贾长江--06二项式系数的性质导学案

课 题 二项式系数的性质

设 计：贾长江 审 核： 包科领导： 2013年4月29日

自主预习案

一、预习目标：了解“杨辉三角”，认识“杨辉三角”中行、列数字的特点及其组合数的性质、

二项式系数之间的联系。 二、预习内容：阅读P.26-27内容，了解二项式系数表及杨辉三角，探索归纳出二项式系数的性质。 导入新课

1．二项式定理及其特例：

1nrnrrnn（1）(ab)nCn0anCnabCnabCnb(nN)，

1rrn（2）(1x)n1CnxCnxx.

2．二项展开式的通项公式：Tr1Cnranrbr 讲解新课：

1二项式系数表（杨辉三角）

(ab)展开式的二项式系数，当n依次取1,2,3„时，如下表所示： (ab)„„„„„„„„1 1 (ab)„„„„„„„1 2 1

3(ab)„„„„„„1 3 3 1 4(ab)„„„„„1 4 6 4 1 5(ab)„„„„1 5 10 10 5 1 6(ab)„„„1 6 15 20 15 6 1

21n „„„„„„„„„„„„

图1 图2

上表叫 表，表中每行两端都是 ，除1以外的每一个数都等于

早在1621年，我国南宋数学家杨辉的著作《详解九章算法》中就有类似的表（如上图2），这个表称为 。利用这一性质，可根据相应于n的各项二项式系数写出相应于n1的各项二项式系数。

(ab)展开式的二项式系数，当n依次取1,2,3„时，二项式系数表，表中每行两端都是1，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和。 n2．二项式系数的性质：

(ab)展开式的二项式系数是Cn，Cn，Cn，„，Cn．Cn可以看成

n012nr海阔天空去想，脚踏实地去做。

以r为自变量的函数f(r)

定义域是{0,1,2,,n}，例当n6时，其图象是7个孤立的点（如图） （1）、每一行两端都是1，其余每个数都等于它“肩上”两个数的和，即

Cn1,Cn1,Cn1Cn0nmm1Cn，这实际上是由组合数的性质得到的

m（2）、对称性．，在二项展开式的每一行中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即：

CnCn,CnCn,CnCn0n1n12n2,,CnCnrnr，这个性质实际上也是由组合数的性质得到的。

直线rn2（3）、增减性与最大值．

是图象的对称轴．

二项式系数先增大，到达某一值后又逐渐减小，并且二项式系数最大的项必在中间位置上，也就是说，二项式系数先从1开始递增，达到中间位置取最大值，然后又逐渐递减到1. 当n是偶数时，展开式共有（n+1）项，所以展开式的中间一项，即第(nn21)项的二项式系数最

大，最大值为Cn2；当n是奇数时，展开式共有（n+1）项，所以展开式的中间两项，即第

(n121)项，和第（n12n1n1+1）项的二项式系数相等且最大，最大值为Cn2=Cn2。

012rnn（4）、二项展开式中各项系数的和等于2n，即CnCnCnCnCn2

n01rrnn在(1x)CnCnxCnxCnx中，

n012rnn令x1，则有(11)CnCnCnCnCn2 三、同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑问与困惑，请把它填在下面的表格中 探究展示案

一、学习目标：结合杨辉三角掌握二项式系数的概念和性质，并能利用这些性质计算和证明一

些与二项式展开有关的简单问题。

二、学习过程：

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海阔天空去想，脚踏实地去做。

例1：根据“杨辉三角”写出：

（1）(ab)8的二项式系数； （2）5ab展开式中的第3项的系数.

例2：写出(xy)11的展开式中：

10（1）通项Tr1；（2）二项式系数最大的项；（3）各项的系数绝对值最大的项；(4)各项的系数最大的项；（5）各项的系数最小的项；（6）二项式系数的和；（7）各项的系数的和。

例3：运用二项式定理证明：

01rnn024135n1（1）CnCnCnCn2；（2）CnCnCnCnCnCn2 （3）结论（1）、（2）分别表示什么意思？

01rnn024135n1点评：CnCnCnCn2和CnCnCnCnCnCn2是两个重要的结论，大家要熟练掌握。

0123nn例4：利用赋值法求证：CnCnCnCn(1)Cn0.

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海阔天空去想，脚踏实地去做。

课后练习与巩固

1、已知(ax)na0a1xa2x2anxn，求各项系数之和a0a1a2an

2、已知(12x)7a0a1xa2x2a7x7求：（1）a0a1a2a3a7； （2）a1a3a5a7；（3）a0a2a4a6。

小结：赋值法是解决与二项式定理有关问题的重要方法。 3、 求1.0310的近似值（保留三个有效数字）

4、 证明：8n1能被7整除。

5、今天是星期一，则过2102天后是星期几？

rnr课堂小结 ：1．性质1是组合数公式CnCn的再现，性质2是从函数的角度研究的二项式系

数的单调性，性质3是利用赋值法得出的二项展开式中所有二项式系数的和；

2．因为二项式定理中的字母可取任意数或式，所以在解题时根据题意，给字母赋值，是求解二项展开式各项系数和的一种重要方法。

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