.1.3/本题考查垂直平分线，解直角三角形)

9 / 13

（1）联结AD． 设BD2k，CD3k．…………………………………………………………………1分

∵DE垂直平分AB，∴ADBD2k．…………………………………………………1分 在Rt△ACD中，∠C=90º，∴cosADCCD3k3，………………………2分 AD2k2∴ADC30°．………………………………………………………………………………1分

（2）∵AD=BD，∴B=DAB ∵ADC30°，B+DABADC，∴B=DAB15°．……………………1分 在Rt△ACD中，∠C=90º，∴AC在Rt△ABC中，∠C=90º，∴tanBAD2CD2k，…………………………………1分 ACk23，………………………2分 BC3k2k∴tan1523．…………………………………………………………………………1分

HJS6A

第22题图

23．（本题满分12分, 每小题满分各6分）

【证明】（1.1.3，2.2/本题考查平行四边形的判定与性质，两直线平行的性质) （1）∵BD是△ABC的角平分线，∴ ∠ABD= ∠CBD．

∵DE∥AB，∴∠ABD= ∠BDE，∴∠CBD = ∠BDE，

∴DE = BE． …………………………………………………………………………2分

∵DE∥AB，∴∠DEF= ∠BFE，

∵∠DEF= ∠A，∴∠A= ∠BFE， ∴AD∥EF，

∴四边形ADEF是平行四边形，∴AF=DE，………………………………………2分 ∴BE=AF．……………………………………………………………………………2分 （2）∵DE∥AB，∴

BNAB．…………………………………………………2分 NDDEBDAB∵EF∥AC，∴．……………………………………………………2分 MDAFBNBD∵AF=DE，∴,∴BNMDBDND．…………………………2分 NDMD24．（本题满分12分, 每小题满分各4分）

10 / 13

【解】（1.1.4/本题考查抛物线的解析式，直线的解析式，三角形相似的判定及性质)

1bc0（1）根据题意，得，…………………………………………………1分

c3 ∴b4，c3．…………………………………………………………………1分

∴抛物线解析式为yx4x3．……………………………………………1分

顶点P的坐标是2,1．………………………………………………………1分

2 （2）在yx4x3中令y0，得：x24x30，解得：x11，x23．

2 ∴点B的坐标是3,0．

设直线PB的解析式是ykxb，

根据题意，得：2kb1，解得：k1，b3．

3kb0 ∴直线PB的解析式为yx3．…………………………………………………1分 ∴点D的坐标为t,t24t3，点E的坐标为t,t3．……………………1分

DE=t25t6，EF=t3，

∴t25t6=2t3，解得：t13，t24．…………………………………1分 ∵t3，∴t4

∴点D的坐标为（4，3）……………………………………………………………1分

（3）证明：由（2）得：点E的坐标为（4，1）， ∴DE2，BE2，PE22， ∴DEBE．………………………2分 PEDE∵DEBPED，∴△BDE∽△DPE，∴BDEDPE．……………………2分 25. （本题满分14分,第（1）小题满分4分,第（2）小题满分4分,第（3）小题满分6分） 【解】（1.1.3，1.1.4/本题考查解直角三角形，函数的解析式及定义域，等腰三角形的性质) （1）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BCABsinA4，∴AC3，…………1分

∵PCPQ，∴PCQPQC．…………………………………………………1分 ∵QED90°，∴QDEPQC90°． ∵PCQACD=90°，∴QDEACD．

11 / 13

∵QDEADC，∴ADCACD，∴ADAC3．…………………2分 （2）作QHBC，垂足为点H．

∵PEBACB=90°，∴BPEABC=90°，ABCA=90°， ∴QPHA，∴sinQPH∵PQPCx，∴QH∴y4．………………………………………………1分 54x，………………………………………………………1分 5142xx，即yx2，…………………………………………………………1分 2553定义域为≤x≤4．……………………………………………………………………1分

2HJS9A 第25题图 （3）解法一： 在Rt△PBE中，PEB90°，BP4x，sinBPE4， 5413123∴BE4xx，PE4xx,…………………………1分

5555554812∴EFx，EQx．………………………………………………………1分

555721441234∴PF， xxx2x25255551241621921448QFxxxx．……………………………1分

555525252222如果PFPQ，那么x272144xx，解得x2．………………………………1分 252572144162192144， xxx252552525如果PFQF，那么x212 / 13

24． ………………………………………………1分 1124综上所述，如果△PQF是以PF为腰的等腰三角形, CP的长为2或.……………………1分

114解法二：在Rt△PBE中，PEB90°，BP4x，sinBPE， 5413123∴BE4xx，PE4xx 5555554812∴EFx，EQx．………………………………………………………1分

555解得x10（不合题意，舍去），x2如果PFPQ，那么PFPC,∴PCFPFC，BPFB，

∴PFPB，∴CPPB2．,……………………………………………………………2分 如果PFFQ，那么PEEQ,∴解得x123812xx， 55552424，∴CP．…………………………………………………………………2分 111124综上所述，如果△PQF是以PF为腰的等腰三角形, CP的长为2或.,…………………1分

11

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