线性微分方程组

第五章 线性微分方程组

[教学目标]

1. 理解线性微分方程组解的存在唯一性定理，掌握一阶齐（非齐）线性微分方程组解的性质与结构， 2. 理解n 阶线性微分方程与一阶线性微分方程组的关系。 3. 掌握非齐次线性微分方程组的常数变易法，

4. 理解常系数齐线性微分方程组基解矩阵的概念，掌握求基解矩阵的方法。 5. 掌握常系数线性微分方程组的Laplce变换法。 [教学中难点]求解常系数非齐次线性微分方程组 [教学方法] 讲授，实践。 [教学时间] 16学时

[教学内容] n 阶线性微分方程与一阶线性微分方程组的关系，一阶线性微分方程组解的存在唯一性定理；齐（非齐）线性微分方程组解的性质与结构，求解非齐次线性微分方程组的常数变易法；常系数齐线性微分方程组的基解矩阵及求基解矩阵的方法；求常系数线性微分方程组的Laplce变换法。 [考核目标]

1.线性微分方程组解的性质与结构。 2.能够求解常系数线性微分方程组。

§5.1 存在唯一性定理

5.1.1记号和定义 考察形如

a11(t)x1a12(t)x2a1n(t)xnf1(t)x1xa(t)xa(t)xa(t)xf(t)22112222nn2 （5.1） an1(t)x1an2(t)x2ann(t)xnfn(t)xn的一阶线性微分方程组，其中已知函数aij(t)(i,j1,2,上是连续的。方程组（5.1）关于x1,x2,引进下面的记号：

,n)和fi(t)(i1,2,,n)在区间atb上

,x2,,xn及x1是线性的. ,xna11(t)a12(t)a(t)a(t)22A(t)21an1(t)an2(t)a1n(t)a2n(t) （5.2）

ann(t),n).

2这里A(t)是nn矩阵，它的元素是n个函数aij(t)(i,j1,2,x1x1f1(t)xxf(t)22 f(t)2 x x （5.3）

xf(t)nxnn.s.. .. . ..

. .. . ..

这里f(t)，x，x是n1矩阵或n维列向量。

注意，矩阵相加、矩阵相乘、矩阵与纯量相乘等等性质对于以函数作为元素的矩阵同样成立。这样一来，方程组（5.1）可以写成下面的形式

xA(t)xf(t) （5.4）

引进下面的概念。

一个矩阵或者一个向量在区间atb上称为连续的，如果它的每一个元素都是区间atb上的连续函数。

一个nn矩阵B(t)或者一个n维列向量u(t)：

b1n(t)u1(t)u(t)b2n(t) u(t)2 u(t)bnn(t)n在区间atb上称为可微的，如果它的每一个元素都在区间atb上可微。它们的导数分别由下

b11(t)b12(t)b(t)b(t)22B(t)21bn1(t)bn2(t)式给出：

(t)b12(t)b11b(t)b(t)22B(t)211(t)bn2(t)bn(t)b1n(t)u1u(t)n(t)b2 u(t)2 (t)(t)bnnun不难证明，如果nn矩阵A(t)，B(t)及n维向量u(t)，v(t)是可微的，那么下列等式成立：

（Ⅰ）A(t)B(t)A(t)B(t)

u(t)v(t)u(t)v(t)

（Ⅱ）A(t)B(t)A(t)B(t)A(t)B(t) （Ⅲ）A(t)u(t)A(t)u(t)A(t)u(t)

类似地，矩阵B(t)或者向量u(t)在区间atb上称为可积的，如果它的每一个元素都在区间

atb上可积。它们的积分分别由下式给出：

bb(t)dta11bbab11(t)dtB(t)dtabb(t)dta11babb12(t)dtb22(t)dtababn2(t)dtb(t)dt1nabb(t)dta2n

bb(t)dtannbbu(t)dta1bbu(t)dta2 u(t)dtabu(t)dtan现在我们给出（5.4）的解的定义：

定义１设A(t)是区间atb上的连续nn矩阵，f(t)是同一区间atb上的连续n维向量。

.s.. .. . ..

. .. . ..

方程组

xA(t)xf(t) （5.4）

在某区间t（这里,a,b）的解就是向量u(t)，它的导数u(t)在区间t上连续且满足

u(t)A(t)u(t)f(t)，t

现在考虑带有初始条件x(t0)的方程组（５.４），这里t0是区间atb上的已知数，是n维欧几里得空间的已知向量，在这样条件下求解方程组称为初值问题。

定义2 初值问题

xA(t)xf(t),x(t0) （5.5）

的解就是方程组（5.4）在包含t0的区间t上的解u(t)，使得u(t0)。 例2 验证向量

etu(t)t

e是初值问题

011xx,x(0)1

10在区间t上的解。

解 显然

e01u(0)0

e1因为e和e处处有连续导数，我们得到

t

tet01et01u(t)tu(t) te10e10因此u(t)是给定初值问题的解。

正如在第而章所看到的，当n1时，我们可以得到初值问题（5.5）的解的明显表达式，当n2时，情况就复杂多了。

在第四章中，我们讨论了带有初始条件的n阶线性微分方程的初值问题。现在进一步指出，可以通过下面的方法，将n阶线性微分方程的初值问题化为形如（5.5）的线性微分方程组的初值问题。

考虑n阶线性微分方程的初值问题

(n)(n1)an1(t)xan(t)xf(t)xa1(t)x （5.6） (n1)x(t0)1,x(t0)2,,x(t0)n.s.. .. . ..

