高三数学一轮复习单元训练导数及其应用

大学附中2021届高三数学一轮复习单元训练：导数及其应用

制卷人：打自企； 成别使； 而都那。 审核人：众闪壹； 春壹阑； 各厅…… 日期：2022年二月八日。

本套试卷分第一卷(选择题)和第二卷(非选择题)两局部．满分是150分．考试时间是是120分钟．

第一卷(选择题 一共60分)

一、选择题(本大题一一共12个小题，每一小题5分，一共60分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的) 1．设函数f(x)axc(a0),假设

210f(x)dxf(x0)0x01,那么x0的值是( )

C．

A．

1 2B．

3 43 2D．

3 3【答案】D

2．函数f(x)(x31)(x32)A．0 【答案】C

3．曲线yx1在点〔1,0〕处的切线方程为( )

A．yx1 C． y2x2 【答案】D

4．在△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边．假如a，b，c成等差数列，∠B＝30°，△ABC的面积为A．3，那么b＝( ) 22(x3100)在x1处的导数值为( )

B．100! C．3·99！ D．3·100！

B． yx1 D． y2x2

13 2B．1＋3 C．23 2D．2＋3 【答案】B

日期：2022年二月八日。

日期：2022年二月八日。

5．

(1cosx)dx等于( )

22A． 【答案】D

B．2

C．2 D．2

6．设函数f(x)在区间[a,b]上连续，用分点ax0x1xi1xixnb，把区间[a,b] 等分成n个小区间，在每个小区间[xi1,xi]上任取一点i(i1,2,,n)，作和式Snf()x〔其中x为

ini1小区间的长度〕，那么Sn的大小( )

A．与f(x)和区间[a,b]有关，与分点的个数n和i的取法无关 B． 与f(x)和区间[a,b]和分点的个数n有关，与i的取法无关 C． 与f(x)和区间[a,b]和分点的个数n,i的取法都有关。 D．与f(x)和区间[a,b]和i取法有关，与分点的个数n无关 【答案】C

7．|x4|dx=( )

012A．

21 3B．

22 3C．

23 3D．

25 3【答案】C

58．函数f(x)sinx根据函数的性质、积分的性质和积分的几何意义，探求

f(x)dx的值，结果是

22( ) A．

1+ 62B．

C．1 D． 0

【答案】D

1x0(e2x)dx等于( ) 9．

A．1 【答案】C

B．e1

C．e

D．e1

日期：2022年二月八日。

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10．函数f(x),当自变量由x0变化到x1时函数值的增量与相应的自变量的增量比是函数( )

A．在x0处的变化率 C．在x1处的变化率 【答案】B

11．f(x)xax在[1,)上是单调增函数，那么a的最大值是( )

A．0 【答案】D 12．

B．1

C．2

D．3

3

D．以上结论都不对

B．在区间[x0,x1]上的平均变化率

22e|x|dx的值等于( )

B． 2e2

C． 2e22

D． e2e22

A．e2e2 【答案】C

第二卷(非选择题 一共90分)

二、填空题(本大题一一共4个小题，每一小题5分，一共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．函数y2sinx(0x)与x轴围成的面积是 .

【答案】22 14．

20(x24 32x)dx ． 3【答案】

15．t1，假设(2x1)dxt，那么t= 。 【答案】2 16．求

220cosxdx_______

【答案】0

三、解答题(本大题一一共6个小题，一共70分，解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤)

日期：2022年二月八日。

日期：2022年二月八日。

1,0xc6x17．工厂消费某种产品，交品率p与日产量x〔万件〕间的关系为p〔c为常数，

2,xc3且0c6〕，每消费1件合格产品盈利3元，每出现1件次品亏损1.5元。 (1〕将日盈利额y〔万元〕表示为日产量x〔万件〕的函数；

(2〕为使日盈利额最大，日产量应为多少万件？〔注：次品率=

次品数100%〕

产品总数【答案】〔1〕当xc时，p

2 3y123x3x0 3321当0xc时，p

6x

11339x2x2 y(1)x3x6x6x226x日盈利额y〔万元〕与日产量x〔万件〕的函数关系式为

3(9x2x2),0xcy2(6x)

0,xc (2〕由〔1〕知，当xc时，日盈利额为0。

当0xc时，

3(9x2x2)y

2(6x)3(94x)(6x)(9x2x2)3(x3)(x9)y 222(6x)(6x)令y0得x3或者x9〔舍去〕

①当0c3时，

y0,y在区间(0,c]]上单调递增，

日期：2022年二月八日。

日期：2022年二月八日。

y最大值3(9c2c2)， f(c)2(6c)

此时xc

②当3c6时，在〔0，3〕上，y0， 在〔3，6〕上y0

y最大值f(3)9 2综上，假设0c3，那么当日产量为c万件时，日盈利额最大；

假设3c6，那么当日产量为3万件时，日盈利额最大

18．某商店经销一种奥运会纪念品，每件产品的本钱为30元，并且每卖出一件产品需向税务部门上交a元〔a为常数，2≤a≤5 〕的税收。设每件产品的售价为x元(35≤x≤41),根据场调查,日销售量与

ex(e为自然对数的底数)成反比例。每件产品的日售价为40元时，日销售量为10件。

(1)求该商店的日利润L〔x〕元与每件产品的日售价x元的函数关系式；

(2)当每件产品的日售价为多少元时，该商品的日利润L〔x〕最大，并求出L〔x〕的最大值。

kk10e4040【答案】〔1〕设日销售量为x,则4010,k10e,则日售量为x件.

eee10e4040x30a那么日利润L(x)(x30a)x10e

eex(2〕L'(x)10e4031ax xe'①当2≤a≤4时，33≤a+31≤35，当35 ②当4＜a≤5时，35≤a+31≤36，令L(x)0,得xa31, 易知当x=a+31时，L〔x〕取最大值为10e9a

510(5a)e,(2a4) 9a10e,(4a5)5'综合上得L(x)max日期：2022年二月八日。

日期：2022年二月八日。

19．设函数f(x)x33x2分别在x1、x2处获得极小值、极大值.xoy平面上点A、B的坐标分别为(x1,f(x1))、(x2,f(x2)),该平面上动点P满足PA•PB4,点Q是点P关于直线y2(x4)的对称点.

