曾谨言量子力学第五版答案

【篇一：量子力学 第四版 卷一 (曾谨言 著)习题答案】

量子力学的诞生 1

m?2x2中运动，用量子化条件求粒子能量e的可能取值。 2 p?2m[e?v(x)]v() n?1,2,? ,

解：能量为e的粒子在谐振子势中的活动范围为 x?a（1） 其中a由下式决定：e?v(x)x?a?由此得a? 1

m?2a2。 ?a 0 a x 2 2e/m?2 ， （2）

x??a即为粒子运动的转折点。有量子化条件 p?得a? 2

a2?nh

代入（ en

x,y,z轴三个x xx

即 px?2a?nxh（2a：一来一回为一个周期） pxnxh/2a,

同理可得， py?nyh/2b, pz?nzh/2c, nx,ny,nz?1,2,3,? 粒子能量 enxnynz

1?2?2222?(px?py?pz)?2m2m 222??nxnyn?? ?2?z 22??abc??

nx,ny,nz?1,2,3,?

1.3设一个平面转子的转动惯量为i，求能量的可能取值。 提示：利用 2? 2

p?d??nh,n?1,2,?, p?是平面转子的角动量。转子的能量e?p?/2i。

解：平面转子的转角（角位移）记为?。

它的角动量p??i?（广义动量），p?是运动惯量。按量子化条件 . 2?

p?dx?2?p?

mh,m1,2,3,

因而平面转子的能量 p??mh， 2

em?p?/2i?m2?2/2i， m?1,2,3,?

1.4有一带电荷e质量m的粒子在平面内运动,b,求粒子能量允许值 .

,设圆半径是r,线速度是v,用高斯制单

bevc又利用量子化条件,令电荷角动量 转角 2?

pdq??

mrvd??2?mrv?nh (2) 12be?n

mv? 22mc

即 mrv?nh(3) 由(1)(2)求得电荷动能=

再求运动电荷在磁场中的磁势能,按电磁学通电导体在磁场中的势能 v磁矩*场强电流*线圈面积*场强ev*?r2*b =,v是电荷的旋转频率, v?,代入前式得 2?rccc be?n

(符号是正的) 2mc be?n

点电荷的总能量=动能+磁势能=e= ( n?1,2,3) 2mc

运动电荷的磁势能= 1.5，1.6未找到答案

1.7（1）试用fermat最小光程原理导出光的折射定律 nsin??nsin? 1 1

2 2

（2）光的波动论的拥护者曾向光的微粒论者提出下述非难： 如认为光是粒子，则其运动遵守最小作用量原理 射定律

0这将导得下述折 n

sin??nsin? 1 3 3 1

媒质到另一种媒质e仍不变，仍有?

e是粒子能量，从一种?pdl?0a到定点b的

i?n设ai?n1122又ab沿界面的投影c也是常数，因而 ，? 1 2

存在约束条件：

atg?1?btg?2?c（2） 求(1)的变分,而将 , 1 2

看作能变化的,有以下极值条件

in1asec1tg1d1n2bsec2tg2d20 (3) 再求（2）的变分asec 2 2

bsec1d12d2c0 (3)与(4)消去d 和d? 12 2 2 得

nsin??nsin? 1

1 (5)

[乙法]见同一图,取x为变分参数,取0为原点，则有: i? n 1

a2?x2?n2b2?(c?x2)

求此式变分,令之为零,有： ?i? x?x 1 a?x 22

(c?x)?x 2

(cx) 22 0

这个式子从图中几何关系得知,就是(5).

(2)按前述论点光若看作微粒则粒子速度v应等于光波的群速度 v g

光程原理作? ,依前题相速 v p c2 v ,而 v g c2 g v

cn,n是折射率,n是波前阵面更引起的,vp,这样最小作用 p

量原理仍可以化成最小光程原理. ndl?0

前一非难是将光子的传播速度v看作相速度 v p

的误解.