. .. . ..

其中a1(t),a2(t),,an(t)，f(t)是区间atb上的已知连续函数，t0a,b，1,2,,n是已知

常数。我们指出，它可以化为下列线性微分方程组的初值问题

100001x000an(t)an1(t)an2(t)12x(t0)n其中

0000x01a1(t)f(t) (5.7)

x1x1xx2x x2

xnxn事实上，令

x1x,x2x,x3x,这时

,xnx(n1)

xx2 x1xx3 x2

1x(n1)xnxnx(n)an(t)x1an1(t)x2xn而且

a1(t)xnf(t)

x(t0)1x(t0)1,x(t0)2x(t0)2,,xn(t0)x(n1)(t0)n

现在假设(t)是在包含t0的区间atb上（5.6）的任一解。由此，得知(t),(t),在atb上存在、连续、满足方程（5.6）且(t0)1,(t0)2,,(n)(t),(n1)(t0)n。令

1(t)(t)(t)2

(t)n.s.. .. . ..

. .. . ..

其中1(t)(t),2(t)(t),,n(t)(n1)(t)(atb)，那么，显然有(t0)。此外，

2(t)1(t)(t)(t)(t)(t)23(t)(n1)(t)(t)(t)nn1(n1)(n)(t)(t)an(t)(t)f(t)(t)na1(t)2(t)100(t)03(t)0n0an(t)1(t)a1(t)n(t)f(t)an(t)an1(t)0101(t)0(t)00201n1(t)0a2(t)a1(t)f(t)n(t)

这就表示这个特定的向量(t)是（5.7）的解。反之，假设向量u(t)是在包含t0的区间atb上（5.7）的解。令

u1(t)u(t)u(t)2

un(t)(t)u2(t)，由第二个方程得到并定义函数w(t)u1(t)，由（5.7）的第一个方程，我们得到w(t)u1(t)u3(t),w(t)u2，由第n1个方程得到w(n1)1(t)un(t)，由第n个方程得到 (t)un

(t)an(t)u1(t)an1(t)u2(t)w(n)(t)una1(t)w由此即得

(n1)a2(t)un1(t)a1(t)un(t)f(t)(t)a2(t)w(n2)(t)an(t)w(t)f(t)an(t)w(t)f(t)

w(n)(t)a1(t)w(n1)(t)a2(t)w(n2)(t)同时，我们也得到

w(t0)u1(t0)1,这就是说，w(t)是（5.6）的一个解。

,w(n1)(t0)un(t0)n

总之，由上面的讨论，我们已经证明了初值问题（5.6）与（5.7）在下面的意义下是等价的：给定

其中一个初值问题的解，我们可以构造另一个初值问题的解。

值得指出的是：每一个n阶线性微分方程可化为n个一阶线性微分方程构成的方程组，反之却不成立。例如方程组

x101xx，xx

102不能化为一个二阶微分方程。

5.1.2 存在唯一性定理

.s.. .. . ..

. .. . ..

本节我们研究初值问题

xA(t)xf(t)，x(t0) （5.5） 的解的存在唯一性定理。类似与第三章，我们通过五个小命题，采用逐步逼近法来证明定理。因为现在讨论的是方程组（写成向量的形式），所以有些地方稍微复杂些，而且要引进向量、矩阵的“范数”及向量函数序列的收敛性等概念；然而由于方程是线性的，所以有些地方又显得简单些，而且结论也加强了。总之，我们要比较第三章中的证明和现在的证明的异同，从对比中加深对问题的理解。

x1x2，我们定义它的范数为 xn对于nn矩阵A和维向量aijnnxnAi,j1anij

xxi

i1n设A,B是nn矩阵，x，y是n维向量，这时容易验证下面两个性质： １）ABAB

AxAx xyxy

２）ABAB

x1kx2k向量序列xk，xk，称为收敛的，如果对每一个i(i1,2,xnk ,n)数列xik都是收敛的。

x1k(t)x(t)2k称为在区间atb上收敛的（一致收敛的）向量函数序列xk(t)，xk(t)，如果对于x(t)nk每一个i(i1,2,，易知，区间,n)函数序列xik(t)在区间atb上是收敛的（一致收敛的）

atb上的连续向量函数序列xk(t)的一致收敛极限向量函数仍是连续的。

向量函数级数

，如果其部分和作成的向量x(t)称为在区间atb上是收敛的（一致收敛的）

kk1函数序列在区间atb上是收敛的（一致收敛的）。

判别通常的函数级数的一致收敛性的维氏判别法对于向量函数级数也是成立的，这就是说，如果

xk(t)Mk，atb

而级数

Mk1k是收敛的，则

x(t)在区间atb上是一致收敛的。

kk1.s.. .. . ..

