垂径定理

1．（2002 杭州）过⊙O内一点M的最长弦长为6cm，最短弦长为4cm，则OM的长为（ ） A、

cm B、

cm C、2cm D、3cm

考点：垂径定理

评析：因为过点M的弦最长，所以该弦应为直径，而最短弦是过M点与直径垂直的弦．再根据垂径定理，勾股定理易求OM=

cm，故应选B．

2．（2001 北京东城区）已知：如图1，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB=8cm,OC=5cm, 则DC的长为：

A、3cm B、2.5cm C、2cm D、1cm

考点：垂径定理的应用

图1

评析：连结OA（OB）由垂径定理可知AD=BD=4cm，又OA=OB=OC=5cm，运用勾股定理，可求得OD=3cm，故DC=2cm，应选C．

3．（2001 上海市）一个圆弧形门拱的拱高为1米，跨度为4米，那么这个门拱的半径为 米． 考点：垂径定理的应用

图2

4．（2001 福建福州）不过圆心的直线l交⊙O于C、D两点，AB是⊙O的直径，AE⊥l，垂足为E，BF⊥l，垂足为F．

(a) (b) (c) 图3

(1)在上面三个圆中分别补画出满足上述条件的具有不同位置关系的图形；

(2)请你观察(1)中所画图形，写出一个各图都具有的两条线段相等的结论(不再标注其他字母，找结论的过程中所连辅助线不能出现在结论中，不写推理过程)；

(3)请你选择(1)中的一个图形，证明(2)所得出的结论． 考点：垂径定理的应用

评析：根据要求在三个图中按条件画出不同的三个图

（AB与CD交于 （AB与CD交于 （AB与CD平行） ⊙O外一点） ⊙O内一点） 图4

通过作图易知EC=FD．过O作OG⊥CD于G，运用梯形中位线及垂直径定理即可证明结论．

注：两个特例：一是AB⊥CD;二是A、B与Ｃ、Ｄ其中一点重合的图形，两个特例各计一类可以得分．凡同类图形，一律只计一个图形，如ＡＢ交ＣＤ（ＤＣ）延长线的多点位置的多个图形属同类，只计一个图形．

（2）各图都具有的两个线段相等的结论是：EC=FD（或ED=FC）． （3）在图7-8图a、b、 c图中，任选一个图形进行证明： 如选a图中，证明：作ＯＧ⊥ＣＤ，垂足为Ｇ，则CG=GD． ∵ＡＥ⊥ＣＤ， ＢＦ⊥ＣＤ， ∴ＡＥ∥ＯＧ∥ＢＦ．

又∵ＡＢ是⊙Ｏ的直径，即OA=OB． ∴EＧ＝ＧF． ∴ＥＣ＝ＦＤ．