1.8对高速运动的粒子(静质量m) (3)

.计算速度并证明它大于光速.

(解)根据(3)式来组成哈氏正则方程式组: q i

h

,本题中 i q i v,

p?p,因而 i

m2c4?c2p2?v??p c2pmc?cp 2 4 2 2 (4)

从前式解出p(用v表示)即得到(2).又若将(2)代入(3),就可得到(1)式. 其次求粒子速度v和它的物质波的群速度 v g

间的关系.运用德氏的假设: p??k于(3)式右方, 又用 e于(3)式左方,遍除h: m2c422

ck??(k) 2

按照波包理论，波包群速度 v g

是角频率丢波数的一阶导数： vg?k =

m2c422 ck 2

c2kmc22 ck2 2 4

c2pmc?cp 2 4 2 2

最后一式按照（4）式等于粒子速度v，因而又按一般的波动理论，波的相速度 v g

v。 v g

是由下式规定 vp k

（?是频率）

利用（5）式得知

m2c42??c?c （6） vp?2k2 e?p 补充：

1.1设质量为m的粒子在一维无限深势阱中运动， ,x?0,x?a

v(x)??

0,0?x?a?

试用de broglie的驻波条件，求粒子能量的可能取值。

【篇二：《量子力学导论》习题答案(曾谨言版,北京大

学)1】

/p> ??,x?0,x?a

1.1设质量为m的粒子在一维无限深势阱中运动， v(x)?? 0,0?x?a?

试用de broglie的驻波条件，求粒子能量的可能取值。 解：据驻波条件，有 a?n? 2

(n?1,2,3,?)

2a/n （1）

又据de broglie关系 p?h/?（2） 而能量 e?p2/2m??2/2m?2 h2n2?2?2n2

2m?4a22ma2 n1,2,3, （3）

1.2设粒子在长、宽、高分别为a,b,c的箱内运动，试用量子化条件求粒子能量的可能取值。

解：除了与箱壁碰撞外，粒子在箱内作自由运动。假设粒子与箱壁碰撞不引起内部激发，则碰撞为弹性碰撞。动量大小不改变，仅方向反向。选箱的长、宽、高三个方向为x,y,z轴方向，把粒子沿x,y,z轴三个方向的运动分开处理。利用量子化条件，对于x方向，有 p x

dxnxh, nx

1,2,3,

即 px?2a?nxh（2a：一来一回为一个周期） pxnxh/2a,

同理可得， py?nyh/2b, pz?nzh/2c, nx,ny,nz?1,2,3,?

粒子能量 enxnynz

1?2?2222?(px?py?pz)?2m2m nx,ny,nz?1,2,3,? 222??nxnynz a2b2c2

1.3设质量为m的粒子在谐振子势v(x)? 提示：利用 p?dx?nh, 1

m?2x2中运动，用量子化条件求粒子能量e的可能取值。 2 p?2m[e?v(x)]v() n?1,2,?,

解：能量为e的粒子在谐振子势中的活动范围为 x?a（1） 其中a由下式决定：e?v(x)x?a?由此得a? 1

m?2a2。 ?a 0ax 2 2e/m?2 ， （2）

x??a即为粒子运动的转折点。有量子化条件 p?dx?2? dx2ma 2m?a2? 得a? 2 2

ma2nh nh2?n

（3） m??m?

代入（2），解出 en?n??, n?1,2,3,?（4） ua2u22

a?udu?a?u?arcsin?c 22a 2 2

积分公式： 2?

1.4设一个平面转子的转动惯量为i，求能量的可能取值。 提示：利用

2

p?d??nh,n?1,2,?, p?是平面转子的角动量。转子的能量e?p?/2i。 解：平面转子的转角（角位移）记为?。

它的角动量p??i?（广义动量），p?是运动惯量。按量子化条件 . 2?

p?dx?2?p?

mh,m1,2,3,

因而平面转子的能量 p??mh， 2

em?p?/2i?m2?2/2i， m?1,2,3,?