. .. . ..

积分号下取极限的定理对于向量函数也成立，这就是说，如果连续向量函数序列xk(t)在区间

atb上是一致收敛的，则

limxk(t)dtlimxk(t)dt

kaakbb注意，以上谈到的是向量序列的有关定义和结果，对于一般矩阵序列，可以得到类似的定义和结果。

(k)例如，nn矩阵序列Ak，其中Akaijnn称为收敛的，如果对于一切i,j1,2,,n，数

(k)列aij都是收敛的。

无穷矩阵级数

Ak1kA1A2Ak

称为收敛的，如果它的部分和所成序列是收敛的。

如果对于每一个整数k，

AkMk

而数值级数

Mk1k是收敛的，则

Ak1k也是收敛的。

同样，可以给出无穷矩阵函数级数

A(t)的一致收敛性的定义和有关结果。

kk1定理１（存在唯一性定理）如果A(t)是nn矩阵。f(t)是n维列向量，它们都在区间atb上连续，则对于区间atb上的任何数t0及任一常数向量

12

n方程组

xA(t)xf(t) （5.4）

存在唯一解(t)，定义于整个区间atb上，且满足初始条件

(t0)。

类似于第三章，我们分成五个小命题来证明.

命题１ 设(t)是方程组（５.４）的定义与区间atb上且满足初始条件(t0)的解，则(t)是积分方程

.s.. .. . ..

. .. . ..

x(t)A(s)x(s)f(s)ds，atb （5.8）

t0t的定义于atb上的连续解，反之亦然。

证明完全类似于第三章，兹不累赘。

现在取0(t)，构造皮卡逐步逼近向量函数序列如下：

0(t)tk(t)tA(s)k1(s)f(s)ds,atb

0k1,2,向量函数k(t)称为（5.4）的第k次近似解。应用数学归纳法立刻推得命题２： 命题２ 对于所有的正整数k，向量函数k(t)在区间atb上有定义且连续。 命题３ 向量函数序列k(t)在区间atb上是一致收敛的。 命题４ (t)是积分方程（5.8）的定义在区间atb上的连续解。

命题５ 设(t)是积分方程（5.8）的定义于atb上的一个连续解，则(t)(t)（atb）。

综合命题１—５，即得到存在唯一性定理的证明。

值得指出的是，关于线性微分方程组的解(t)的定义区间是系数矩阵A(t)和非齐次项f(t)在其上连续的整个区间atb。在构造逐步逼近函数序列k(t)时，k(t)的定义区间已经是整个

atb，不像第三章对于一般方程那样，解只存在于t0的某个邻域，然后经过延拓才能使解定义在

较大的区间。

注意到5.1.1中关于n阶线性方程的初值问题（5.6）与线性微分方程组的初值问题（5.7）的等价性的论述，立即由本节的存在唯一性定理可以推得关于n阶线性微分方程的解的存在唯一性定理。 推论（即第四章的定理１）如果a1(t),,an(t)，f(t)都是区间atb上的连续函数，则对于区间,n，方程

atb上的任何数t0及任何的1,2,x(n)a1(t)x(n1)an1(t)xan(t)xf(t)

存在唯一解w(t)，定义于整个区间atb上且满足初始条件：

w(t0)1,w(t0)2,

,w(n1)(t0)n。

§5.２ 线性微分方程组的一般理论

.s.. .. . ..

. .. . ..

现在讨论线性微分方程组

xA(t)xf(t) （5.14）

的一般理论，主要是研究它的解的结构问题。

如果f(t)0，则（5.14）称为非齐线性的。 如果f(t)0，则方程的形式为

xA(t)x （5.15）

称（5.15）为齐线性方程组，通常（5.15）称为对应于（5.14）的齐线性方程组。

５.２.１齐线性微分方程组

本段主要研究齐线性方程组（５.１５）的所有解的集合的代数结构问题。我们假设矩阵A(t)在区间atb上是连续的。

设u(t)和v(t)是（5.15）的任意两个解，和是两个任意常数。根据向量函数的微分法则，即知u(t)v(t)也是（5.15）的解，由此得到齐线性方程组的叠加原理。

定理２（叠加原理）如果u(t)和v(t)是（5.15）的解，则它们的线性组合u(t)v(t)也是（5.15）的解，这里，是任意常数。

定理２说明，（5.15）的所有解的集合构成一个线性空间。自然要问：此空间的维数是多少呢？为此，我们引进向量函数x1(t),x2(t),设x1(t),x2(t),,xm(t)线性相关与线性无关的概念。

,xm(t)是定义在区间atb上的向量函数，如果存在不全为零的常数

c1,c2,,cm，使得恒等式

c1x1(t)c2x2(t)cmxm(t)0，atb

成立；称向量函数x1(t),x2(t),,xm(t)在区间atb上线性相关,否则，称x1(t),x2(t),,xm(t)为

线性无关的。

设有n个定义在区间atb上的向量函数

x11(t)x(t)x1(t)21,x(t)n1由这n个向量函数构成的行列式

x1n(t)x(t),xn(t)2n

x(t)nn.s.. .. . ..

