第１８卷第３期 高等数学研究 Ｖｏ１．１８，Ｎｏ．３ ２０１５年５月 ＳＴＵＤＩＥＳ ＩＮ Ｃ０ＬＬＥＧＥ ＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳ Ｍａｙ，２０１５ ｄｏｉ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１００８—１３９９．２０１５．０３．０２３ 关于数项级数收敛的常见问题辨析 朱佑彬，柴华岳，刘三阳 （西安电子科技大学数学与统计学院，陕西西安７１０１２６） 摘 要 本文对级数学习中几个容易搞混的问题进行辨析，并针对每个假命题给出具体的反例． 关键词 级数；正项级数；Ｐ一级数 中图分类号０１７３ 文献标识码 Ａ 文章编号 １００８—１３９９（２０１５）０３—００６１—０２ Ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｔｉｏｎ ａｎｄ Ａｎａｌｙｓｉｓ ０ｆ Ｓｏｍｅ Ｐｒｏｂｌｅｍｓ ‘ａｂｏｕｔ ｔｈｅ Ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ ０ｆ Ｓｅｒｉｅｓ ＺＨＵ Ｙｏｕｂｉｎ，ＣＨＡＩ Ｈｕａｙｕｅ，ＬＩＵ Ｓａｎｙａｎｇ （Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ａｎｄ Ｓｔａｔｉｓｔｉｃｓ，Ｘｉｄｉａｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｘｉ ａｎ ７１０１２６，ＰＲＣ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｔｅｓ ａｎｄ ａｎａｌｙｚｅｓ ｓｏｍｅ ｃｏｎｆｕｓｉｎｇ ｐｒｏｂｌｅｍｓ ａｂｏｕｔ ｔｈｅ ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ ｏｆ ｓｅｒｉｅｓ，ａｎｄ ｐｒｅｓｅｎｔｓ ｃｏｕｎｔｅｒ——ｅｘａｍｐｌｅｓ ｔＯ ｅｖｅｒｙ ｆａｌｓｅ ｓｔａｔｅｍｅｎｔ． Ｋｅｙｗｏｒｄｓ： ｓｅｒｉｅｓ；ｐｏｓｉｔｉｖｅ ｓｅｒｉｅｓ；Ｐ—ｓｅｒｉｅｓ 一 混淆数列敛散性与级数敛散性的结论 命题７ 如果ｌｉｍ ｂ＿ｚ一１，且级数 ａｎ收敛，则 对于数列极限来说，以下几个命题的正确性毋 庸置疑． 级数∑ｂ 也收敛（文献［２］，Ｐ３４）． 命题１ 如果数列｛ａ ）收敛，则数列｛ａ ）也 收敛． 命题８ 如果级数∑ｂ 收敛，则级数∑ａ 。， 命题２ 如果口 ＞０，且ａｎ＋一ｌ＜０，则数列 ∑口 。也收敛（文献Ｅ２３，Ｐ３５）． “ｎ ｛ ）收敛． 事实上，命题５～８都是错误的，接下来一一 举反例． 命题３ 如果ｌｉｍ 一１，且数列｛口 ）收敛，则 一∞口 命题５的反例可取ａ ＝＝＝（一１） 一１，则交错级数 数列｛ｂ ）也收敛． 命题４ 如果数列（ａ ｝收敛，则数列｛ａ 。｝， ∑口 收敛，但是∑‰一∑ 发散． ｛ｎ 。｝也收敛． 命题１由数列极限与子列极限的关系可得，命 命题６的反例可取ａｎ一１，则ａ＞０ ｊｔａ－＋１．一 ｎ题２由单调有界原理可得，命题３，４由极限的乘法 法则可得．但是对级数中几个类似的结论，同学们 十上 ＜１，但是ｎ １ ∑口 一∑ 鲁１ 发散． 往往弄不清楚它们是否正确． 