绵阳市高中2018-2019学年高三下学期第三次月考试卷数学

一、选择题

1． 以过椭圆

A．相交

+

=1（a＞b＞0）的右焦点的弦为直径的圆与其右准线的位置关系是（ ）

B．相切

班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数_______________ ___________________________________________________________________________________________________ C．相离 ，则（ ）

D．不能确定

2． 设D为△ABC所在平面内一点，A．C．

B．D．

3． 四面体ABCD 中,截面 PQMN是正方形， 则在下列结论中，下列说法错误的是（ ）

A．ACBD B．ACBD

C.ACPQMN D．异面直线PM与BD所成的角为45

4． 函数f（x）的定义域为[﹣1，1]，图象如图1所示：函数g（x）的定义域为[﹣2，2]，图象如图2所示，方程f（g（x））=0有m个实数根，方程g（f（x））=0有n个实数根，则m+n=（ ）

A．14 B．12 C．10 D．8

5． 在复平面内，复数A．3i

z所对应的点为(2,1)，i是虚数单位，则z（ ） 1i B．3i C．3i D．3i

x的零点，若x0＞a，则f（x0）的值满足（ ）

6． 设a是函数

A．f（x0）=0 B．f（x0）＜0 C．f（x0）＞0

D．f（x0）的符号不确定

C．p∧￢q

D．￢p∧￢q

7． 已知命题p：∀x∈R，2x＜3x；命题q：∃x∈R，x3=1﹣x2，则下列命题中为真命题的是（ ） A．p∧q B．￢p∧q

8． 圆锥的高扩大到原来的 倍，底面半径缩短到原来的

1，则圆锥的体积（ ） 2 A.缩小到原来的一半 B.扩大到原来的倍

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C.不变 D.缩小到原来的9． 下面是关于复数p1：|z|=2， p2：z2=2i，

p3：z的共轭复数为﹣1+i， p4：z的虚部为1． 其中真命题为（ ）

的四个命题：

1 6A．p2，p3 B．p1，p2 C．p2，p4 D．p3，p4

10．某高二（1）班一次阶段考试数学成绩的茎叶图和频率分布直方图可见部分如图，根据图中的信 息，可确定被抽测的人数及分数在90,100内的人数分别为（ ）

A．20，2 B．24，4 C．25，2 D．25，4 11．已知变量x与y负相关，且由观测数据算得样本平均数=3， =2.7，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（ ） A． =﹣0.2x+3.3

B． =0.4x+1.5 C． =2x﹣3.2

D． =﹣2x+8.6

12．集合A={x|﹣1≤x≤2}，B={x|x＜1}，则A∩B=（ ） A．{x|x＜1} B．{x|﹣1≤x≤2} C．{x|﹣1≤x≤1} D．{x|﹣1≤x＜1}

二、填空题

13．利用计算机产生1到6之间取整数值的随机数a和b，在a+b为偶数的条件下，|a﹣b|＞2发生的概率是 ．

14．已知函数f（x）是定义在R上的单调函数，且满足对任意的实数x都有f[f（x）﹣2x]=6，则f（x）+f（﹣x）的最小值等于 ．

15．如果直线3ax+y﹣1=0与直线（1﹣2a）x+ay+1=0平行．那么a等于 ．

16．已知，是空间二向量，若=3，||=2，|﹣|=，则与的夹角为 ．

17．已知球与棱长均为3的三棱锥各条棱都相切，则该球的表面积为 ．

218．已知各项都不相等的等差数列an，满足a2n2an3，且a6a1a21，则数列Sn项中 n12第 2 页，共 17 页

的最大值为_________.

三、解答题

19．已知f（x）=x2﹣（a+b）x+3a．

（1）若不等式f（x）≤0的解集为[1，3]，求实数a，b的值； （2）若b=3，求不等式f（x）＞0的解集．

20．某校为了解2015届高三毕业班准备考飞行员学生的身体素质，对他们的体重进行了测量，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右前3个小组的频率之比为1：2：4，其中第二小组的频数为11．

