椭圆双曲线抛物线典型例题整理

一、已知椭圆焦点的位置，求椭圆的标准方程。

例1：已知椭圆的焦点是F1(0，－1)、F2(0,1)，P是椭圆上一点，并且PF1＋PF2＝2F1F2，求椭圆的标准方程。

2．已知椭圆的两个焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，且2a＝10，求椭圆的标准方程．

二、未知椭圆焦点的位置，求椭圆的标准方程。

0，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆例：1. 椭圆的一个顶点为A2，的标准方程．

三、椭圆的焦点位置由其它方程间接给出，求椭圆的标准方程。

例．求过点(－3,2)且与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆的标准方

94程．

四、与直线相结合的问题，求椭圆的标准方程。

例： 已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆与直线xy10交于A、B两点，M为AB中点，OM的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程．

五、求椭圆的离心率问题。

例1 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率．

例

x2y211的离心率e，求k的值． 2 已知椭圆

k2x2y2

六、由椭圆内的三角形周长、面积有关的问题

例：1.若△ABC的两个顶点坐标A(－4,0)，B(4,0)，△ABC的周长为18，求顶点C的轨迹方程。

x2y2

2．已知椭圆的标准方程是2＋＝1(a>5)，它的两焦点分别是F1，F2，

a25

且F1F2＝8，弦AB过点F1，求△ABF2的周长．

x2y2

3．设F1、F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，且

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PF1∶PF2＝2∶1，求△PF1F2的面积．

七、直线与椭圆的位置问题 例 已知椭圆程．

解法一：设所求直线的斜率为k，则直线方程为y椭圆方程，并整理得

2k22k由韦达定理得x1x212k211kx．代入22x211y21，求过点P，且被P平分的弦所在的直线方222．

12∵P是弦中点，∴x1x21．故得k． 所以所求直线方程为2x4y30． 解法二：设过P意得

2x12x22y12y20． ⑤ ①－②得2yy11将③、④代入⑤得12，即直线的斜率为．

x1x22211，的直线与椭圆交于Ax1，y1、Bx2，y2，则由题22所求直线方程为2x4y30． 八、椭圆中的最值问题

x2y2例 椭圆1的右焦点为F1612，过点A1，3，点M在椭圆上，当

AM2MF为最小值时，求点M的坐标．

双曲线典型例题

二、根据已知条件，求双曲线的标准方程。

例2 根据下列条件，求双曲线的标准方程．

（1）过点P3，，Q15416，5且焦点在坐标轴上． 3（2）c6，经过点（－5，2），焦点在x轴上．

x2y22 （3）与双曲线1有相同焦点，且经过点32，1第 2 页

三、求与双曲线有关的角度问题。 例

x2y23 已知双曲线1的右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线上

916的左支上且PF1PF232，求F1PF2的大小．

（2）题目的“点P在双曲线的左支上”这个条件非常关键，应引起我们的重视，若将这一条件改为“点P在双曲线上”结论如何改变呢？请读者试探索．

四、求与双曲线有关的三角形的面积问题。

例

x24 已知F1、F2是双曲线y21的两个焦点，点P在双曲线上且

4满足F1PF290，求F1PF2的面积．

分析：利用双曲线的定义及F1PF2中的勾股定理可求F1PF2的面积． 五、根据双曲线的定义求其标准方程。

0、F25，0，例5 已知两点F15，求与它们的距离差的绝对值是6的

点的轨迹．

例

x2y21上一点，F1、F2是双曲线的两个焦点，且P是双曲线36PF117，求PF2的值．

六、求与圆有关的双曲线方程。

例6 求下列动圆圆心M的轨迹方程：

x22y22内切，且过点A2，0 （1）与⊙C：（2）与⊙C1：x2y121与⊙C2：x2y124都外切．

x32y29外切，且与⊙C2：x32y21内切． （3）与⊙C1：抛物线典型例题

一、求抛物线的标准方程。

例1 指出抛物线的焦点坐标、准线方程． （1）x24y （2）xay2(a0) 二、求直线与抛物线相结合的问题

例2 若直线ykx2与抛物线y28x交于A、B两点，且AB中点的横坐标为2，求此直线方程．

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三、求直线中的参数问题 例3（1）设抛物线y24x被直线y2xk截得的弦长为35，求k值． （2）以（1）中的弦为底边，以x轴上的点P为顶点作三角形，当三角形的面积为9时，求P点坐标． 四、与抛物线有关的最值问题

