二项式定理各种题型解题技巧

1．二项式定理：

0n1n1(ab)nCnaCnabrnrrCnabnnCnb(nN)，

2．基本概念：

①二项式展开式：右边的多项式叫做(ab)n的二项展开式。

r②二项式系数:展开式中各项的系数Cn(r0,1,2,,n).

③项数：共(r1)项，是关于a与b的齐次多项式

④通项：展开式中的第r1项Cnranrbr叫做二项式展开式的通项。用

rnrrTr1Cnab表示。

3．注意关键点：

①项数：展开式中总共有(n1)项。

②顺序：注意正确选择a,b,其顺序不能更改。(ab)n与(ba)n是不同的。 ③指数：a的指数从n逐项减到0，是降幂排列。b的指数从0逐项减到n，

是升幂排列。各项的次数和等于n.

④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是

012rnCn,Cn,Cn,,Cn,,Cn.项的系数是a与b的系数（包括二项式系数）。

4．常用的结论：

122xCnx令a1,bx, (1x)nCn0Cn122xCnx令a1,bx, (1x)nCn0CnrrCnxrrCnxnnCnx(nN) nn(1)nCnx(nN)

5．性质：

①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，

即Cn0Cnn，···CnkCnk1

②二项式系数和：令ab1,则二项式系数的和为

012CnCnCn12Cn 变形式CnrCnrCnnCn2n， nCn2n1。

③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和：

123CnCn在二项式定理中，令a1,b1，则Cn0Cnn(1)nCn(11)n0，

13从而得到：Cn0Cn2Cn4Cn2rCnCn12r1Cn2n2n1

2④奇数项的系数和与偶数项的系数和：

⑤二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数n是偶数时，则中间一项的二项式系数C取得最大值。

如果二项式的幂指数n是奇数时，则中间两项的二

项式系数Cn12nn2n,Cn12n同时取得最大值。

⑥系数的最大项：求(abx)n展开式中最大的项，一般采用待定系数法。设

展开式中各项系数分别

为A1,A2,,An1，设第r1项系数最大，应有从而解出r来。

6．二项式定理的十一种考题的解法： 题型一：二项式定理的逆用；

123Cn6Cn62例：CnnCn6n1 .

nCn6n与已知的有一些差距，

Ar1Ar，

Ar1Ar21236Cn62Cn63解：(16)nCn0Cn1233Cn9Cn练：Cnn3n1Cn .

n3n1Cn，则

1233Cn9Cn解：设SnCn122333SnCn3Cn3Cn3nn012233Cn3CnCn3Cn3Cn3nnCn31(13)n1(13)n14n1 Sn33题型二：利用通项公式求xn的系数； 例：在二项式(4的系数？

解：由条件知Cnn245，即Cn245，n2n900，解得n9(舍去)或n10，

由

Tr1C(x)r101410r132nx)的展开式中倒数第3项的系数为45，求含有x3的项x(x)Cx23rr1010r2r43，由题意10r2r3,解得r6， 4363x210x3,系数为210。 则含有x3的项是第7项T61C1019)展开式中x9的系数？ 2x111解：Tr1C9r(x2)9r()rC9rx182r()rxrC9r()rx183r，令183r9,则r3

2x22121故x9的系数为C93()3。

22练：求(x2题型三：利用通项公式求常数项； 例：求二项式(x2解：Tr1C(x)r10210r12x1)10的展开式中的常数项？

r1r2055()C()x2，令20r0，得r8，所以

222xrr1045818 T9C10()225616)的展开式中的常数项？ 2x11解：Tr1C6r(2x)6r(1)r()r(1)rC6r26r()rx62r，令62r0，得r3，所以

2x2练：求二项式(2x3T4(1)3C620

练：若(x2)n的二项展开式中第5项为常数项，则n____. 解：T5Cn4(x2)n4()4Cn4x2n12，令2n120，得n6. 题型四：利用通项公式，再讨论而确定有理数项； 例：求二项式(x3x)9展开式中的有理项？ 解：Tr1C(x)(x)(1)Cxr9rr9129r13r27r61x1x，令

27r Z,(0r9)得r3或r9，

627r34x84x4， 4，T4(1)3C9627r93xx3。 当r9时，3，T10(1)3C96所以当r3时，

题型五：奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和； 例：若(x23解：设(x231x21x2)n展开式中偶数项系数和为256，求n.

