极坐标

第二节 平面直角坐标系和极坐标

为了需要，复习一下平面坐标系（直角坐标系和极坐标） 一 平面直角坐标系

1．平面直角坐标系的建立

为了确定平面上点的位置：

（1）在平面上选定两条互相垂直的直线，并指定正方向（用箭头表示）； （2）以两直线的交点O作为原点；

（3）选取任意长的线段作为两直线的公共单位长度；

这样，我们就说在平面上建立了一个直角坐标系（图1-2-1）

图1-2-1

这两条互相垂直的直线叫做坐标轴，习惯上把其中的一条放在水平的位置上，从左到右的方向是正方向，这条轴叫做横坐标轴，简称为横轴或x轴，与x轴垂直的一条叫做纵坐标轴，简称为纵轴或y轴，从下到上的方向是它的正方向。

2. 平面上点的坐标

建立了直角坐标系后，平面上的任意一点P的位置就可以确定了，方法是这样的：由P点分别作y轴和x轴的平行线，交点分别是M和N,设x轴上的有向线段OM的数量是a，y轴上有向线段ON的数量是b，我们称a是P点的横坐标，b是P点的纵坐标，写成形式（a，b），这样的一对有序实数（a，b）叫做P点的坐标。

反过来，易知任意一对实数（a，b），都可以确定平面上的一个点.

由上面的分析，可以得到下面的结论：在给定的直角坐标系下，对于平面上的任意一点P，我们可以得到唯一的有序实数对（a，b）来和它对应；反过来，对于任何有序实数对，在平面上就能确定唯一的点，这个点的坐标是（a，b）。就是说，平面上的点和有序实数对（a，b）之间建立了一一对应得关系。

我们在代数里已经知道坐标轴把平面分成了四个部分，每一部分是一个象限。根据数轴上

1

有向线段的数量，可以理解第I象限内的点的坐标的符号是（+，+），第II象限内的是（—，+），

第III象限内的是（—，—），第IV象限内的是（+，—）。坐标轴上的点不属于任何象限，在x轴的正方向上的点，坐标的符号是（+，0）；负方向上的点的坐标符号是（—，0）。同理， 在y轴的正方向上的点，坐标的符号是（0，+）；负方向上的点的坐标符号是（0，—）。

二 极坐标

极坐标是另外一种重要的坐标法，有些几何轨迹题如果用极坐标法处理，它的方程比用直角坐标系来得简单，在数学分析中经常用到。

在平面的直角坐标系中，是以一对实数来确定平面上一点的位置，现在叙述另一种坐标，它对平面上的一点的位置虽然也是用有序实数对来确定，但这一对实数中，一个是表示距离，而另一个则是指示方向。一般来说，取一个定点O，称为极点，作一水平射线Ox，称为极轴，在Ox上规定单位长度，这样就组成了一个极坐标系。平面上一点P的位置，可以由OP的长度及其∠xOP的大小决定，这种确定一点位置的方法，叫做极坐标法。具体地说，假设平面上有点P，连接OP，今设OP=，又∠xOP=.

和的值确定了，则P点的位置就确定了。叫做P点的极半径，叫做P点的极角，(,)叫做P点的极坐标（规定写在前，写在后）。显然，每一对实数(,)决定平面上一个点的位置。 今以的值可为任何的正的或负的值（依逆时针方向转动所成的角规定为正，顺则为负），又为处理上便利起见，也可以是负的值，如图1-2-2，OC为角的终边，规定在OC上度量

的数为正，而在OC的相反方向，即OC的延长线上度量的数为负，如图1-2-2中，若点P的坐标为(,)，则点P’的坐标为(,)。

图1-2-2

，的值照上面这样扩大之后，则在极坐标系中，一点的坐标有无穷的实数对。例如，在图1-2-2中，可以看到，点P的坐标一般写为(,)，也可以写成(,2)，(,4)

，(,6)，又

P’的坐标可以是(,),(,2).也可以是

(,),(,3).

2

图1-2-3

极坐标与直角坐标系的关系如图1-2-3所示，将极坐标的极点O作为直角坐标系的原点，将极坐标的极轴作为直角坐标系x轴的正半轴。如果点P在直角坐标系下的坐标为（x，y），在极坐标系下的坐标为(,), 则有下列关系成立：

cos即

xsiny

xcos

另外还有下式成立：

ysin

2x2y2,tany. x例1.2 给出极坐标系中点P=（2，解： 由上面的讨论知：

/3）的直角坐标。

xcos2cosysin2sin331

3故点P的直角坐标为（1，3）.

极坐标方程的形式为F(,)0. 在极坐标里，从

，的每一组对应的值

(1,1)(2,2)作为点的坐标，并且标出这些点，然后用平滑的曲线依次连结这些点，

所得到的曲线就称为这个极坐标方程的曲线。反过来，称这个方程为这个曲线的极坐标方程。

例1.3 试作曲线1.

3

显然1表示的是一条直线。 例1.4试作曲线2.

显然2表示的是一个以2为半径的圆周。

例1.5试给出曲线2cos在直角坐标系下的方程. 解 因为cos即

x，故曲线2cos可以写为：2x

22x

又

2x2y2，

故有：

x2y22x

即：

(x1)2y21

显然该方程表示的是以（1，0）为圆心，以1为半径的圆周。

习 题

4

1. 三角形三个顶点的坐标如下： （a）（8，4），（0，-4），（2，4）； （b）（3，5），（3，10），（0，2.5）；

（c）（2，0），（-1，3），（-1，-3）.