命题７的反例可取ｎ 一 ，ｂ ： ＋ 命题５ 如果级数∑ｎ 收敛，则级数∑ａ 也 √ √ 收敛． １测 ∞ｎ” 一一 （。０＼ ＋ ４ ｎ）， 一 命题６ 如果ａ ＞０，且 ＜１，则级数∑口 ａｎ 一１ 且∑口 收敛，但是由∑ａ 收敛以及∑ 发散可知 收敛． ： 收稿日期：２０１４—１Ｉ－２７ 霎。ａｎ＋ ）发散． 作者简介：朱佑彬（１９７６－－），男，福建福州人，副教授，主要从事数 命题８的反例可取ａｎ一 ，则由莱布尼兹 学分析的教学研究，Ｅｍａｉｌ：ｙｏｕｂｉｎｚｈｕ＠１６３．ｃｏｍ ６２ 高等数学研究 ２０１５年５月 定理知∑ａ 收敛，但是∑ａ 一 量 发散．＝１ ７／ 一１ Ｈ—Ｉ 另一方面，不难证明 一 一号一 １十 １一嘉一去＋ 一 ＿．一ｊ．＿Ｊ＿… ２ ２据。 收敛，但是对级数 一丢一 １十 １一南一南＋ 号一 ３ ×８ ３一 ８ ３× 。 ・ 而言，其部分和满足 Ａ。 一丢（１＋ １＋．．・＋ １）－－￣．ｏｏ（ｋ－￣０ｏ） 所以∑ｎ 。发散． 以上内容说明，能用来判别数列收敛的方法，未 必能直接用来判别级数的收敛性．此外，上述命题 ５，命题７，命题８对正项级数来说都是成立的，这又 说明即使是适用于正项级数敛散性的判别法也未必 就能适用于变号级数． 二 对比正项级数与 一级数以判断正项级 数的敛散性 例如，同学们注意到Ｐ一级数 １的敛散性的 分水岭是 一１，此外，由正项级数的比较判别法 可知：若］Ｎ Ｅ ，．Ｖ ＞Ｎ，口 ≥ 则正项级数 级数∑ｎ 发散，于是很自然地得出下列命题． 命题９ 如果正项级数∑ａ 收敛，则ｊ Ｎ∈ Ｚ＋，Ｖ ＞Ｎ，口 ＜ ． 命题１Ｏ 如果ａ ＞０且了Ｎ∈ｚ十，Ｖ ＞Ｎ， ａ ＜一ｉ，则正项级数∑ｎ 收敛． 命题１１ 若正项级数∑ａ 发散，则３ Ｎ∈Ｚ＋， Ｖ ＞Ｎ，ｎ ≥ ． 事实上，命题９～１１全是错误的，接下来一一 举反例． 命题９的反例可取 ｆｌ ，一ｋ＝＇ ／７ ／ｅ ， ‘， ｋ一１，ｌ，’２，… １Ｉ １ ≠ｋ ，ｋ一１＇２，… 则薹 口 收敛，但是 一 １＞ １． 命题１Ｏ的反例可取 １ 一 干 丽丽 则ａ ＞ ，但是∑ｎ 发散． 命题ｌ１的反例可取ｎ 一 ，则∑ｎ 发散，但 是Ｖ Ｅ Ｚ＋，口 ＜一ｉ． 以上三个错误命题说明，正项级数收敛与否跟 该级数的通项与 的大小没有直接的关系，但是在 附加一定条件之后，命题９也可能是正确的． 引理（文献［２］，Ｐ２４） 若正项级数∑ａ 收敛， 且｛ｎ ｝单调递减，则ｌｉｍｎａ 一０． 证明 记Ｓ ：∑ａ ，依题意不妨设ｌｉｍＳ ：Ｓ 则ｌｉｍ（Ｓ２ 一Ｓ ）一Ｓ—Ｓ：０、 又 Ｓ２ 一Ｓ 一口 １＋口 ２＋…＋ ａｚ ≥ ａ ２ ≥０ 由夹逼准则知ｌｉｍｎａ ＝０．于是ｌｉｍ２ｎａ ２ ＝０． 另一方面 ０≤（２７／＋１）ｎ２ １≤ （２ ＋１） 一 ２ 又由夹逼准则知ｌｉｍ（２ｎ＋１）ｎ２ 。＝＝：０． 综上可得ｌｉｍｎａ 一０． 利用引理可知，若正项级数∑ａ 收敛且｛ｎ ）单 调递减，则ｌｉｍｎ ｎ 一０＜１，从而由极限的不等式性 质可知， Ｎ∈Ｚ＋，Ｖ咒＞Ｎ，ａ ＜ ，从而命题９ 在假定通项单调递减的条件下是正确的． 参考文献 Ｉ－１］同济大学应用数学系．高等数学Ｉ－Ｍ］．５版．北京：高等教 育出版社，２００２． ［２］欧阳光中，朱学炎，金福临等．数学分析［Ｍ］．３版．北京： 高等教育出版社，２００７． ［３］张筑生．数学分析新讲［Ｍ］．北京：北京大学出版 社，１９９０． ［４］华东师范大学数学系．数学分析［Ｍ］．４版．北京：高等教 育出版社，２０１０．