（Ⅰ）求该校报考飞行员的总人数；

（Ⅱ）若经该学校的样本数据来估计全省的总体数据，若从全省报考飞行员的学生中（人数很多）任选3人，设X表示体重超过60kg的学生人数，求X的数学期望与方差．

21．若函数f（x）=sinωxcosωx+

sin2ωx﹣

（ω＞0）的图象与直线y=m（m为常数）相切，并且切点的横

坐标依次构成公差为π的等差数列． （Ⅰ）求ω及m的值；

（Ⅱ）求函数y=f（x）在x∈[0，2π]上所有零点的和．

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22．（本小题满分12分）某校为了解高一新生对文理科的选择，对1 000名高一新生发放文理科选择调查表，统计知，有600名学生选择理科，400名学生选择文科．分别从选择理科和文科的学生随机各抽取20名学生的数学成绩得如下累计表：

分数段 [40，50） [50，60） [60，70） [70，80） [80，90） [90，100] 率分布直方图．

理科人数 正 正 文科人数 正 （1）从统计表分析，比较选择文理科学生的数学平均分及学生选择文理科的情况，并绘制理科数学成绩的频

（2）根据你绘制的频率分布直方图，估计意向选择理科的学生的数学成绩的中位数与平均分．

23．如图所示的几何体中，EA⊥平面ABC，BD⊥平面ABC，AC=BC=BD=2AE=（1）求证：CM⊥EM；

（2）求MC与平面EAC所成的角．

，M是AB的中点．

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24．已知函数f（x）=x3﹣x2+cx+d有极值． （Ⅰ）求c的取值范围；

2

（Ⅱ）若f（x）在x=2处取得极值，且当x＜0时，f（x）＜d+2d恒成立，求d的取值范围．

25．如图，F1，F2是椭圆C：在直线l：x=﹣上．

+y2=1的左、右焦点，A，B是椭圆C上的两个动点，且线段AB的中点M

（1）若B的坐标为（0，1），求点M的坐标； （2）求

•

的取值范围．

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26．△ABC中，角A，B，C所对的边之长依次为a，b，c，且cosA=（Ⅰ）求cos2C和角B的值； （Ⅱ）若a﹣c=

﹣1，求△ABC的面积．

222

，5（a+b﹣c）=3ab．

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绵阳市高中2018-2019学年高三下学期第三次月考试卷数学（参）

一、选择题

1． 【答案】C

【解析】解：设过右焦点F的弦为AB，右准线为l，A、B在l上的射影分别为C、D 连接AC、BD，设AB的中点为M，作MN⊥l于N 根据圆锥曲线的统一定义，可得

=

=e，可得

∴|AF|+|BF|＜|AC|+|BD|，即|AB|＜|AC|+|BD|，

∵以AB为直径的圆半径为r=|AB|，|MN|=（|AC|+|BD|） ∴圆M到l的距离|MN|＞r，可得直线l与以AB为直径的圆相离 故选：C

【点评】本题给出椭圆的右焦点F，求以经过F的弦AB为直径的圆与右准线的位置关系，着重考查了椭圆的简单几何性质、圆锥曲线的统一定义和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．

2． 【答案】A 【解析】解：由已知得到如图 由故选：A．

=

=

=

；

【点评】本题考查了向量的三角形法则的运用；关键是想法将向量

3． 【答案】B 【解析】

表示为

．

试题分析：因为截面PQMN是正方形，所以PQ//MN,QM//PN，则PQ//平面ACD,QM//平面BDA，

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所以PQ//AC,QM//BD,由PQQM可得ACBD，所以A正确；由于PQ//AC可得AC//截面所以C正确；因为PNPQ，所以ACBD，由BD//PN，所以MPN是异面直线PM与BDPQMN，

PNANMNDN0所成的角，且为45，所以D正确；由上面可知BD//PN,PQ//AC，所以，而,BDADACADANDN,PNMN，所以BDAC，所以B是错误的，故选B. 1 考点：空间直线与平面的位置关系的判定与证明.

【方法点晴】本题主要考查了空间中直线与平面的位置关系的判定与证明，其中解答中涉及到直线与平面平行的判定定理和性质定理、正方形的性质、异面直线所成的角等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，属于中档试题，此类问题的解答中熟记点、线、面的位置关系的判定定理和性质定理是解答的关键.