)n展开式中各项系数依次设为a0,a1,an,

令x1,则有a0a1an0,①，令x1,则有

a0a1a2a3(1)nan2n,②

将①-②得：2(a1a3a5)2n,a1a3a52n1, 有题意得，2n125628，n9。 练：若(3151n)的展开式中，所有的奇数项的系数和为1024，求它的中xx2间项。

13Cn解：Cn0Cn2Cn4Cn2rCn2r1Cn2n1，2n11024，解得

n11

所以中间两个项分别为n6,n7，T51Cn5(3)6(51x15)462x4，2xT61462x6115

题型六：最大系数，最大项；

例：已知(2x)n，若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差

数列，求展开式中二项式系数最大项的系数是多少？

解：Cn4Cn62Cn5,n221n980,解出n7或n14，当n7时，展开式中

二项式系数最大的项是T4和T5T4的系数C73()4231235,，2124134展开式中二项式系数最大的项是T8，T5的系数C7()270,当n14时，

27177T8的系数C14()23432。

2练：在(ab)2n的展开式中，二项式系数最大的项是多少？ 解：二项式的幂指数是偶数2n，则中间一项的二项式系数最大，即

T2n21Tn1，也就是第n1项。

练：在(3)n的展开式中，只有第5项的二项式最大，则展开式中的常数

项是多少？

解：只有第5项的二项式最大，则15，即n8,所以展开式中常数项为

第七项等于C86()27

例：写出在(ab)7的展开式中，系数最大的项？系数最小的项？ 解：因为二项式的幂指数7是奇数，所以中间两项(第4,5项)的二项式系数

434T5C7ab系相等，且同时取得最大值，从而有T4C73a4b3的系数最小，

x21xn212数最大。

例：若展开式前三项的二项式系数和等于79，求(2x)n的展开式中系数

最大的项？

1212Cn79,解出n12,假设Tr1项最大，(2x)12()12(14x)12 解：由Cn0Cn1212rrr1r1Ar1ArC124C124，化简得到9.4r10.4，又0r12，rrr1r1AAr1r2C124C12411010104x166x10 r10，展开式中系数最大的项为T11,有T11()12C122练：在(12x)10的展开式中系数最大的项是多少？

r2rxr 解：假设Tr1项最大，Tr1C10rrr1r1Ar1Ar2(11r)rC102C102rr解得，化简得到6.3k7.3，r1r1r12(10r)Ar1Ar2C102C102,7772x15360x7. 又0r10，r7，展开式中系数最大的项为T8C10题型七：含有三项变两项；

例：求当(x23x2)5的展开式中x的一次项的系数？

解法①：(x23x2)5[(x22)3x]5，Tr1C5r(x22)5r(3x)r，当且仅当r1时，

1(x22)43x，所Tr1的展开式中才有x的一次项，此时Tr1T2C5144C423x 以x得一次项为C5144C423240。 它的系数为C5解法②：

05145051455(x23x2)5(x1)5(x2)5(C5xC5xC5)(C5xC5x2C52)

故展开式中含x的项为C54xC5525C54x24240x，故展开式中x的系数为240. 练：求式子(x解：(x12)3的常数项？ x1162)3(x)，设第r1项为常数项，则xxrTr1C6(1)rx6r(1r62rr)(1)6C6x，得62r0,r3, x3T31(1)3C620.

题型八：两个二项式相乘； 例：求(12x)3(1x)4展开式中x2的系数.

mm(2x)mC32mxm, 解：(12x)3的展开式的通项是C3令mn2,则m0且n2,m1且n1,m2且n0,因此(12x)3(1x)4

2110的展开式中x2的系数等于C3020C4(1)2C321C4(1)1C3222C4(1)06.

练：求(13x)6(14)10展开式中的常数项.

mn4m3n110m3nmn解：(1x)(14)展开式的通项为C6xC10x4C6C10x12

x36003468时得展开式中的常数项为C6C10C6C10C6C104246.

1x练：已知(1xx2)(x解：(x1n)的展开式中没有常数项,nN*且2n8,则n______. 3x1nrnr3rrn4r)展开式的通项为CxxCx,通项分别与前面的三项相乘可得 nn3x题型九：奇数项的系数和与偶数项的系数和；

例：在(x2)2006的二项展开式中,含x的奇次幂的项之和为S,当x2时,S_____. 解：设(x2)2006=a0a1x1a2x2a3x3a2006x2006-------① 题型十：赋值法；

例：设二项式(33x)n的展开式的各项系数的和为p，所有二项式系数的

和为s,若

ps272,则n等于多少？

1x解：若(33x)na0a1xa2x2anxn，有Pa0a1an，

0nSCnCn2n，

1x 令x1得P4n，又ps272,即4n2n272(2n17)(2n16)0解得

2n16或2n17(舍去)，n4.

练：若3x1的展开式中各项系数之和为，则展开式的常数项为多xn少？

1n3x解：令x1，则的展开式中各项系数之和为2，所以n6，xn则展开式的常数项为C63(3x)3(例：

若(12x)2009a0a1x1a2x2a3x313)540. xa2009x2009(xR),则aa1a222009的值为2009222

解：令x,可得a012aa2009a1a2a1a2220090,a0 222200922222009练：若(x2)5a5x5a4x4a3x3a2x2a1x1a0,则a1a2a3a4a5____. 解：令x0得a032,令x1得a0a1a2a3a4a51, 题型十一：整除性；

例：证明：32n28n9(nN*)能被整除 证：32n28n99n18n9(81)n18n9

由于各项均能被整除32n28n9(nN*)能被整除