第二章 波函数与schr?dinger方程 2.1设质量为m的粒子在势场v(r? )中运动。

（a）证明粒子的能量平均值为 e?? d3

r??， 2 2m

*?*v?（能量密度） （b）证明能量守恒公

式 ?w?ts?0???2???*s?2m*tt???（能流密度） ?

证：（a）粒子的能量平均值为（设?已归一化） 2e?*

2?2m??vd3 r?t?v（1）

v??d3r?*v?（势能平均值） （2） t??d3 r?*

22? 2m

(动能平均值) 22m

d3r**

其中t的第一项可化为面积分，而在无穷远处归一化的波函数必然为0。?2t?2m

d3r*（3） 结合式（1）、（2）和（3），可知能量密度2 2m

*?*v?, （4） 且能量平均值 e?? d3

r?? 。

（b）由（4）式，得 2 ...

t2m

*?v???*v????t?t?? tt

2?.2m.*?.?.22*?.

t?t???tt??v???*v t?t

.2???.

s???22?*?t???2m?2 vt2mv

s?e???.???. *

t???t?? 因此

s?e? （? ：几率密度） t

s （定态波函数，几率密度?不随时间改变） 所以 w

s?0 。 ?t

2.2考虑单粒子的schr?dinger方程 22?

i??r,tr,t???v1?r??iv2?r????r,t?（1） ?t2m v1与v2为实函数。

（a）证明粒子的几率（粒子数）不守恒。

（b）证明粒子在空间体积?内的几率随时间的变化为 2v2d3***

drds??????dt?2ims? 3*

dr?? ???

证：（a）式（1）取复共轭， 得 *22*

v1?iv2??* （2） ?i t2m

*（1）-??（2）,得 *2*2

i2?*?2i?*v2??t2m 2

**?2iv2?*? 2m

2v?*?

*??????*??2??*??（3） ?t2im? 2v2j0 ， 即 ?t?

此即几率不守恒的微分表达式。

（b）式（3）对空间体积?积分，得

23***33*dr?dr?drv2?t?2im 2**3*

ds?drv??2???2ims??

上式右边第一项代表单位时间内粒子经过表面进入体积?的几率（j?ds ） ，而第二项代表体积?中“产

生”的几率，这一项表征几率（或粒子数）不守恒。 2.3 设?1和?2是schr?dinger方程的两个解，证明

d?*?3

dr?r,t?r,t??0。 12 dt?

1??22

证： ?iv?1（1） t?2m? 2??22

iv2（2） t?2m?

取（1）之复共轭： ?i*1?t??22 *2mv

12（3）??*1?（2）,得 i2

*2*t122m 2*11?2?2? 对全空间积分：

id3*2dtdr32**2 1?r,t??2?r,t?2m

dr2112 23*2m

dr21*122*1* 12?? 2

d3r*2m 21*12 22m **?

2112ds0，（无穷远边界面上，?1,?2?0）即 ddt d3r*

1r,.t??2r,t? 0。

2.4）设一维自由粒子的初态??x,0??e ip0x/?

， 求??x,t?。

i??解： ??x,t??e?pp2? 0x02mt/

2.5 设一维自由粒子的初态??x,0x?，求?x,t?2 。

提示：利用积分公式 cos2 d2 d 2

sin? （3）

【篇三：量子力学曾谨言第五版第三章讲课稿(知识点)】

>1、一维运动问题的一般分析(general analysis for 1d problems) 一、一维定态薛定谔方程的解的一般性质

(general properties of solutions of stationary 1d schr?dinger equation ) 考虑质量为m的粒子在势场v(x)中运动，薛定谔方程为 2

