几何五大模型汇总

一、共角定理

两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比． 如图在△ABC中，D,E分别是AB,AC上的点如图 ⑴(或D在BA的延长线上，E在AC上)，则S△ABC:S△ADE(ABAC):(ADAE)

证明：由三角形面积公式S=1/2*a*b*sinC可推导出 若△ABC和△ADE中， ∠BAC=∠DAE 或∠BAC+∠DAE=180°， 则SABCABAC= SADEADAE

二、等积模型

①等底等高的两个三角形面积相等；

②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如下图S1:S2a:b

③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图S△ACDS△BCD； 反之，如果S△ACDS△BCD，则可知直线AB平行于CD．

④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)；

⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；

⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．

AB

SS

CD ab12

三、蝶形定理

1、任意四边形中的比例关系(“蝶形定理”)： ①S1:S2S4:S3或者S1S3S2S4 ②AO:OCS1S2:S4S3 速记：上×下=左×右

蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面

可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．

2、梯形中比例关系(“梯形蝶形定理”)： ①S1:S3a2:b2

②S1:S3:S2:S4a2:b2:ab:ab； ③S的对应份数为ab2．

DAS2BS1OS3CS4

AS2aS1OS3S4DBbC

四、相似模型

(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型

AEAFDDBABACFGBCAGEC

BGC

①ADAEDEAF；

②S△ADE：S△ABCAF2:AG2．

相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：

⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；

⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；

⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．

三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半． 相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具． 在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形．

五、共边定理（燕尾模型和风筝模型）

在ABC中，AD，BE，CF相交于同一点O，那么SABO:SACOBD:DC． 上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为ABO和ACO的形状很象燕

子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径.

A

E F

O

BCD

附件1：鸟头模型例题及习题：

例8：

法1：无敌设高法。

法2：反复使用鸟头定理：求出E点、F点的特殊性；

简述：以上这一题是中环杯决赛题，作为我们讲义的例8。我们介绍的法一“无敌设高法”主要是从代数的角度死算，这是我们以后学习解复杂问题的通用方法，作为五年级的同学可以多多接触一些；法二“鸟头模型”让我们确定特殊点，从而找线段的比例关系。让面积比转换成求线段比。