求作这些三角形.

2. 设a=1，b=2，求作点（a，b），（b，a），（-a，b），（b，-a），（-b，a），（a，-b），（-a，-b）和（-b，-a）.

3. 菱形每边长为5单位，它有一条对角线长为6个单位，如果把菱形的二对角线放在二坐标轴上，求它的各顶点的坐标. 4. 已知点M（3，2），作它关于横轴、纵轴、原点的对称点，求这些点的坐标. 5. 描出下列各点，它们的极坐标是： (4,2),(6,22),(2,),(6,0),(1,). 336. 化下列各点的极坐标为直角坐标：

(1,2),(2,),(3,). 2637. 化下列各点的直角坐标为极坐标：

11(2,0),(,),(0,4),(3,1),(3,5).

228. 极角6的点的轨迹是什么？写出经过极点的直线的极坐标方程.

9. 曲线的极坐标方程是：

（1）sin10; （2）4sin2； 求曲线的直角坐标方程.

第三节 空间直角坐标系

在平面几何中通过平面的解析几何，将数与形紧密地连接起来，用代数的方法研究平面几何，起到了非常良好的效果．本章将用类比法，用代数的方法研究立体几何．为此必须建立类似于平面的直角坐标系的概念．

在我们生活的三维空间中，取一个平面将之分割为两部分，在此平面上建立一个直角坐标系xoy，这里x表示x轴，y表示y轴．O表示x，y轴的共同原点．过o作平面xoy的垂线（o为垂足），作为新的数轴，叫做z轴．并与x,y轴拥有相同的长度单位，这样我们就得到空间中两两互相垂直的具有相同原点和相同单位长度的三个数轴：x轴，y轴, z轴，这就形成了我们所谓的空间直角坐标系．相同的原点O叫做空间直角坐标系的原点．

从立体几何可以知道，x轴与z轴也唯一的决定了一个平面，称为xoz平面．同样y轴与z轴也唯一的决定了一个平面,叫做yoz平面．这三个平面都叫做坐标面．这三个轴都叫做坐标轴(如图1-3-1)．显然三个坐标面将空间分成八个部分每个部分叫做卦限，其中，含三个坐标轴的正半轴的卦限叫做第一卦限，记为I．其余依次叫做第二卦限，第三卦限，第四卦限，第五卦限，等等．记为II，III，IV，V等， 如图1-3-1．

5

图1-3-1

另外我们注意到，在直角坐标系的形成过程中，我们实际上可以看到，z轴是由y轴绕原点逆时针旋转

而得到的．而此时过原点O且垂直于xoy面的z轴，虽然仅有一条，但是z轴2的正方向却有两种选择．如图1-3-2的选择，称为右手系．另外一种选择得到的坐标系叫做左

图1-3-2

手系．不失一般性我们以后仅考虑右手系．所以我们的空间中就多了直角坐标系．确定了坐标系之后，对于空间中的任意一点M，作xoy面的垂线仅一条，仅交xoy面于一点M，则对应于xoy平面的坐标也仅有一个不妨记为x,y，这时MM的距离也是一定的，若当从点M指向点M时，与z轴正方向相同，则记为zMM，否则认为是负的，记为zMM ．所以任意一点M就有唯一的三个数x,y,z．反之任意给定三个数x,y,z，当x,y作为面xoy的点时，根据z的正负，以上面的逆推可以唯一得到空间一点，因此空间的点与有序数组x,y,z建立了这样的一一对应关系．称x,y,z分别为点M的横坐标，纵坐标，竖坐标．常记M点为

x,y,z或M(x,y,z)．

推论1 过点M(x,y,z)分别垂直于x,y,z轴的平面与三个坐标轴的交点坐标也分别是

(x,0,0),0,y,0,0,0,z．

推论2 坐标面上的：xoy面上点的坐标为x,y,0,xoz面上点的坐标为x,0,z，yoz面上点的坐标为0,y,z．

6

推论３ 坐标轴上点的坐标分别是：x轴上点的坐标是x,0,0，y轴上点的坐标是0,y,0，

z轴上点的坐标是0,0,z

图1-3-3

设空间中两个点M1(x1,y1,z1)和M2(x2,y2,z2)，则两点M1M2的距离为

(x1x2)2(y1y2)2(z1z2)2．事实上分别过M1,M2点作三个坐标轴的垂直平面，这些平面围成了一个以M1M2为对角线的长方体（如图1-3-3）．长方体的三个棱长分别是

x1x2，y1y2，z1z2，由长方体对角线的长度公式知：

M1M2(x1x2)2(y1y2)2(z1z2)2

这就是空间中两点的距离公式．

在实数轴上，实数x表示一个点．在平面中，两个数的数组x,y表示一个点，在三维空间中三个数的数组x,y,z表示一个点．一般的，n个有序数组x1,x2,x3,...,xn表示n维空间的点，并用R表示n维空间．特别地，RR为实数轴．R表示平面的二维空间．R就是后面主要讨论的三维空间．

n123习 题

1. 在一个空间直角坐标系中画出下列各点：

P（1，3，4），Q（-1，1，3），M（-1，-2，-3）.

2. 给定空间直角坐标系，设点M的坐标为（x，y，z），求它分别对于xOy平面，x轴，y轴，

z轴和原点的对称点的坐标.

3. 已知三角形ABC中顶点A，B，C的坐标分别为A（1，0，2），B（0，3，-1），C（2，-1，

3），求三角形三边的长度.