. .. . ..

Wx1(t),x2(t),x11(t)x12(t)x(t)x(t)22,xn(t)W(t)21xn1(t)xn2(t)x1n(t)x2n(t)

xnn(t)称为这些向量函数的伏朗斯基行列式。 定理３ 如果向量函数x1(t),x2(t),,xn(t)在区间atb上线性相关，则它们的伏朗斯基行列式

W(t)0，atb。

证明 由假设可知存在不全为零的常数c1,c2,,cn使得

c1x1(t)c2x2(t)把（5.16）看成是以c1,c2,cnxn(t)0，atb （5.16） ,cn为未知量的齐次线性代数方程组，这方程组的系数行列式就是

x1(t),x2(t),,xn(t)的伏朗斯基行列式W(t)。由齐次线性代数方程组的理论知道，要此方程组有非零

解，则它的系数行列式应为零，即

W(t)0，atb

定理证毕。

定理４ 如果（5.15）的解x1(t),x2(t),,xn(t)线性无关，那么，它们的伏朗斯基行列式W(t)0，

atb。

证明 我们采用反证法。设有某一个t0，at0b，使得W(t0)0。考虑下面的齐次线性代数方程组：

c1x1(t0)c2x2(t0)cnxn(t0)0 （5.17）

,cn，以这个非零解

它的系数行列式就是W(t0)，因为W(t0)0，所以（5.17）有非零解c1,c2,c1,c2,,cn构成向量函数x(t)：

x(t)c1x1(t)c2x2(t)cnxn(t) （5.18）

根据定理２，易知x(t)是（5.15）的解。注意到（5.17），知道这个解x(t)满足初始条件

x(t0)0 （5.19）

但是，在atb上恒等于零的向量函数０也是（5.15）的满足初始条件（5.19）的解。由解的唯一性，知道x(t)0，即

c1x1(t)c2x2(t)cnxn(t)0，atb

.s.. .. . ..

. .. . ..

因为c1,c2,,cn不全为零，这就与x1(t),x2(t),,xn(t)线性无关的假设矛盾，定理得证。

,xn(t)作成的伏朗斯基行列式W(t)，

由定理３，定理4可以知道，由（5.15）的n个解x1(t),x2(t),或者恒等于零，或者恒不等于零.

定理５ （5.15）一定存在n个线性无关的解x1(t),x2(t),,xn(t).

证明 任取t0a,b，根据解的存在唯一性定理，（5.15）分别满足初始条件

1001x1(t0)0,x2(t0)0,00的解x1(t),x2(t),00,xn(t0)0

1,xn(t)的伏朗斯基行列式

,xn(t)一定存在。又因为这n个解x1(t),x2(t),W(t0)10，故根据定理３，x1(t),x2(t),定理６ 如果x1(t),x2(t),,xn(t)是线性无关的，定理证毕。

,xn(t)是（5.15）的n个线性无关的解，则（5.15）的任一解x(t)均可表为

cnxn(t)

x(t)c1x1(t)c2x2(t)这里c1,c2,,cn是相应的确定常数。

证明 任取t0a,b，令

x(t0)c1x1(t0)c2x2(t0)把（5.20）看作是以c1,c2,为x1(t),x2(t),cnxn(t0) （5.20）

,cn为未知量的线性代数方程组。这方程组的系数行列式就是W(t0)。因

,xn(t)是线性无关的，根据定理４知道W(t0)0。由线性代数方程组的理论，方程组

,cn。以这组确定了的c1,c2,,cn构成向量函数c1x1(t)c2x2(t)cnxn(t)，

(5.20)有唯一解c1,c2,那么，根据叠加原理，它是（5.15）的解。注意到（5.20），可知（5.15）的两个解x(t)及

c1x1(t)c2x2(t)cnxn(t)具有相同的初始条件。由解的唯一性，得到 x(t)c1x1(t)c2x2(t)cnxn(t)

定理证毕。

推论１ （5.15）的线性无关解的最大个数等于n.

（5.15）的n个线性无关的解x1(t),x2(t),,xn(t)称为（5.15）的一个基本解组。显然，（5.15）具

.s.. .. . ..

. .. . ..

有无穷多个不同的基本解组.

由定理5和定理6，我们知道（5.15）的解空间的维数是n.即（5.15）的所有解构成了一个n维的线性空间.