4． 【答案】A

【解析】解：由图象可知， 若f（g（x））=0，

则g（x）=﹣1或g（x）=0或g（x）=1； 由图2知，g（x）=﹣1时，x=﹣1或x=1； g（x）=0时，x的值有3个； g（x）=1时，x=2或x=﹣2； 故m=7；

若g（f（x））=0，

则f（x）=﹣1.5或f（x）=1.5或f（x）=0； 由图1知，

f（x）=1.5与f（x）=﹣1.5各有2个； f（x）=0时，x=﹣1，x=1或x=0； 故n=7； 故m+n=14； 故选：A．

5． 【答案】D

【解析】解析：本题考查复数的点的表示与复数的乘法运算，6． 【答案】C

【解析】解：作出y=2和y=log

x

z2i，z(1i)(2i)3i，选D． 1ix的函数图象，如图：

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由图象可知当x0＞a时，2∴f（x0）=2

﹣log

＞logx0，

x0＞0．

故选：C．

7． 【答案】B

11xx

【解析】解：因为x=﹣1时，2﹣＞3﹣，所以命题p：∀x∈R，2＜3为假命题，则￢p为真命题．

3232

令f（x）=x+x﹣1，因为f（0）=﹣1＜0，f（1）=1＞0．所以函数f（x）=x+x﹣1在（0，1）上存在零点，32

即命题q：∃x∈R，x=1﹣x为真命题．

则￢p∧q为真命题． 故选B．

8． 【答案】A 【解析】

12rh，将圆锥的高扩大到原来3V111122的倍，底面半径缩短到原来的，则体积为V2(2r)hrh，所以12，故选A.

V22326试题分析：由题意得，设原圆锥的高为，底面半径为，则圆锥的体积为V1考点：圆锥的体积公式.1 9． 【答案】C

【解析】解：p1：|z|=p2：z2=

=

=

，故命题为假； =2i，故命题为真；

，∴z的共轭复数为1﹣i，故命题p3为假；

∵

，∴p4：z的虚部为1，故命题为真．

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故真命题为p2，p4 故选：C．

【点评】本题考查命题真假的判定，考查复数知识，考查学生的计算能力，属于基础题．

10．【答案】C 【解析】

考

点：茎叶图，频率分布直方图． 11．【答案】A

【解析】解：变量x与y负相关，排除选项B，C； 回归直线方程经过样本中心，

把=3， =2.7，代入A成立，代入D不成立．

故选：A．

12．【答案】D

【解析】解：A∩B={x|﹣1≤x≤2}∩{x|x＜1}={x|﹣1≤x≤2，且x＜1}={x|﹣1≤x＜1}． 故选D．

【点评】本题考查了交集，关键是理解交集的定义及会使用数轴求其公共部分．

二、填空题

13．【答案】

．

【解析】解：由题意得，利用计算机产生1到6之间取整数值的随机数a和b，基本事件的总个数是6×6=36，即（a，b）的情况有36种， 事件“a+b为偶数”包含基本事件：

（1，1），（1，3），（1，5），（2，2），（2，4），（2，6）， （3，1），（3，3），（3，5），（4，2），（4，4），（4，6）

（5，1），（5，3），（5，5），（6，2），（6，4），（6，6）共18个， “在a+b为偶数的条件下，|a﹣b|＞2”包含基本事件： （1，5），（2，6），（5，1），（6，2）共4个， 故在a+b为偶数的条件下，|a﹣b|＞2发生的概率是P=

=

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故答案为：

【点评】本题主要考查概率的计算，以条件概率为载体，考查条件概率的计算，解题的关键是判断概率的类型，从而利用相应公式，分别求出对应的测度是解决本题的关键．

14．【答案】 6 ．

x

【解析】解：根据题意可知：f（x）﹣2是一个固定的数，记为a，则f（a）=6，

xx

∴f（x）﹣2=a，即f（x）=a+2，

∴当x=a时，

x

∴f（x）=2+2，

a

又∵a+2=6，∴a=2，

xxxx

∴f（x）+f（﹣x）=2+2+2+2﹣=2+2﹣+4

≥2+4=6，当且仅当x=0时成立，

∴f（x）+f（﹣x）的最小值等于6， 故答案为：6．

【点评】本题考查函数的最值，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．

15．【答案】

．

【解析】解：∵直线3ax+y﹣1=0与直线（1﹣2a）x+ay+1=0平行， ∴3aa=1（1﹣2a），解得a=﹣1或a=， 经检验当a=﹣1时，两直线重合，应舍去 故答案为：．

