5三角函数应用【一等奖教案】

§1.4 船有触礁的危险吗

课 题

§1.4 船有触礁的危险吗 教学目标

(一)教学知识点

1.经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的应用. 2.能够把实际问题转化为数学问题，能够借助于计算器进行有关三角函数的计算，并能对结果的意义进行说明. (二)能力训练要求

发展学生的数学应用意识和解决问题的能力. (三)情感与价值观要求

1.在经历弄清实际问题题意的过程中，画出示意图，培养思考问题的习惯和克服困难的勇气.

2.选择生活中学生感兴趣的题材，使学生能积极参与数学活动，提高学习数学、学好数学的欲望. 教具重点

1.经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的作用. 2.发展学生数学应用意识和解决问题的能力. 教学难点

根据题意，了解有关术语，准确地画出示意图. 教学方法

探索——发现法 教具准备

多媒体演示 教学过程

Ⅰ.创设问题情境，引入新课

[师]直角三角形就像一个万花筒，为我们展现出了一个色彩斑澜的世界.我们在欣赏了它神秘的“勾股”、知道了它的边的关系后，接着又为我们展现了在它的世界中的边角关系，它使我们现实生活中不可能实现的问题，都可迎刃而解.它在航海、工程等测量问题中有着广泛应用，例如测旗杆的高度、树的高度、塔高等. 下面我们就来看一个问题(多媒体演示).

海中有一个小岛A，该岛四周10海里内有暗礁.今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B处，往东行驶20海里后，到达该岛的南偏西25°的C处，之后，货轮继续往东航行，你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗?你是如何想的?与同伴进行交流. 下面就请同学们用锐角三角函数知识解决此问题.(板书：船有触礁的危险吗) Ⅱ.讲授新课

[师]我们注意到题中有很多方位，在平面图形中，方位是如何规定的? [生]应该是“上北下南，左西右东”.

[师]请同学们根据题意在练习本上画出示意图，然后说明你是怎样画出来的.

[生]首先我们可将小岛A确定，货轮B在小岛A的南偏西55°的B处，C在B的正东方，且在A南偏东25°处.示意图如下.

[师]货轮要向正东方向继续行驶，有没有触礁的危险，由谁来决定?

[生]根据题意，小岛四周10海里内有暗礁，那么货轮继续向东航行的方向如果到A的最短距离大于10海里，则无触礁的危险，如果小于10海里则有触礁的危险.A到BC所在直线的最短距离为过A作AD⊥BC，D为垂足，即AD的长度.我们需根据题意，计算出AD的长度，然后与10海里比较.

[师]这位同学分析得很好，能将实际问题清晰条理地转化成数学问题.下面我们就来看AD如何求.根据题意，有哪些已知条件呢?

[生]已知BC°＝20海里，∠BAD＝55°，∠CAD＝25°.

[师]在示意图中，有两个直角三角形Rt△ABD和Rt△ACD.你能在哪一个三角形中求出AD呢?

[生]在Rt△ACD中，只知道∠CAD=25°，不能求AD.

[生]在Rt△ABD中，知道∠BAD=55°，虽然知道BC＝20海里，但它不是Rt△ABD的边，也不能求出AD.

[师]那该如何是好?是不是可以将它们结合起来，站在一个更高的角度考虑?

[生]我发现这两个三角形有联系，AD是它们的公共直角边.而且BC是这两个直角三角形BD与CD的差，即BC＝BD-CD.BD、CD的对角是已知的，BD、CD和边AD都有联系. [师]有何联系呢?

[生]在Rt△ABD中，tan55°＝

BDCD，BD=ADtan55°；在Rt△ACD中，tan25°＝，ADADCD＝ADtan25°.

[生]利用BC＝BD-CD就可以列出关于AD的一元一次方程，即ADtan55°-ADtan25°＝20.

[师]太棒了!没想到方程在这个地方帮了我们的忙.其实，在解决数学问题时，很多地方都可以用到方程，因此方程思想是我们初中数学中最重要的数学思想之一. 下面我们一起完整地将这个题做完.