注意到5.1.1节关于n阶线性微分方程的初值问题（5.6）与线性微分方程组的初值问题（5.7）的等价性，本节的所有定理都可以平行地推论到n阶线性微分方程上去。

从本节的定理2容易推得第四章的定理2。参看4.1.2中关于纯量函数组的线性相关概念，可以证明：一组n1次可微的纯量函数x1(t),x2(t),,xm(t)线性相关的充要条件是向量函数

x1(t)x2(t)x(t)x(t)12(n1)(n1)x1(t)x2(t)线性相关。事实上，如果x1(t),x2(t),xm(t)x(t)m （*） (n1)xm(t),xm(t)线性相关，则存在不全为零的常数c1,c2,,cm使得

c1x1(t)c2x2(t)cmxm(t)0

将上式对t微分一次，二次，…，n1次，得到

(t)c2x2(t)c1x1(t)c2x2(t)c1x1(t)0cmxm(t)0cmxm(n1)cmxm(t)0

(n1)c1x1(n1)(t)c2x2(t)即有

x1(t)x2(t)x(t)x(t)1c2c12(n1)(n1)x(t)1x2(t)常数c1,c2,xm(t)x(t)0 （**） cmm(n1)xm(t)cmxm(t)0，这就表明

这就是说，向量函数组（*）是线性相关的。反之，如果向量函数（*）线性相关，则存在不全为零的

,cm使得（**）成立，当然有c1x1(t)c2x2(t),xm(t)线性相关。

,xn(t)是n阶微分方程

x1(t),x2(t),推论2 如果x1(t),x2(t),x(n)a1(t)x(n1)的n个线性无关解，其中a1(t),表为

an(t)x0 （5.21）

,an(t)是区间atb上的连续函数，则（5.21）的任一解x(t)均可

x(t)c1x1(t)c2x2(t)这里c1,c2,cnxn(t)

,cn是相应的确定常数。

.s.. .. . ..

. .. . ..

如果x1(t),x2(t),,xn(t)是（5.21）的n个线性无关解，根据n阶微分方程通解的概念及

Wx1(t),x(t),,xn(t)0，函数

x(t)c1x1(t)c2x2(t)cnxn(t)

就是（5.21）的通解，其中c1,c2,,cn是任意常数。

现在，将本节的定理写成矩阵的形式。

如果一个nn矩阵的每一列都是（5.15）的解，称这个矩阵为（5.15）的解矩阵。如果它的列在

atb上是线性无关的解矩阵,称为在atb上（5.15）的基解矩阵。用(t)表示由（5.15）的n个

线性无关的解1(t),2(t),,n(t)作为列构成的基解矩阵。定理５和定例６即可以表述为如下的定理

1*。

定理1* （5.15）一定存在一个基解矩阵(t)。如果(t)是（5.15）的任一解，那么

(t)(t)c （5.22）

这里c是确定的n维常数列向量。

定理2*（5.15）的一个解矩阵(t)是基解矩阵的充要条件是det(t)0（atb）。而且，如果对某一个t0a,b，det(t0)0，则det(t)0，atb。（det(t)表示矩阵(t)的行列式）。 要注意：行列式恒等于零的矩阵的列向量未必是线性相关的。 例１ 验证

et(t)0是方程组

tet tex111x，其中xxx 012的基解矩阵。

解首先，我们证明(t)是解矩阵。令1(t)表示(t)的第一列，这时

et11et111(t)1(t) 001001这表示1(t)是一个解。同样，如果以2(t)表示(t)的第二列，我们有

(t1)et11tet11(t)2t012(t) t01ee.s.. .. . ..

. .. . ..

这表示2(t)也是一个解。因此，(t)1(t),2(t)是解矩阵。

其次，根据定理2*，因为det(t)e0，所以(t)是基解矩阵。

推论1* 如果(t)是（5.15）在区间atb上的基解矩阵，那么，(t)CC是非奇异nn常数矩阵，也是（5.15）在区间atb上的基解矩阵。

证明 首先，根据解矩阵的定义易知，方程（5.15）的任一解矩阵X(t)必满足关系

（atb） X(t)A(t)X(t)，

反之亦然。现令

（atb） (t)(t)C，

微分上式，并注意到(t)为方程的基解矩阵，C为常数矩阵，得到

2t(t)(t)CA(t)(t)CA(t)(t)

即(t)是（5.15）的解矩阵。又由C的非奇异性，我们有

det(t)det(t)detC0（atb）

因此由定理2*知，(t)即(t)C是（5.15）的基解矩阵。

推论2* 如果(t)，(t)在区间atb上是xA(t)x的两个基解矩阵，那么，存在一个非奇异

nn常数矩阵C，使得在区间atb上(t)(t)C。

证明 因为(t)为基解矩阵，故其逆矩阵(t)一定存在。现令

11(t)(t)X(t) （atb）

或

(t)(t)X(t) （atb）

易知X(t)是nn可微矩阵，且

detX(t)0 （atb）

于是

A(t)(t)(t)(t)X(t)(t)X(t) （atb）

A(t)(t)X(t)(t)X(t)A(t)(t)(t)X(t)由此推知(t)X(t)0，或X(t)0（atb），即X(t)为常数矩阵，记为C。因此我们有

.s.. .. . ..