【点评】本题考查直线的一般式方程和平行关系，属基础题．

16．【答案】 60° ．

【解析】解：∵|﹣|=， ∴∴

=3，

＞=

=

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∴cos＜∵

∴与的夹角为60°． 故答案为：60° 表示式．

【点评】本题考查平面向量数量积表示夹角和模长，本题解题的关键是整理出两个向量的数量积，再用夹角的

17．【答案】 3π ．

【解析】解：将棱长均为3的三棱锥放入棱长为∵球与三棱锥各条棱都相切，

的正方体，如图

∴该球是正方体的内切球，切正方体的各个面切于中心， 而这个切点恰好是三棱锥各条棱与球的切点 由此可得该球的直径为

，半径r=

2

∴该球的表面积为S=4πr=3π

故答案为：3π

【点评】本题给出棱长为3的正四面体，求它的棱切球的表面积，着重考查了正多面体的性质、多面体内切球和球的表面积公式等知识，属于基础题．

18．【答案】 【解析】

考

点：1.等差数列的通项公式；2.等差数列的前项和．

【方法点睛】本题主要考查等差数列的通项公式和前项和公式.等差数列的通项公式及前项和公式,共涉及

a1,an,d,n,Sn五个量,知其中三个就能求另外两个,体现了用方程的思想解决问题.数列的通项公式和前项和公

式在解题中起到变量代换作用,而a1,d是等差数列的两个基本量,用它们表示已知和未知是常用方法.

三、解答题

19．【答案】

【解析】解：（1）∵函数f（x）=x2﹣（a+b）x+3a，

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当不等式f（x）≤0的解集为[1，3]时， 方程x2﹣（a+b）x+3a=0的两根为1和3， 由根与系数的关系得

，

解得a=1，b=3；

（2）当b=3时，不等式f（x）＞0可化为 x2﹣（a+3）x+3a＞0， 即（x﹣a）（x﹣3）＞0；

∴当a＞3时，原不等式的解集为：{x|x＜3或x＞a}； 当a＜3时，原不等式的解集为：{x|x＜a或x＞3}； 当a=3时，原不等式的解集为：{x|x≠3，x∈R}．

【点评】本题考查了含有字母系数的一元二次不等式的解法和应用问题，是基础题目．

20．【答案】

【解析】（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）设该校报考飞行员的总人数为n，前三个小组的频率为p1，p2，p3， 则

，

解得由于

，，，…

，故n=55．…

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，一个报考学生的体重超过60公斤的概率为： p=

，

），…

由题意知X服从二项分布，即：X～B（3，∴P（X=k）=∴EX=

=

，DX=

=

，k=0，1，2，3， ．…

【点评】本题考查相互事件概率、离散型随机变量的分布列及数学期望等基础知识，考查数据处理能力，考查化归与转化思想，是中档题．

21．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）∵f（x）=sinωxcosωx+=

ωx+

（1﹣cos2ωx）﹣

=

sin2ωx﹣2ωx﹣

2ωx=sin（2ωx﹣

），

依题意得函数f（x）的周期为π且ω＞0，

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∴2ω=，

∴ω=1，则m=±1；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=sin（2ωx﹣∴

．

），∴

，

又∵x∈[0，2π]， ∴

．

．

∴y=f（x）在x∈[0，2π]上所有零点的和为

【点评】本题主要考查三角函数两倍角公式、辅助角公式、等差数列公差、等差数列求和方法、函数零点基础 知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归转化思想，是中档题．

22．【答案】

【解析】解：（1）从统计表看出选择理科的学生的数学平均成绩高于选择文科的学生的数学平均成绩，反映了数学成绩对学生选择文理科有一定的影响，频率分布直方图如下．

（2）从频率分布直方图知，数学成绩有50%小于或等于80分，50%大于或等于80分，所以中位数为80分． 平均分为（55×0.005＋65×0.015＋75×0.030＋85×0.030＋95×0.020）×10＝79.5， 即估计选择理科的学生的平均分为79.5分． 23．【答案】