例4 定长为3的线段AB的端点A、求AB的B在抛物线y2x上移动，中点到y轴的距离的最小值，并求出此时AB中点的坐标．

椭圆典型例题

一、已知椭圆焦点的位置，求椭圆的标准方程。

例1：已知椭圆的焦点是F1(0，－1)、F2(0,1)，P是椭圆上一点，并且PF1＋PF2＝2F1F2，求椭圆的标准方程。 二、未知椭圆焦点的位置，求椭圆的标准方程。

0，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆例：1. 椭圆的一个顶点为A2，的标准方程．

三、椭圆的焦点位置由其它方程间接给出，求椭圆的标准方程。

例．求过点(－3,2)且与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆的标准方

94程．

四、与直线相结合的问题，求椭圆的标准方程。

例： 已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆与直线xy10交于A、B两点，M为AB中点，OM的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程．

五、求椭圆的离心率问题。

例 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率． 六、由椭圆内的三角形周长、面积有关的问题

例：1.若△ABC的两个顶点坐标A(－4,0)，B(4,0)，△ABC的周长为18，求顶点C的轨迹方程。

x2y2

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x2y2

2．已知椭圆的标准方程是2＋＝1(a>5)，它的两焦点分别是F1，F2，

a25

且F1F2＝8，弦AB过点F1，求△ABF2的周长．

x2y2

3．设F1、F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，且

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PF1∶PF2＝2∶1，求△PF1F2的面积．

七、直线与椭圆的位置问题 例 已知椭圆

x211y21，求过点P，且被P平分的弦所在的直线方222程．

八、椭圆中的最值问题

x2y2例 椭圆1的右焦点为F1612，过点A1，3，点M在椭圆上，当

AM2MF为最小值时，求点M的坐标．

双曲线典型例题

一、根据方程的特点判断圆锥曲线的类型。 例1

x2y21表示何种圆锥曲线，它们有何共同特征． 讨论

25k9k二、根据已知条件，求双曲线的标准方程。

例2 根据下列条件，求双曲线的标准方程．

（1）过点P3，，Q15416，5且焦点在坐标轴上． 3（2）c6，经过点（－5，2），焦点在x轴上．

x2y22 （3）与双曲线1有相同焦点，且经过点32，1三、求与双曲线有关的角度问题。 例

x2y23 已知双曲线1的右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线上

916的左支上且PF1PF232，求F1PF2的大小．

题目的“点P在双曲线的左支上”这个条件非常关键，应引起我们的重视，若将这一条件改为“点P在双曲线上”结论如何改变呢？

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四、求与双曲线有关的三角形的面积问题。

例

x24 已知F1、F2是双曲线y21的两个焦点，点P在双曲线上且

4满足F1PF290，求F1PF2的面积．

五、根据双曲线的定义求其标准方程。

0、F25，0，例5 已知两点F15，求与它们的距离差的绝对值是6的

点的轨迹．

例

x2y21上一点，F1、F2是双曲线的两个焦点，且P是双曲线36PF117，求PF2的值．

六、用定义法求与圆有关的双曲线方程。

例6 求下列动圆圆心M的轨迹方程：

x22y22内切，且过点A2，0 （1）与⊙C：（2）与⊙C1：x2y121与⊙C2：x2y124都外切．

x32y29外切，且与⊙C2：x32y21内切． （3）与⊙C1：抛物线典型例题

一、求抛物线的标准方程。

例1 指出抛物线的焦点坐标、准线方程． （1）x24y （2）xay2(a0) 分析：（1）先根据抛物线方程确定抛物线是四种中哪一种，求出p，再写出焦点坐标与准线方程．

（2）先把方程化为标准方程形式，再对a进行讨论，确定是哪一种后，求p及焦点坐标与准线方程．

二、求直线与抛物线相结合的问题

例2 若直线ykx2与抛物线y28x交于A、B两点，且AB中点的横坐标为2，求此直线方程．

三、求直线中的参数问题 例3（1）设抛物线y24x被直线y2xk截得的弦长为35，求k值． （2）以（1）中的弦为底边，以x轴上的点P为顶点作三角形，当

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三角形的面积为9时，求P点坐标． 四、与抛物线有关的最值问题

例4 定长为3的线段AB的端点A、求AB的B在抛物线y2x上移动，中点到y轴的距离的最小值，并求出此时AB中点的坐标．

例 已知点M(3,2)，F为抛物线y22x的焦点，点P在该抛物线上移动，当PMPF取最小值时，点P的坐标为__________．

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