2d?(x)v(x)是哈密顿量。 式中h 2mdx2

对定态（即具有确定能量e的状态），波函数表示为：

(x)(x)e(x)。 其中?(x)满足一维定态薛定谔（或能量本征）方程：h

定态薛定谔方程的解有如下的规律： (i)、共轭定理(conjugate theorem)：

若?(x)是定态薛定谔方程的解，对应的能量本征值为e, 则?(x)也是该方程的解，且对应于

同一能量e。

(x)[证] 由于v(x)?v(x)是实函数，则有h *

(x)*(x)e*(x)，即?(x)也是方程的解，且对应于同一能?(x)?(x)?e?(x)，则有h程：h

量e。

简并和非简并(degeneracy and non-degeneracy)：

若对一个给定的能量e，只存在一个线性的本征函数，则称该能级是非简并的； 反之，多个相互的能量本征函数具有相同能量本征值的现象称为简并， 而把对应的本征函数的个数

49 作者：张宏标（任课教师） 版权作者所有，未经许可不得复制。 ) d2

v(x)是实的。若?(x)满足能量本征方2 2mdx 2

称为它的简并度。

(ii)、当v(x)为实函数时，一维定态波函数可取为实函数。 [证] 分能级无简并和有简并两种情况来证明

(1)、能级无简并情况：对应能级e，只有一个的本征波函数。 设?(x)为能量值为e的本征波函数，能量本征方程：

(x)*(x)e*(x)，即?*(x)也是与e对应的本征波函数。 取复共轭，因v*(x)?v(x)，则h

因能级无简并， 有 ?(x)?c?(x) ? ?(x)?c?(x)?c即?(x)可取为实函数。 (2)、能级有简并情况：对应某一能级e，有两个或两个以上的本征波函数。 设与能级e所对应的本征波函数为波函数集合?i(x)i?1,2, *

取复共轭

(x)?e?(x) hii*(x)?e?*(x)?i?1,2,取共轭，得 hii 征波函数。

只要?i(x)i?1,2,

(x)(x)e(x)， h ** 2

(x)cei，可取??0， ,f，能量本征方程为 i1, 2, , f

,f?， 则集合?i*(x)i?1,2,

,f也是与e对应的本 *

,f?中有一个波函数（例如?j）不是实函数，那么就可用实函数 ??j??j? *

或??i?j??j?来取代?j，最后总能组合成一组实函数。

所以，当v(x)为实函数时，一维定态波函数可取为实函数。 下面一条性质涉及空间反射变换和宇称。 x??x

代表空间反射变换：p??(x)??(?x) 做空间反射变换： ，用算符p (x)(x)

(x)?(x) 宇称本征方程：p

可证?为实数。只有当?为实数时，该方程才是本征方程。因为按照基本假定，本征值与测量值相对

50 作者：张宏标（任课教师） 版权作者所有，未经许可不得复制。 应，而测量值总是实数。

的本征值?。 宇称（parity）：空间反射变换算符p 宇称的可能取值： 2(x)p 2

(x)?p

(x)偶(正)宇称(even parity)??(x)??(?x)??，即波函数?(x)满足?(?x)(x)，则称?p?

(x) 奇(负)宇称(odd parity)

(x)有正的(对“+”号)或负的(对“-”号)宇称。还有一些波函数没有确定的宇称, 它们不是空间反

射算符的本征态。宇称是态的重要量子力学性质，它具有“纯量子力学”的特征，在经典力学中没有对应物。 (iii)、反射定理(reflection theorem)

x)。若?(x)是能量本征设势能函数v(x)是关于原点对称（或空间反射不变性），即v(x)?v(?