7

第四节 向量及其应用

我们知道三维空间R3的点，对应一个有序数组x,y,z．反之亦然．从另外一个角度来看，对任意一个这样的有序数组x,y,z，唯一地表示一个以原点为起点，点x,y,z为终点的有向序数组x,y,z，所以有向线段与点以及数组之间建立了一一对应．

在力学等学科中，常用有向线段表示一个既有大小又有方向的量，如力，速度等等．我们称既有大小又有方向的量叫做向量．因此，我们也把形如x,y,z的有序数组称为R3的向量．为了与点的坐标相区别，我们常把向量记为x,y,z．称为向量的坐标表示．并且把由从原点到点x,y,z所确定的有向线段，也叫做向量，x,y,z叫做向量的分量．同时，把空间R3中某向量平移后所得到的有向线段认为是同一个向量．所以若空间中有起点A(x1,y1,z1)到终点线段．反过来，任意一个以原点为起点，x,y,z为终点的有向线段，则可以唯一地对应一个有

Bx2,y2,z2所得到的有向线段，可以看成是一个向量，此向量经过平移后将点A置于原点，易得此向量可表示为x2x1,y2y1,z2z1，通常记为

ABx2x1,y2y1,z2z1

特别，当A为原点0,0,0时，即OBx2,y2,z2.当已知一向量的起点和终点时，一般用上方带有箭符“”的小写字母表示，如a,b,等.

一般情况下，A(x1,y1,z1)对应一个向量OA，Bx2,y2,z2对应一个向量OB．，这时， 向量AB 即是由OA，OB所决定，并令AB＝OB－OA．因为AB的分量由OB的分量相应地减去OA的分量．即得OB与OA的差．特别地．原点O所对应的向量，称为零向量，记为0．那么对于两个向量的差OB0OBx2,y2,z2，记为OB，显然OB所表示的向量与

OB的关于原点对称．再进一步地有，

OA－OB＝x1,y1,z1x2,y2,z2x1x2,y1y2,z1z2，

可以证明， BA＝OA－OB所对应的向量在OA，OB所确定的平面上．并且与以OA，OB为相邻边的平行四边形OBCA的对角线OC所确定的向量OC是同一个向量．如图1-4-1

图1-4-1

因此我们有理由称OA－OB为OA加上OB的和．从而有

OA＋OB＝OA－OB＝OA－（－OB）

8

＝x1x2,y1y2,z1z2．

即两向量相加等于对应分量相加． 向量的加法满足交换律，结合律．即

1. 对于任意的向量a,b，有abba；

2. 对于任意的向量a,b,c，有abcabc．

特别地，设点Px,y,z，那么OPOP(x,y,z)(x,y,z)(2x,2y,2z)．相似地，

OPOPOP(x,y,z)(x,y,z)(x,y,z)(3x,3y,3z)．

若记OPOP2OP，那么

2OP(2x,2y,2z)，

OPOPOP3OP，

那么3OP(3x,3y,3z)．

所以我们可以定义向量与数的乘积如下：

定义1.3 设c为任意实数，cOP即是c分别乘以OP的每一个分量，即cOP(cx,cy,cz)． 从而可以很容易证明：c(OAOB)cOAcOB；对c1,c2为实数有：

(c1c2)OPc1OPc2OP； (c1c2)OPc1(c2OP)；

(1)OPOP．

若用OP表示有向线段OP的长度，那么OP＝离．从而可得，cOPc|OP|,事实上，

x2y2z2．即为点P到原点的距

OP(x,y,z),cOP(cx,cy,cz)．

cOP(cx)2(cy)2(cz)2|c|x2y2z2，

显然成立．

cOP的几何意义如下：如c0，那么cOP是以原点O为起点，点C(cx,cy,cz)为终点的

有向线段, 而此是由OP线段或OP延长线上将OP扩大c倍后得到的．当c0时，cOP＝

|c||OP|＝－(c|OP|)．显然是|c|OP的关于原点对称的向量．当c0时，cOP就是零向

量．如上所示，对于两个向量OA、OB具有同一起点O，他们的关系有共线；或者由OA和OB能唯一地确定一个平面．在此平面上，以OA、OB为相邻的两边唯一地决定了一个平行四边形OBCA．如图1-4-2．

9

图1-4-2

如果OA垂直OB记为OAOB，我们有下面的结论：

定理1.3 OAOB的充分必要条件是x1x2y1y2z1z20．

证明 如果OAOB，那么由OA、OB为相邻的两边所确定的平行四边形为矩形． 所以对角线向量OAOBAB与OAOBOC的长度是相同的．即|BA||OC|，而

BA＝x1x2,y1y2,z1z2， OCx1x2,y1y2,z1z2．

(x1x2)2(y1y2)2(z1z2)2222

|BA||OC|(x1x2)(y1y2)(z1z2)．22展开之后，再化简得到：x1x2y1y2z1z20．反之很容易得到OC|BA|，即平行四边形两对角线相等．所以此平行四边形为矩形．从而OAOB．

一般情况下，设OA，OB的夹角为，有时也记为＜OA，OB＞．如02，过B作OA的垂线交OA于D点（如图1-4-3），那么|OD||OB|cos，OD|OB|cosOA|OA|，