[师生共析]解：过A作BC的垂线，交BC于点D.得到Rt△ABD和Rt△ACD，从而BD=AD tan55°，CD＝ADtan25°，由BD-CD＝BC，又BC＝20海里.得 ADtan55°-ADtan25°＝20. AD(tan55°-tan25°)＝20， AD=

20≈20.79(海里).

tan55tan25 这样AD≈20.79海里>10海里，所以货轮没有触礁的危险. [师]接下来，我们再来研究一个问题.还记得本章开头小明要测塔的高度吗?现在我们来看他是怎样测的，并根据他得到的数据帮他求出塔的高度. 多媒体演示 想一想你会更聪明：

如图，小明想测量塔 CD的高度.他在A处 仰望塔顶，测得仰角 为30°，再往塔的方

向前进50m至B处.测得仰角为60°.那么该塔有多高?(小明的身高忽略不计，结果精确到1 m)

[师]我想请一位同学告诉我什么是仰角?在这个图中，30°的仰角、60°的仰角分别指哪两个角?

[生]当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角.30°的仰角指∠DAC，60°的仰角指∠DBC.

[师]很好!请同学们思考解决这个问题的思路，然后回答. (教师留给学生充分的思考时间，感觉有困难的学生可给以指导)

[生]首先，我们可以注意到CD是两个直角三角形Rt△ADC和Rt△BDC的公共边，在Rt△ADC中，tan30°= 即AC＝

CD， ACCDCD在Rt△BDC中，tan60°=,

tan30BCCD即BC＝，又∵AB=AC-BC＝50 m，得

tan60CDCD-=50.

tan30tan60 解得CD≈43(m)，

即塔CD的高度约为43 m.

[生]我有一个问题，小明在测角时，小明本身有一个高度，因此在测量CD的高度时应考虑小明的身高.

[师]这位同学能根据实际大胆地提出质疑，很值得赞赏.在实际测量时.的确应该考虑小明的身高，更准确一点应考虑小明在测量时，眼睛离地面的距离. 如果设小明测量时，眼睛离地面的距离为1.6 m，其他数据不变，此时塔的高度为多少?你能画出示意图吗? [生]示意图如 右图所示，由前面的 解答过程可知CC′≈ 43 m，则CD＝43+

1.6＝44.6 m.即考虑小明的高度，塔的高度为44.6 m.

[师]同学们的表现太棒了.现在我手里有一个楼梯改造工程问题，想请同学们帮忙解决一下.

多媒体演示： 某商场准备改善原来 楼梯的安全性能，把 倾角由40°减至35°， 已知原楼梯长为4 m，

调整后的楼梯会加长多少？楼梯多占多长一段地面?(结果精确到0.0l m)

请同学们根据题意，画出示意图，将这个实际问题转化成数学问题，(先完成，然后相互交流，讨论各自的想法)

[生]在这个问题 中，要注意调整前后 的梯楼的高度是一个 不变量.根据题意可 画㈩示意图(如右

图).其中AB表示楼梯的高度.AC是原楼梯的长，BC是原楼梯的占地长度；AD是调整后的楼梯的长度，DB是调整后的楼梯的占地长度.∠ACB是原楼梯的倾角，∠ADB是调整后的楼梯的倾角.转化为数学问题即为：

如图，AB⊥DB，∠ACB＝40°，∠ADB＝35°，AC＝4m.求AD-AC及DC的长度.

[师]这位同学把这个实际楼梯调整问题转化成了数学问题.大家从示意图中不难看出这个问题是前面问题的变式.我相信同学们一定能用计算器辅助很快地解决它，开始吧! [生]解：由条件可知，在Rt△ABC中,sin40°＝长BC＝4cos40°m.