. .. . ..

(t)(t)C （atb）

其中C(a)(a)为非奇异的nn常数矩阵推论2*得证。 5.2.2 非齐线性微分方程组 本段讨论非齐线性微分方程组

xA(t)xf(t) （5.14）

的解的结构问题，这里A(t)是区间atb上的已知nn连续矩阵，f(t)是区间atb上的已知n维连续列向量，向量f(t)通常称为强迫项，因为如果（5.14）描述一个力学系统，f(t)就代表外力。 容易验证（5.14）的两个简单性质：

性质1 如果(t)是（5.14）的解，(t)是（5.14）对应的齐线性方程组（5.15）的解，则(t)(t)是（5.14）的解。

性质2 如果(t)和(t)是（5.14）的两个解，则(t)(t)是（5.15）的解。 下面的定理7给出（5.14）的解的结构。

定理7 设(t)是（5.15）的基解矩阵，(t)是（5.14）的某一解，则（5.14）的任一解(t)都可表为

(t)(t)c(t) （5.23）

这里c是确定的常数列向量。

证明 由性质2我们知道(t)(t)是（5.15）的解，再由5.2.1的定理1*，得到

1(t)(t)(t)c

这里c是确定的常数列向量，由此即得

(t)(t)c(t)

定理证毕。

定理7告诉我们，为了寻求（5.15）的任一解，只要知道（5.14）的一个解和它对应的齐线性方程组（5.15）的基解矩阵。在知道（5.15）的基解矩阵(t)的情况下，寻求（5.14）的解(t)的简单的方法 常数变易法。

由定理1*可知,如果c是常数列向量，则(t)(t)c是（5.15）的解，它不可能是（5.14）的解。因此，将c变易为t的向量函数，而试图寻求（5.14）的形如

(t)(t)c(t) （5.24）

的解。这里c(t)是待定的向量函数。

假设（5.14）存在形如（5.24）的解，这时，将（5.24）代入（5.14）得到

(t)c(t)(t)c(t)A(t)(t)c(t)f(t)

.s.. .. . ..

. .. . ..

因为(t)是（5.15）的基解矩阵，所以(t)A(t)(t)，由此上式中含有A(t)(t)c(t)的项消去了。因而c(t)必须满足关系式

(t)c(t)f(t) （5.25）

因为在区间atb上(t)是非奇异的，所以(t)存在。用(t)左乘（5.25）两边，得到

11c(t)1(s)f(s)ds，t0,ta,b

t0t其中c(t0)0。这样，（5.24）变为

(t)(t)1(s)f(s)ds，t0,ta,b （5.26）

t0t因此，如果（5.14）有一个形如（5.24）的解(t)，则(t)由公式（5.26）决定。

反之，用公式（5.26）决定的向量函数(t)必定是（5.14）的解。事实上，微分（5.26）得到

(t)(t)1(s)f(s)ds(t)1(t)f(t)t0tA(t)(t)(s)f(s)dsf(t)t0t

1再利用公式（5.26），即得

(t)A(t)(t)f(t)

显然，还有(t0)0，这样一来，我们就得到了下面的定理8。 定理8 如果(t)是（5.15）的基解矩阵，则向量函数

(t)(t)1(s)f(s)ds

t0t是（5.14）的解，且满足初始条件

(t0)0

由定理7和定理8容易看出（5.14）的满足初始条件

(t0)

的解(t)由下面公式给出

(t)(t)1(t0)(t)1(s)f(s)ds （5.27）

t01这里h(t)(t)(t0)是（5.15）的满足初始条件

th(t0)

.s.. .. . ..

. .. . ..

的解。公式（5.26）或公式（5.27）称为非齐线性微分方程组（5.14）的常数变易公式。 第五章

etx1111例2 xxxxx(0)1

0120et解 在例1中我们已经知道(t)0tet te是对应的齐线性方程组的基解矩阵。取矩阵(t)的逆，我们得到：

es01(t)seses1sse 01e2s这样，由定理8，满足初始条件

0(0)

0的解就是

et(t)0e0tettetts1sesedst0e010011tet(1e2t)(etet)22te00tette2sdst0e0

因为(0)E，对应的齐线性方程组满足初始条件

h(0)

1的解就是

11(t1)eth(t)(t)t

1e由公式（5.27），所求解就是

11(t1)et(etet)tet(etet)(t)h(t)(t) 22tet0e注意到5.1.1关于n阶线性微分方程的初值问题（5.6）与线性微分方程组的初值问题（5.7）等价

性的讨论，我们可以得到关于n阶非齐线性微分方程的常数变易公式。 推论3 如果a1(t),a2(t),间atb上齐线性方程

,an(t)，f(t)是区间atb上的连续函数，x1(t),x2(t),,xn(t)是区

x(n)a1(t)x(n1)an(t)x0 （5.21）

.s.. .. . ..

. .. . ..