(OA0)．注意到DBOBOD，即

ODx2y2z2cosx1y1z1222222x1,y1,z1．

图1-4-3

若令c

x2y2z2cosx1y1z1222222，则

DBx2cx1,y2cy1,z2cz1， ODcx1,cy1,cz1，

由定理知，

(x2cx1)cx1(y2cy1)cy1(z2cz1)cz10，

故

10

x1x2cx1y1y2cy1z1z2cz10，

即

222x1x2y1y2z1z2c(x1y1z1)cosx1y1z1OAOBcos．为此，为了方便起见，定义OA·OB为此对应分量乘积之和,即OA·OB＝

222222x2y2z2

222x1x2y1y2z1z2，这种运算被称为两个向量OA与OB的数量积，由此可得：

cosOA,OBcosOAOBOAOB．

OB＝０． 所以有推论：OAOB的充分必要条件是OA·

如果OA与OB的夹角为零时，称OA平行于OB，记为OA∥OB,所以OA∥OB的充分必要条件是|OAOB|OA||OB．

从数量积的定义可以看出它在物理上的应用．一个物体在常力F的作用下，沿直线从点M1移动到点M2，则力F所做的功为

WFM1M2cosFM1M2，

其中为F与直线的夹角．M1M2表示位移．

另外，数量积还有满足交换律、分配律． 定理1.4 1）若a,b,为任意两个向量，则abba；

2）若a,b,c为任意三个向量，则abcacbc． 3）对于任意的常数，(a)ba(b)(ab)

证明 只证明2）,设aa1,a2,a3，bb1,b2,b3，cc1,c2,c3，那么

(ab)c(a1b1,a2b2,a3b3)(c1,c2,c3)a1c1b1c1a2c2b2c2a3c3b3c3(a1c1a2c2a3c3)(b1c1b2c2b3c3)acbc 得证．

对于向量a、b，它们的夹角为，称acos为a在b上的投影，记为Praacos．

b

例1.6 设向量ax,y,z,求a与三个坐标轴的夹角的余弦．

解 以一般的记号，记x,y,z轴的正方向的单位向量分别为i1,0,0 ，j0,1,0，，并令它们与向量a的夹角分别是,,，那么 k0,0,1（以后还要用到）

11

cosia|i|axxyz222；

coscosja|j|aka|k|ayxyz222；

zxyz222．

从上面的例子可以很容易的看出：若称,,为a的方向角时，则向量a的方向角,,都满足：coscoscos1，并且Prax，Pray，Praz，为方便起见，

ij222k称cos,cos,cos为a的方向余弦．常用它们表示a的方向．即a∥cos,cos,cos，且方向相同，以上的概念结果完全可以推广到R中去，由读者自己推广．

n习 题

1. 设a,c-2,3,-1,求下列向量的坐标： 1,5,2,b0,-3,4 （1）2abc； （2）-3a2b4c；

 （3）6ab2c.

2. 已知平行四边形ABCD中顶点A，B，C的坐标分别为（1，0，2），（0，3，-1），（2，-1，3），求D点以及对角线交点M的坐标. 3. 判断下列各组的两个向量是否垂直: (1) a; 1,5,2,b0,-3,4 (2) a. 1,-1,1,b0,3,34．设a,c-2,3,-1,计算下列值： 1,5,2,b0,-3,4 （1）ab （2）(ab)c （3）(ab)c (4) (3a)b 5. 下列等式是否正确（习惯上把aa记成a）： （1）|a|aa， （2）a（ab）=ab， （3）(ab)ab （4）(ab)ca(bc) 6. 设向量a3,4,0,求a与三个坐标轴的夹角的余弦值．

222222 12

第五节 向量积

为了研究两向量的另外一种运算——向量积，先介绍一下二、三阶行列式的定义. 定义1.4 已知四个数a11,a12,a21,a22，用记号

a11a21a12a22（称为二阶行列式）表示数

a11a12a21a22。当已知９个数a11,a12,a13,a21,a22,a23,a31,a32,a33时，用a21a31（称为三阶行列式）表示这样一个数a11已知n个数，有：

2a11a12a22a23a13a23a33a22a32a23aa1212a33a31a23aa1321a33a31a22，一般情况下，a32a11,a12,...,a1n,...,an1,an2,...,ann, 则称下面等号左边的记号为n阶行列式，并

a11a21...an1a12a22...an2a21a31...an1...a1n..a2n...a23a22...an2......anna11a22a32...an2a23...a2na33..a3n.........a11a12a22...an2...a1n1..a2n1.........ann1.

an3...anna21...an1...a2n..a2n.........ann．．．＋(1)1na12a1n111121和三阶行列式205． 例 1.7 求二阶行列式73410解

12111=12714； 733311124015=100510(1)2540120415(20)223

下面从物理中的一个例子来引入两个向量的向量积．设O为一根杠杆的支点，有一个力F作用于这个杠杆L上的点P处，力F与OP的夹角为，那么有力学规定支点O的力矩是一个向量M，它的模为MOPFsin，如图1-5-1．

13

图1-5-1

而M的方向垂直于OP与F所决定的平面，满足由OP到F的右手规则，即当大拇指与另外四个手指垂直时，这四个手指从OP以不超过的角转向F握拳时，大拇指的指向即是M的方向．见图1-5-1．可记M＝OPF．

要注意的是：OP与F交换后可能改变M的方向．例OP与F均不为零向量．M的指向是右手规则中从第一个向量转到第二个向量．即由OP转到F．而对于FOP而言，此向量的方向是由F转到OP，正好与OPF的方向相反．不过两个模是相同的．因此OPF＝－FOP．

定义1.5 设a，b为两个向量，称向量c为a与b向量积，若c的模为absin（a,b），方向是右手规则中四指由a转到b时的大拇指的指向．记为c=ab．

由定义可知：对于任意的向量a，b，c，有 1)

abba；

2) 若a∥b时，ab＝0；

3) 设c为一个向量，（a＋b）c＝ac＋bc； （a）b＝a（b）＝（ab）； 为数，

5) ijk；jki，ki＝j； 4)