【解析】（1）证明：∵AC=BC=∴△ABC为等腰直角三角形， ∵M为AB的中点， ∴AM=BM=CM，CM⊥AB， ∵EA⊥平面ABC， ∴EA⊥AC，

设AM=BM=CM=1，则有AC=

，AE=AC=

， =

，

AB，

在Rt△AEC中，根据勾股定理得：EC=

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在Rt△AEM中，根据勾股定理得：EM=

222

∴EM+MC=EC，

=，

∴CM⊥EM；

（2）解：过M作MN⊥AC，可得∠MCA为MC与平面EAC所成的角， 则MC与平面EAC所成的角为45°．

24．【答案】

32

【解析】解（Ⅰ）∵f（x）=x﹣x+cx+d，

22

∴f′（x）=x﹣x+c，要使f（x）有极值，则方程f′（x）=x﹣x+c=0有两个实数解，

从而△=1﹣4c＞0， ∴c＜．

（Ⅱ）∵f（x）在x=2处取得极值， ∴f′（2）=4﹣2+c=0， ∴c=﹣2．

32

∴f（x）=x﹣x﹣2x+d，

2

∵f′（x）=x﹣x﹣2=（x﹣2）（x+1），

∴当x∈（﹣∞，﹣1]时，f′（x）＞0，函数单调递增，当x∈（﹣1，2]时，f′（x）＜0，函数单调递减． ∴x＜0时，f（x）在x=﹣1处取得最大值∵x＜0时，f（x）＜∴

＜

恒成立，

，

，即（d+7）（d﹣1）＞0，

∴d＜﹣7或d＞1，

即d的取值范围是（﹣∞，﹣7）∪（1，+∞）．

【点评】本题考查的知识点是函数在某点取得极值的条件，导数在最大值，最小值问题中的应用，其中根据已知中函数的解析式，求出函数的导函数的解析式，是解答本题的关键．

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25．【答案】

【解析】解：（1）∵B的坐标为（0，1），且线段AB的中点M在直线l：x=﹣上， ∴A点的横坐标为﹣1， 代入椭圆方程

+y2=1，解得y=±

，故点A（﹣1，）或（﹣，﹣

）或点A（﹣1，﹣）．

）、

）．

∴线段AB的中点M（﹣， +

（2）由于F1（﹣1，0），F2（1，0），当AB垂直于x轴时，AB的方程为x=﹣，点A（﹣，﹣B（﹣，求得

•

）， =

．

当AB不垂直于x轴时，设AB的斜率为k，M（﹣，m），A（x1，y1 ），B （x2，y2），

由可得 （x1+x2）+2（y1+y2）•

=0，∴﹣1=﹣4mk，即 k=，

故AB的方程为 y﹣m=再把①代入椭圆方程由判别式△=1﹣

（x+），即 y=+y2=1，可得x2+x+•

x+ ①．

=0．

2

＞0，可得0＜m＜．

∴x1+x2=﹣1，x1•x2=∴

•

2

，y1•y2=（•x1+ ）（x2+ ）， ．

=（x1﹣1，y1 ）•（x2﹣1，y2）=x1•x2+y1•y2﹣（x1+x2）+1=

•

=

= [3t+]．

令t=1+8m，则1＜t＜8，∴再根据 [3t+]在（1，

）上单调递减，在（

，

）．

，8）上单调递增求得 [3t+]的范围为[，）．

综上可得， [3t+]的范围为[

【点评】本题主要考查本题主要考查椭圆的定义、标准方程，以及简单性质的应用，两个向量的数量积公式的应用，直线和二次曲线的关系，考查计算能力，属于难题．

26．【答案】

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【解析】解：（I）由∵cosA=∴sinA=

222

∵5（a+b﹣c）=3

，0＜A＜π，

=， ab，

∴cosC=∵0＜C＜π， ∴sinC=

=，

=，

2

∴cos2C=2cosC﹣1=，

∴cosB=﹣cos（A+C）=﹣cosAcosC+sinAsinC=﹣∵0＜B＜π， ∴B=（II）∵∴a=∵a﹣c=∴a=

=．

=c，

，

×+×=﹣

﹣1，

，c=1，

×1×

=．

∴S=acsinB=×

【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的综合运用，两角和与差的正弦公式等知识．考查学生对基础知识的综合运用．

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