的基本解组，那么，非齐线性方程

x(n)a1(t)x(n1)的满足初始条件

an(t)xf(t) （5.28） ,(n1)(t0)0 t0a,b

(t0)0,(t0)0,的解由下面公式给出

Wkx1(s),x2(s),,xn(s)(t)xk(t)f(s)ds (5.29) t0Wx(s),x(s),,x(s)k12n1nt这里Wx1(s),x2(s),是在Wx1(s),x2(s),,xn(s)是x1(s),x2(s),,xn(s)的伏朗斯基行列式，Wkx1(s),x2(s),,xn(s),xn(s)中的第k列代以(0,0,,0,1)T后得到的行列式，而且（5.28）的任一解

u(t)都具有形式

u(t)c1x1(t)c2x2(t)这里c1,c2,cnxn(t)(t) （5.30）

,cn是适当选取的常数。

公式（5.29）称为（5.28）的常数变易公式。

这时方程（5.28）的通解可以表为xc1x1(t)c2x2(t)其中c1,c2,cnxn(t)(t)

,cn是任意常数。并且由推论3知道，它包括了方程（5.28）的所有解。这就是第四章定

理7的结论。

当n2时，公式（5.29）就是

tW1x1(s),x2(s)W2x1(s),x2(s)(t)x1(t)f(s)dsx(t)f(s)ds但是 2t0Wx(s),x(s)t0Wx(s),x(s)2211tW1x1(s),x2(s)W2x1(s),x2(s)0x2(s)x2(s) (s)1x2x1(s)0x1(s)

(s)1x1因此，当n2时，常数变易公式变为

(t)t而通解就是

tx2(t),x1(s)x1(t),x2(s) f(s)ds （5.31）

0Wx1(s),x2(s)xc1x1(t)c2x2(t)(t) （5.32）

这里c1,c2是任意常数.

.s.. .. . ..

. .. . ..

例3 试求方程

xxtgt

的一个解。

解 易知对应的齐线性方程 xx0的基本解组为x1(t)cost，x2(t)sint。直接利用公式（5.31）来求方程的一个解。这时

Wx1(t),x2(t)costsintsintcost1

由公式（5.31）即得（取t00）

(t)(sintcosscostsins)tgsds0tsintsinsdscostsinstgsds00tt

sint(1cost)cost(sintlnsecttgt)sintcostlnsecttgt注意，因为sint是对应的齐线性方程的一个解，所以函数(t)costlnsecttgt 也是原方程的一个解。

§5.3 常系数线性微分方程组

本节研究常系数线性微分方程组的问题，主要讨论齐线性微分方程组

xAx （5.33）

的基解矩阵的结构，这里A是nn常数矩阵。我们将通过代数的方法，寻求（5.33）的一个基解矩阵。最后讨论拉普拉斯变换在常系数线性微分方程组中的应用。

5.3.1 矩阵指数expA的定义和性质

为了寻求（5.33）的一个基解矩阵，需要定义矩阵指数expA（或写作e），这要利用5.1.2中关于矩阵序列的有关定义和结果。

如果A是一个nn常数矩阵，我们定义矩阵指数expA为下面的矩阵级数的和

AAkAA2expAeEAk!2!k0Amm! （5.34）

其中E为n阶单位矩阵，A是矩阵A的m次幂。这里我们规定AE，0!1。这个级数对于所有的A都是收敛的，因而，expA是一个确定的矩阵。 事实上，由5.1.2中的性质1，易知对于一切正整数k，有

m0.s.. .. . ..

. .. . ..

AAk k!k!又因对于任一矩阵A，A是一个确定的实数，所以数值级数EA是收敛的（注意，它的和是n1eAkA22!AmAm!

）。由5.1.2知道，如果一个矩阵级数的每一项的范数都小于一

个收敛的数值级数的对应项，则这个矩阵级数是收敛的，因而（5.34）对于一切矩阵A都是绝对收敛

的。

级数

expAtk0Aktk （5.35） k!在t的任何有限区间上是一致收敛的。事实上，对于一切正整数k，当tc（c是某一正常数）时，有

AtAckAktk k!k!k!而数值级数

kkkk0Ack!k是收敛的，因而（5.35）是一致收敛的。

矩阵指数expA有如下性质：

1 如果矩阵A，B是可交换的，即ABBA，则

exp(AB)expAexpB （5.36）

事实上，由于矩阵级数（5.34）是绝对收敛的，因而关于绝对收敛数值级数运算的一些定理，

如项的重新排列不改变级数的收敛性和级数的和以及级数的乘法定理等都同样地可以用到矩阵级数中来。由二项式定理及ABBA，得

exp(AB)k0ABk!kkAtBkt （5.37） k0l0l!(kl)!另一方面，由绝对收敛级数的乘法定理得

AiBjexpAexpBi0i!j0j!ABk0l0l!(kl)!k1tkt （5.38）

比较（5.37）和（5.38），推得（5.36）.

2 对于任何矩阵A，(expA)存在，且

(expA)1exp(A) （5.39）

.s.. .. . ..

. .. . ..