6) 对ax1,y1,z1有a,bx2,y2,z2，

x1iy1jz1k，bx2iy2jz2k；

abx1x2iiy1y2jjz1z2kkx1y2ijx1z2iky1x2jiy1z2jkz1x2kiz1y2kj＝(y1z2z1y2)i(z1x2z2x1)j(x1y1x2y1)k．

为了帮助记忆，当把i,j,k看作数时，有

iab＝x1x2jy1y2jz1． z2 14

例1.8 设A1,2,3，B(3,4,5)，和C(2,4,7)，求三角形的面积． 解：⊿ABC的面积＝1ABACsin 21 ＝ABAC

211＝2,2,21,2,44i6j2k 22＝14

下面介绍三向量ax1y1,z1，bx2y2,z2，cx3y3,z3 的混合积及其几何意义： 称数d＝abc为此三个向量的混合积，且有

x1y1y2y3z1z2． z3dx2x3由向量积和数量积的定义可以知道：

abcabccos(absin)ccos．

这里为c与ab的夹角，是a与b的夹角．从几何上来说，abc是由a，b，c做为相邻的三个棱的平行六面体的体积（如图1-5-2）．

图1-5-2

1．设a,c-2,3,-1,求(3abc)(abc). 1,5,2,b0,-3,42. 设A1,0,3，B(3,4,5)，和C(2,5,7)，求三角形ABC的面积.

3. a,c2,1,-1,求下列混合积： 1,3,2,b1,-3,4习 题

 （1）(ab)c （2）(ab)c

4．设a,求ab和以a,b为邻边的平行四边形的面积. 1,5,2,b0,-3,45. 下述推断是否正确？

 若cacb,并且c0,则ab.

15

6. 证明：若abc0, 则abbcca，并且说明其几何意义.

第六节 平面及其方程

在立体几何中，点、直线、平面均为几何元素．而一平面是由不共线的三个点唯一确定的．设一个平面，过不共线的三个点P3(x3,y3,z3)，注意到立体1(x1,y1,z1)，P2(x2,y2,z2)，P几何中的定理：如果一直线垂直于一平面上的两条不同的相交直线，则垂直于平面上任何一条直线．这条直线我们称为此平面的法线，与这条直线平行的向量我们称之为法向量．显然

P1P2P1P3就是平面的法向量．

一般情况下，设n(A,B,C)是平面的法向量．平面过一点P0(x0,y0,z0)，点

Q(x,y,z) 是平面上任意一点，那么n一定垂直与P0Q，即n⊥P0Q，所以有

A,B,Cxx0,yy0,zz00 （1.6.1）

即

AxByCz(Ax0By0Cz0)0 （1.6.2）

当记D(Ax0By0Cz0)时，有

AxByCzD0 （1.6.3）

可以证明：空间中任意一点Q，如果n⊥AQ，则Q一定在平面P上，就是说以n为法向量的过P0的平面方程是

AxByCzD0

反过来，已知一个形如（1.6.2）的方程，所有满足方程的点x,y,z就形成了一个平面．此平面经过点P0，法向量为A,B,C（其中A,B,C0），称此为过点P0以n为法向量的平面的点法式方程．

例1.9 求过三点M1(2,1,4),M2(1,3,2),M3(0,2,3)的平面方程．

解法一：设其方程形如（1.6.2），将M1，M2，M3的坐标代入（1.6.2），得到关于A,B,C,D的方程组．从而可以得到平面的方程．

解法二：向量M1M2{3;4;6}，那么M1M2M1M3M1M3{2;3;1}，14,9,1就是法平面的法向量，故由（1.6.1）即点法式，得

14(x2)9(y1)(z4)0，

即

14x9yz150．

从（1.6.1）和(1.6.2)可知，(1.6.1)可化为(1.6.2)，而(1.6.2)也可以化为(1.6.1)．

例1.10 将平面2x3y5z10化为点法式．

解 取平面上的一点1,1,0，即有

213(1)5010．

与原方程相减，即得

2(x1)3(y1)5(z0)0．

16

这就是平面的点法式方程．

从平面的一般方程AxByCzD0，可以得到

a) 如D0，则平面过原点．

b) 如A0，则平面的法向量为0,B,C，此法向量垂直与x轴．即平面平行于x轴． c) 如AB0，则法向量为0,0,c，平行与z轴．所以此平面平行与xOy平面．

例1.11 设平面与x,y,z轴的交点依次为Pa,0,0,Q0,b,0,R0,0,c，abc0,求此平面

的方程．

解 设此平面的方程为AxByCzD0，将P点的坐标代入，得

AaD0，

即

A同理可求得，

D； aBDD，C， bc由条件可知，D不能取0，将A,B,C代入原方程得

xyz1． abc这个方程叫做平面的截距式方程．a,b,c分别叫做平面在x,y,z轴上的截距．

例1.12 设两平面的方程为：

1:A1xB1yC1zD102:A2xB2yC2zD20求1与2的夹角．

解 由立体几何可知，1与2的夹角就是这两个平面的法向量n1,n2的夹角． n1{A1,B1,C1}，n2{A2,B2,C2}，所以

coscos|n1n2|n1n2A1A2B1B2C1C2A1B1C1222A2B2C2222

特别，若1与2平行，则cos1,0，若1与2垂直，有cos0,2．

例如，1：xy2x60，2：2xyz50，两平面的夹角，则有

1，从而． 23例1.13 设平面：AxByCzD0，P(x0,y0,z0)是空间中的一点，求点P到平面的距离． cos 17

图1-6-1

解：P到的距离，就是过点P作的垂线的垂足P0到P的距离PP0．在平面上任取一

n点P即有Ax1By1Cz1D0，那么PP1(x1,y1,z1)，0（如1到上的投影的绝对值就是PP图1-6-1）．

即

PP0|PrnPP1||PP1|cosn,PP1PP1A,B,Cx0x1,y0y1,z0z1|n|PP1

A(x0x1)B(y0y1)Cz0z1A2B2C2Ax0By0Cz0D．222ABC例如，当平面的方程为xyz10,P(2,1,1)时，点P到平面的距离为

d1211(1)1111(1)