调整后,在Rt△ADB中，sin35°＝DB=

AB，即AB＝4sin40°m，原楼梯占地 ACABAB4sin40，则AD＝m.楼梯占地长 ADsin35sin354sin40m.

tan354sin40-4≈0.48(m)，楼梯比原来多占DC＝

sin35 ∴调整后楼梯加长AD-AC＝DB-BC=

4sin40 -4cos40°≈0.61(m).

tan35 Ⅲ.随堂练习

1.如图，一灯柱AB被 一钢缆CD固定，CD与地面 成40°夹角，且DB＝5 m， 现再在C点上方2m处加固 另一条钢缆ED，那么钢缆 ED的长度为多少?

解：在Rt△CBD中，∠CDB=40°，DB=5 m，sin40°= (m).

在Rt△EDB中，DB=5 m， BE=BC+EC＝2+5sin40°(m).

根据勾股定理，得DE=DBBE5(25sin40)≈7.96(m). 所以钢缆ED的长度为7.96 m. 2.如图，水库大坝的 截面是梯形ABCD，坝顶AD ＝6 m，坡长CD＝8 m.坡底 BC＝30 m，∠ADC=135°. (1)求∠ABC的大小：

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(2)如果坝长100 m.那么建筑这个大坝共需多少土石料?(结果精确到0.01 m) 解：过A、D分别作AE⊥BC，DF⊥BC，E、F为垂足.

2222 BC，BC=DBsin40°=5sin40°DB

(1)在梯形ABCD中.∠ADC＝135°，

∴∠FDC＝45°，EF＝AD=6 m.在Rt△FDC中，DC＝8 m.DF＝FC＝CD.sin45°=42 (m). ∴BE=BC-CF-EF=30-42-6=24-42(m). 在Rt△AEB中，AE＝DF=42 (m). 2≈0.308. tanABC＝AE42BE244262 ∴∠ABC≈17°8′21″.

(2)梯形ABCD的面积S＝ =

1(AD+BC)×AE 212

(6+30)×4 2=722 (m). 23

坝长为100 m，那么建筑这个大坝共需土石料100×722 ≈10182.34(m). 综上所述，∠ABC＝17°8′21″，建筑大坝共需10182.34 m土石料. Ⅳ.课时小结

本节课我们运用三角函数解决了与直角三角形有关的实际问题，提高了我们分析和 解决实际问题的能力. 其实，我们这一章所学的内容属于“三角学”的范畴.请同学们阅读“读一读”，了解“三角学”的发展，相信你会对“三角学”更感兴趣. Ⅴ.课后作业

习题1.6第1、2、3题. Ⅵ.活动与探究 (2003年贵州贵 阳)如图，某货船以 20海里／时的速度 将一批重要物资由A 处运往正西方向的B

处，经16小时的航行到达，到达后必须立即卸货.此时.接到气象部门通知，一台风中心正以40海里／时的速度由A向北偏西60°方向移动，距台风中心200海里的圆形区域(包括边界)均受到影响.

(1)问：B处是否会受到台风的影响?请说明理由.

(2)为避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸完货物?(供选用数据：2≈1.4，

3

3 ≈1.7)

[过程]这是一道需借助三角知识解决的应用问题，需抓住问题的本质特征.在转化、抽象成数学问题上下功夫.

[结果](1)过点B作BD⊥AC.垂足为D. 依题意，得∠BAC＝30°，在Rt△ABD中，BD= ∴B处会受到台风影响.

11AB=×20×16=160＜200， 22

(2)以点B为圆心，200海里为半径画圆交AC于E、F，由勾股定理可求得DE=120. AD=1603.

AE=AD-DE=1603 -120，

∴

1603120=3.8(小时).

40 因此，陔船应在3.8小时内卸完货物. 板书设计

§1.4 船有触礁的危险吗 一、船布触礁的危险吗

1.根据题意，画出示意图.将实际问题转化为数学问题. 2.用三角函数和方程的思想解决关于直角三角形的问题. 3.解释最后的结果. 二、测量塔高 三、改造楼梯

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