方程属于能量本征值e的解，则?(?x)也是该方程同一能量本征值e的解。

(x)(x)e(x) [证] 设?(x)是与一个能级e对应的本征波函数，即h 空间反射不变h?(?x)?h?(x)，则 做空间反射变换， 因v(?x)?v(x)，故h

(x)(x)e(x) h

所以，?(?x)也是属于能量值e的本征波函数。 推论（corollary）：当v(x)具有空间反射不变性时，则 (1)、对于无简并的能级，定态波函数必有确定的宇称。

(2)、若能级有简并，则总能找到一组简并的定态波函数，其中每一个波函数都有确定的宇称。

(x)?(x)1，即证明：(1)、能级无简并情况： 因能级无简并，则?(?x)?c?(x)?p (x)具有确定的宇称。

51 作者：张宏标（任课教师） 版权作者所有，未经许可不得复制。 pp(x)p(x)(x)22 1?1 ??(x)(x)?2 pp(x)p(x)(x)

(2)、能级有简并情况： 设集合?i(x)i?1,2, (x)?e?(x) hii

(?x)?e?(?x) （i?1,2,空间反射得： hii 波函数。

只要??i(x)?中有一个无确定宇称的波函数， 例如?j(x)，就可用有确定宇称的组合 1

(x)??(?x)?(x)??j(x)??j(?x)j(x)??j(?x)?来取代，而, 最后总能组合成jj?j2 一组具有确定宇称的解。

总之，若v(x)空间反射不变，则无简并的定态波函数必有确定的宇称。对于简并的能级，总可以组合成有确定宇称的一组简并波函数。 [例] 对于自由粒子，由于v(x)?0为实函数，且具有空间反射不变性。 22

ppxx[解] 哈密顿量h的本征值e?是二度简并的，对应两个的定态波函数： 2m2m

它们不是实函数，也不具有确定的宇称。但总能组合成一组实的定态波函数 ipx

(x)?a?eeipx x x

(x)ia?e

(x)?(x)。 它们具有确定宇称p??

除了波函数的自然条件外，有时还要用到波函数一阶导数??(x)的连接条件。

(iv)、①. 在某处x?x0点，若v(x)连续或发生阶梯形跃变，则波函数的一阶导数??(x0)连续； ②. 在x?x0点处，若v(x)处间断且为无限大，则??(x0)不连续，其连接条件可由v(x)在x?x0点的性质推导得到。

[证] 定态薛定格方程为：(x)?

52 作者：张宏标（任课教师） 版权作者所有，未经许可不得复制。 ,f是与能级e对应的本征波函数 i?1,2,,f（f是简并度）

,f），所以，集合??i(?x)?也是与e对应的定态

p(x)?ae?ipx， x x

ipxx e

ipxx

sx??p??aco n(x??asip xx

偶宇称 )奇宇称

(even parity)(odd parity) 2m 2

ev(x)(x)0

对上式先积分再取极限lim? 0

x0??x0?? 2mx0??

(x)dx??2??e?v(x)??(x)dx x0??

①. 在x?x0点，当v(x)连续或阶梯形跃变时， 由于?e?v(x)??(x)有限，当??0时积分?

因此，即在x?x0点，??(x)连续。

②. 在x?x0点，当v(x)间断且为无限大时，如??势阱：v(x)??v0?(x?x0)??(x0??)(x0??)??

因此，在x?x0点，??(x)不连续， 连接条件为：

2?1??常数。 (v)、若?1(x)和?2(x)都是能级本征值e所对应的本征波函数，则有?1?22?1?。 而对于束缚态（即lim?(x)?0），则为?1?2 x 2m

(x)ev(x)1(x)0 (1)21 [证] 由已知得?

(x)?2m?e?v(x)??(x)?0(2)222?? 由?1?(2)??2?(1)得： (x)?

21(x)0 12

当?1和?2为束缚态时，有lim?1(x)?0和lim?2(x)?0，则有 x x

53 作者：张宏标（任课教师） 版权作者所有，未经许可不得复制。 x0??x0? dx 得 x0??x0??

ev(x)(x)dx 0，即 2m 2

lim??e?v?0(x?x)0??(x)dx0 x0?? x0?? 2mv0 2

(x)0。 d

1?2?(x)2?1?(x)0 dx