222333．

习 题

1.在直角坐标系中，求下列平面的方程.

(1) 过点P（-1，2，0），一个法向量为n{3,1,2}；

（2）过点M1(3,1,4),M2(1,0,3)，垂直于平面2x5yz10. 2. 在直角坐标系中，求点到平面的距离:

(1) 点（0，2，1）到平面2x3y5z10； （2）点（-1，2，4）到平面x-y10.

3. 在直角坐标系中，平面的方程是AxByD0，求z轴到平面的距离.

18

4. 在直角坐标系中，求平面zaxbyc与xOy平面的夹角.

5. 在直角坐标系中，求与平面AxByCzD0平行，且与它的距离为d的平面的方程.

第七节 直线及其方程

我们知道：两个不平行的平面相交的部分就是直线．两个不平行的平面唯一地决定了一条直线．换句话说，直线上的点的坐标x,y,z必须同时满足这两个平面的方程．即：

.(1)A1xB1yC1zD0,......... （1.7.1） AxByCzD0,..........()2222当两向量A1,B1,C1与A2,B2,C2不平行时，满足(1.7.1)的所有点x,y,z的集合就是一条直

线．反过来，任意一条直线都可以看成是两个平面的交线．因此(1.7.1)就称为空间直线的方程．严格来说是一般形式下的方程．

从几何公理中，我们还知道，过两个不同的点能作也只能作一条直线．设直线L过两点

P1(x1,y1,z1)和点P2(x2,y2,z2)对于直线L上的任意一点P(x,y,z)，则必有P1P2∥P1P 即对确定的P就有实数t，使得

t{x2x1,y2y1,z2z1}{xx1,yy1,zz1} （1.7.2）

或

xx1yy1zz1 ． (1.7.3)

x2x1y2y1z2z1令mx2x1,ny2y1,lz2z1，则（1.7.2）,(1.7.3)分别化为

xx1tmyy1tn tR （1.7.4） zztl1或

xx1yy1zz1． （1.7.5） mnl显然，m,n,l0．

我们注意到，向量P所以我们已知直线经过一点P(x1,y1,z1)，1P2就是直线所平行的方向，平行于一个方向nm,n,l0（也称此非零向量为已知直线的方向向量），则我们同样可以

得到（1.7.4）或（1.7.5）也是此直线的方程．(1.7.5)称为直线的对称式方程或点向式方程．（1.7.4）或（1.7.5）是可以互相转化的．从（1.7.5）可以看出它也是两个平面所决定的，只不过是垂直于坐标平面而已．如果（1.7.5）中m,n,l有一个取0，则可以考虑用（1.7.4）式．如m0,nl0，

yy1tnyy1zz1则两个平面为xx10和，即xx1和．

zztlnl1如nl0，则两个平面为yy1,zz1，事实上，这直线平行于m,0,0，即平行于x轴．(1.7.4)式称为直线的参数方程,它可由对称式方程中取比值为t而得到．对称式方程是直线的

一般式方程的特殊情况．即用垂直于坐标面的平面的交线来决定直线．因此，对于直线的一般

19

方程化为对称式就成了一个问题．

例1.14 用对称式方程和参数方程表示直线．

xyz10 (1.7.6) 2xy3z4015解一：在直线（1.7.6）中取两点P(1,0,2),Q(0,,)，这时

441513m,n,l10,0,21,,，

4444故对称式为

x1y0z2， 13144即

x1y0z2． 413从而参数方程为

x14tyt． z23t解二：直线在两个平面上，故为垂直于两个平面的法线．所以此线一定平行于两个平面法向量的向量积．可以以向量积代表直线的方向：

1,1,12,1,34,1,3， 所以由解一知此直线过点1,0,2，所以对称式方程为

x1y0z2． 413类似地，可以得到此直线的参数方程．

例1.15 设直线L1的方向向量s1{m1,n1,l1}，直线L2的方向向量s2{m2,n2,l2}，求

两直线的夹角．

解：由立体几何知道，两直线的夹角（锐角）就是它们方向向量的夹角．若记其夹角为，则有

cos如l1:s1s2s1s2m1m2n1n2l1l2m1n1l1222m2n2l2222；

x1yz3xy2z和l2:，那么夹角满足 14122112(4)(2)1(1)2cos．

22222221(4)12(2)(1)即 4．

另外可以得到，两直线L1与L2垂直的充分必要条件为：m1m2n1n2l1l2＝０．

20

例1.16 设直线L的方向为sm,n,l，平面：AxByCzD0，求直线L和平面的夹角．

解：我们知道，在立体几何中，线与面的夹角是直线与其在平面的垂直投影线的夹角．如设此角为，则此直线与的法向向量夹角为

2．当令平面法向量为n{A,B,C}时，两

方向夹角满足：cos(2)ns，即

nsABCmnl由此可知，直线与平面平行是AmBnCl0． 直线L和平面垂直（即L平行于的法向量）的充分必要条件为直线的方向向量与的

法向量平行．

例1.17 过一点P(1，－２，４)作垂直于平面：2x3yz40的直线． 解：由于此直线垂直于，即直线方向向量可取的法线向量｛２，－３，１｝．由点法式知，此直线为

sinAmBnCl222222

x1y2z4． 231本节的最后来考虑如下问题：已知两不平行平面所决定的直线为

那么对任何直线上的点x,y,z，对任何数p,q都有 进行整理得：

A1xB1yC1zD10 AxByCzD02222 (1.7.7)