求：(Ⅰ)点A、B的坐标 ；(Ⅱ)动点Q的轨迹方程．

【答案】 (Ⅰ)令f(x)(x33x2)3x230解得x1或x1 当x1时,f(x)0, 当1x1时,f(x)0 ,当x1时,f(x)0 所以,函数在x1处获得极小值,在x1获得极大值,故

x11,x21,f(1)0,f(1)4

所以, 点A、B的坐标为A(1,0),B(1,4).

(Ⅱ) 设p(m,n)，Q(x,y)，PA•PB1m,n•1m,4nm1n4n4

22ym1yn1xn24 kPQ，所以，又PQ的中点在y2(x4)上，所以

2xm222消去m,n得x8y29.

2220．某地有三个村庄，分别位于等腰直角三角形ABC的三个顶点处，AB=AC=6km，现方案在BC边的高AO

上一点P处建造一个变电站．记P到三个村庄的间隔 之和为y.

(1〕设PBO，求y关于的函数关系式；

(2〕变电站建于何处时，它到三个小区的间隔 之和最小？

【答案】〔1〕在RtAOB中，AB6，所以OB=OA=32，ABCπ,由题意知，0π.

44所以点P到A,B,C的间隔 之和为 y2PBPA2322sin. (3232tan)3232coscos日期：2022年二月八日。

日期：2022年二月八日。

故所求函数关系式为y32322sin0π.

cos4(2〕由〔1〕得y32当02sin11π，从而π. ，令,即，又0y0sin4cos226ππππ2sin时，y0；当时, y0．所以当 时，y432获得最小值，66cosπ，即点P在OA上距O点6km处． 6〔km〕

6此时OP32tan答：变电站建于距O点6km处时，它到三个小区的间隔 之和最小．3

21．某商场销售某种商品的经历说明，该商品每日的销售量y〔单位：千克〕与销售价格x〔单位：元/

千克〕满足关系式

ya10(x6)2x3，其中3可售出该商品11千克。 (I〕求a的值

(II〕假设该商品的成品为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大。

a1011,a2.【答案】〔I〕因为x=5时，y=11，所以2

y210(x6)2,x3

(II〕由〔I〕可知，该商品每日的销售量所以商场每日销售该商品所获得的利润

f(x)(x3)[210(x6)2]210(x3)(x6)2,3x6x3

2f'(x)10[(x6)2(x3)(x6)]30(x4)(x6) 从而，

于是，当x变化时，f'(x),f(x)的变化情况如下表：

日期：2022年二月八日。

日期：2022年二月八日。

由上表可得，x=4是函数f(x)在区间〔3，6〕内的极大值点，也是最大值点； 所以，当x=4时，函数f(x)获得最大值，且最大值等于42。

答：当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大

22．定义在D{xR|x0}上的函数f(x)满足两个条件：①对于任意x、yD，都有

x2y2 f(x)f(y)f(xy)；②曲线yf(x)存在与直线xy10平行的切线.

xy (Ⅰ〕求过点(1,)的曲线yf(x)的切线的一般式方程； (Ⅱ〕当x(0,)，nN时，求证：f(x)f(x)22.

【答案】〔Ⅰ〕令xy1得，f(1)f(1)2，解得f(1)1或者f(1)2.

2nnn14x2111 当f(1)1时，令y1得，f(x)，即f(x)(x)，

2x2x f(x)11(12)，由f(x)1得，x21，此方程在D上无解，这说 2x 明曲线yf(x)不存在与直线xy10平行的切线，不合题意，那么f(1)2，

x2111 此时，令y1得，f(x)，即f(x)x，f(x)12，

xxx 由f(x)1得，x21，此方程在D上有解，符合题意. 2 设过点(1,)的切线切曲线yf(x)于(x0,x01411)，那么切线的斜率为12， x0x0 其方程为yx02111(12)(xx0)，把点(1,)的坐标代入整理得，

4x0x02或者x02， 5 5x08x040，解得x0 把x02或者x02分别代入上述方程得所求的切线方程是 5213 yx5和yx1，即21x4y200和3x4y40.

441 (Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知f(x)x，当nN时，

x日期：2022年二月八日。

日期：2022年二月八日。

11fn(x)f(xn)(x)n(xnn)xx1111n112n2n22n1 CnxCnx2Cnxn2Cnx n1

xxxx11n22n4n2n11 CnxCnxCnCnxn4xn2由x(0,)，nN知，x(0,)，那么

1n22n4n22(fn(x)f(xn))CnxCnxCnn1xn4

n1 Cn1xn2n2Cnxxn2

12n41n2CxCxnnn41xn4n1Cn n1Cn 11n22n4n2 CnxCnxCn1xn2

1 Cn1xn22Cn1xn4n2n4n1n2CnxCnx

1 Cn(xn21x12n1 2Cn2Cn2Cn2n4)C(xnn21xn1n2)C(xnn41xn2)

12n1 2(CnCnCn)

012n1n0n 2[(CnCnCnCnCn)CnCn] 2(2n2) 所以f(x)f(x)22.

制卷人：打自企； 成别使； 而都那。 审核人：众闪壹； 春壹阑； 各厅…… 日期：2022年二月八日。

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日期：2022年二月八日。