P(A1xB1yC1zD1)q(A2xB2yC2zD2)0 (1.7.8)

pA1qA2x(pB1qB2)y(pC1qC2)z(pD1qD2)0

这是一平面的方程，显然过直线(1.7.7)，就是说(1.7.8)是过直线(1.7.7)的平面，随着p,q的

变化，就得到过直线(1.7.7)的平面束．

xyz10例1.18 求过直线和点0.,0,2的平面方程．

xyz10解：过直线的平面为

p(xyz1)q(xyz1)0

将点0.,0,2代入，得

p(0021)q(0021)0

即p3q，于是得到平面的方程为

3q(xyz1)q(xyz1)0

由于q是任意的，故所求的平面的方程是

4x2y3z40．

21

习 题

1. 在给定的直角坐标系中，求下列直线的方程： （1）过点（-2，3，5），方向向量为{-1，3，4}； （2）过点（0，3，1）和（-1，2，7）.

2. 在给定的直角坐标系中，求下列直线的方程. （1）过点（-1，2，9），垂直于平面3x2y-z-50; （2）过点（2，-1，3），与直线

x1yz2相交且垂直. 1023.将下列直线的方程化成对称式方程和参数方程形式. （1）3xy20,y-10, （2）

4y3z10;z20;A1xB1yC1zD10，4. 求出直线和平面AxByCzD0平行或直线在平

AxByCzD02222面上的条件.

第八节 二次曲面及一般曲面

前面我们研究了直线和平面，除了平面之外，还有更一般的曲面，如圆柱面，球面等等．注意到一个平面，它的点是满足一个特定的三元一次方程：AxByCzD0 的．反之满足方程的点都在平面上．

一般情况下，设曲面S与三元方程F(x,y,z)0，如果有如下关系： a) 曲面S上的点的坐标都满足方程； b) 不在曲面上的点的坐标都不满足方程．

这时方程F(x,y,z)0就叫做曲面S的方程．S叫做方程的曲面．若F(x,y,z)0和G(x,y,z)0为两个曲面方程，则称其公共部分为曲线，一般记为：

F(x,y,z)0 G(x,y,z)0例1.19 建立球心在点M0(x0,y0,z0),半径为R的球面方程．

解：设Mx,y,z是球面上的任意一点．那么由球面的定义知道．M0MR，即

M0M2R2．所以

(xx0)2(yy0)2(zz0)2R2 ．

显然不在球面上的点不满足方程，球面上的点一定满足方程．所以上面的方程是球面方程． 对于一般的曲面方程F(x,y,z)0所确定的曲面，常用平行于坐标面的平面相截，考察其交线的形状．然后加以综合，从而了解曲面的全貌．这种方法叫做截痕法．

例1.20 研究方程

x2y2z21(a,b,c0) a2b2c2所决定的曲面，它称为椭球面．

22

x2y2z2首先，2１，2１，21，所以xa,yb,zc．故此曲面在

abcxa,yb,zc所围成的六面体的内部．且过a,0,0,0,b,0,0,0,c．当用平面

zhhc去截时，其截线为

x2y2h22212abc ， zh 即

x2y21222 a(1h)b2(1h)．

22cczh它是平面zh上的一个椭圆．它的长短轴随着h的增大而减少．z0时为最大．zc时

为一点．所以它的图形应该是象鸡蛋一样的（如图1-8-1）．

图1-8-1

x2y2z所表示的曲面． 例1.21考察方程

2p2q当p0,q0时，z0，即曲面在xOy平面的上方，z0时，xy0，即最低点为0,0,0．当用zh相截后，得到曲线：

x2y21 2ph2qhzh．

显然也是平面zh上的椭圆．其长短轴随着h的增大而无限地增大．当用xh（或

yh）去截时．得到

h2y2z 2p2qxh．

是xh平面上的抛物线．同理可得，可用yh去截．从而知道其形状是形如锅一样．如图

1-8-2.

23

同理p0,q0时，也有同样的图形，只是在xoy平面的下方．当pq0时，方程

x2y2z所决定的 曲面称为椭圆抛物面． 2p2q当p0,q0,zh时，方程为

x2y21． 2ph2qh当h0时，是双曲线，当h图1-8-3.

0时．也是双曲线．这样的曲面叫做双曲抛物面或鞍形曲面．如

同样可以讨论p0,q0时的情形．

图1-8-2

图1-8-3

x2y2z2 例1.22 研究方程：a2b2c21所表示的曲面．

24

同样用截痕法：当zh时，方程化为：

x2y2h2212 ， 2abc即

x22hh2a21b1c2c2 这条曲线显然是椭圆，并且随着h的增大，其长短轴增大．并且 z=h和z=－h时同样大的

椭圆．此曲面的图形如图1-8-4，称此曲面为单叶双曲面．

y221．

图1-8-4

图1-8-5

x2y2z2类似前面的做法，讨论方程2221所确定的曲面．

abc当z=h时，即得

1， 22hh2a21b1c2c2这是一条双曲线．其实.虚轴随着h的增大而增大．当z=0时为最小．如图1-8-5，这个曲面叫

做双叶双曲面．

例1.23 设在yoz平面的坐标面上的一已知曲线C:fy,z0,求此曲线绕z轴旋转一周所

x2y2 25

得到的曲面方程．

解：任取曲面上一点Mx,y,z，可设它是由曲线C上的一点M1(0,y1,z1)绕z轴旋转所得．则有：xyy1,zz1．而f(y1,z1)0，所以

22f(x2y2,z)0

即z轴旋转时，z不变，另一个变量由余下的两个变量的平方和的平方根（含号）来代替．类似对

f(y,z)0绕y轴旋转得到的曲面为f(y,x2z2)0．这些曲面叫做旋转

曲面．如图1-8-6．

图1-8-6

x2z2例如，对xOy坐标系上的双曲线221绕x轴旋转后的曲面方程为：

acx2y2z21 a2c2绕x轴旋转后得到的曲面方程

x2y2z221 2ac这些曲面都叫做旋转曲面．

例1.24 研究方程

f(x,y)0所表示的曲面．

f(x,y)0．这就是说该曲面是xOy

z轴方向平行移动所得到的这样的曲面叫做柱

解：在这个方程中，用任何z=h去截，都得到曲线平面的曲线C：面．

2f(x,y)0沿

f(x,y)0叫做柱面的准线，过C的平行于z轴的直线叫做它的母线．

类似的，y2x的柱面叫做抛物柱面．

空间中的曲面除了用三元方程F(x,y,z)0表示外，还可以用含两个参数的参数方程来描

述. 如设u,v为参数，则曲面的方程为：

26

xx(u,v)yy(u,v) zz(u,v)上面的方程称为曲面的参数方程。

例如以R为半径，以原点为球心的球面参数方程可以写为：

xRsincos,0R.yRsinsin,02 zRcos,0

一般情况下，对于空间的曲线

F1(x,y,z)0 F(x,y,z)02当从中消去z后得到一个方程H(x,y)0，该方程表示的是该线向xOy坐标面的投影曲线．从另外严格角度也知道，该曲线也一定是在H(x,y)0表示的柱面上．同样可以将此曲线垂直投影到另外的两个坐标面上．如yOz上的柱面L(y,z)0，这时曲线可以由这两个曲面来确定．即

Ly,z0． x0空间的曲线除了用两个曲面来确定之外，还可以用参数方程来描述．如设t为参数，则曲

线为

xx(t)yy(t) zz(t)

上面的方程称为曲线的参数方程． 事实上，对一般的曲线方程H(x,y)0，当适当令xL(x,y)0与平面

x(t)以后，可以从中解出

yy(t),zz(t)(t为参数)． 2222例如，求球面xyzRzh的交线．可令

xR2h2cost．得到yR2h2sint,zh．故参数方程为

xR2h2cost22yRhsint． zh另外，由一条曲线和一个方向同样可以做柱面．

下面我们简单介绍一下点的柱面坐标和球面坐标的表示方法，以及和直角坐标的关系。

柱面坐标

27

空间中任意一点Mx,y,z必在以rx2y2为半径，以z轴为对称轴的圆柱面

上，显然这个圆柱面的参数方程为：

xrcos,yrsin, (02,u) zu,因此，圆柱面上的点M被数偶(,u)所确定。从而空间中任意一点M，被有序三元数组(r,,u)所确定，也就是说，设该点在坐标面xoy上的投影点M'的极坐标为r,，这样的三元数组(r,,u)就称为点M的柱面坐标（如图1-8-7）．

这里规定三个变量的变化范围是

注意到，当r常数时，表示以z轴为中心轴的一个柱面．当0r02 u=常数时，表示通过z轴，

与半平面xoz的夹角为的半平面（即曲面x0的xoz半平面按逆时针旋转角之后的半平

面）．当z常数时，表示平行于平面xoy，与平面xoy距离为|z|的平面，当z0时，在xoy平面的上方，当z0时，在xoy平面的下方．

空间的点M的直角坐标与柱面坐标之间的关系为：

r0xrcos,yrsin,02 zu,u

图1-8-7

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球面坐标

设有一空间点M示这个点，其中rx,y,z，点M在坐标面xoy上的投影M'，我们用数r,,来表

为x轴的正半轴到射线OM'转角．为向量OM与z轴

|OM|，的正半轴的夹角．如图1-8-8．我们把(r,,)称为空间中点M的球面坐标（或空间极坐标），其中规定三个变量的变化范围是

0r02． 0

注意到，当r常数时，表示以原点为球心的球面．当=常数时，表示通过z轴的半平面．当常数时，表示以原点为顶点，z轴为中心的锥面．

点M的球面坐标与点M的直角坐标（x，y，z）之间的关系如下：

xrsincos,0r.yrsinsin,02zrcos,0

．

图1-8-8

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习 题

1．求下列球面的中心和半径.

(1) xyz12x4y6z0;

(2) xyz2x4y6z220. 2.求下列球面的方程. （1）以点A（1，0，3），B（2，-1，4）的连线段为直径； （2）过点（1，-1，1），（1，2，-1），（2，3，0）和坐标原点. 3. 试画出下列曲面.

(1) xy0; (2)4x4yz0;

2222222222x2x222yz1; (4) y2z21. (3) 44

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