事实上，A与A是可交换的，故在（5.36）中，令BA， 我们推得

expAexp(A)exp(A(A))exp0E

由此即有

(expA)1exp(A)

3 如果T是非奇异矩阵，则

exp(T1AT)T1(expA)T （5.40）

事实上

(T1AT)kexp(TAT)Ek!k11T1AkTEk!k0

Ak1ETTT(expA)Tk1k!1 定理9 矩阵

(t)expAt （5.41）

是（5.33）的基解矩阵，且(0)E.

证明 由定义易知(0)E，微分（5.41），我们得到

A2tA3t2(t)(expAt)A1!2!Aktk1(k1)!AexpAtA(t)

这就表明，(t)是（5.33）的解矩阵，又因为det(0)detE1，因此，(t)是（5.33）的基解矩阵。证毕。

由定理9，我们可以利用这个基解矩阵推知（5.33）的任一解(t)都具有形式

(t)(expAt)c （5.42）

这里c是一个常数向量。

在某些特殊情况下，容易得到（5.33）的基解矩阵expAt的具体形式。

a100a2例1 如果A是一个对角形矩阵，A00xAx的基解矩阵。

.s.. .. . ..

00（非主对角线上的元素都是零），试找出an . .. . ..

解 由（5.34）可得

a100a2expAtE00

ea1t00a2t0e0ant00e0a12020t0a21!an0000t22!2ana1k0k0a20000tkk!kan

根据定理9，这就是一个基解矩阵，当然，这个结果是很明显的，因为在现在的情况下，方程组

akxk，k1,2,可以写成xk,n，它可以分别进行积分。

21例2 试求xx的基解矩阵。

02解 因为A212001，而且后面的两个矩阵是可交换的，我们得到 0202002001expAtexptexpt02002e2t00101t2Et002!2t000e但是，

2

01000000 所以，级数只有两项。因此，基解矩阵就是

1t expAte2t015.3.2 基解矩阵的计算公式

定理9告诉我们，（5.33）的基解矩阵就是矩阵expAt.但是expAt是一个矩阵级数，这个矩阵的每一个元素是什么呢？事实上还没有具体给出，上面只就一些很特殊的情况，计算了expAt的元素。本段利用线性代数的基本知识，仔细地讨论expAt的计算方法，从而解决常系数线性微分方程组的基解矩阵的结构问题。

为了计算（5.33）的基解矩阵expAt，我们需要引进矩阵的特征值和特征向量的概念。

.s.. .. . ..

. .. . ..

类似于第四章的4.2.2，试图寻求

xAx （5.33）

的形如

(t)etc，c0 （5.43）

的解，其中常数和向量c是待定的。为此，将（5.43）代入（5.33），得到

etcAetc

因为e0，上式变为

(EA)c0 （5.44）

这就表示，ec是（5.33）的解的充要条件是常数和向量c满足方程（5.44）。方程（5.44）可以看作是向量c的n个分量的一个齐次线性代数方程组，根据线性代数知识，这个方程组具有非零解的充要

条件就是满足方程

ttdet(EA)0

这就引出下面的定义：

假设A是一个nn常数矩阵，使得关于u的线性代数方程组

(EA)u0 （5.45）

具有非零解的常数称为A的一个特征值。（5.45）的对应于任一特征值的非零解u称为A的对应于

特征值的特征向量。

n次多项式

p()det(EA)

称为A的特征多项式，n次代数方程

p()0 （5.46）

称为A的特征方程，也称它为（5.33）的特征方程。

根据上面的讨论，ec是（5.33）的解，当且仅当是A的特征值，且c是对应于的特征向量。

tA的特征值就是特征方程（5.46）的根。因为n次代数方程有n个根，所以A有n个特征值，当然不

一定n个都互不相同。如果0是特征方程的单根，则称0是简单特征根。如果0是特征方程的k重根，则称0是k重特征根。 例3 试求矩阵A35的特征值和对应的特征向量。 53解 A的特征值就是特征方程

53det(AE)26340 53.s.. .. . ..

. .. . ..

的根。几、解之得到1,235i。对应于特征值135i的特征向量

u1u

u2必须满足线性代数方程组

5i5u1(A1E)uu0

55i2因此，u1,u2满足方程组

iu1u20 u1iu20所以，对于任意常数0

1u

i是对应于135i的特征向量。类似地，可以求得对应于235i的特征向量为

iv

1其中0是任意常数。

例4 试求矩阵A解 特征方程为

21的特征值和对应的特征向量。 1421det(EA)2690 41因此，3是A的二重特征值。为了寻求对应于3的特征向量，考虑方程组

11c1(3EA)cc0

112或者

c1c20 c1c20因此，向量

1c

1是对应于特征值3的特征向量，其中0是任意常数。

.s.. .. . ..

. .. . ..

一个nn矩阵最多有n个线性无关的特征向量。当然，在任何情况下，最低限度有一个特征向量，因为最低限度有一个特征值。

首先，让我们讨论当A具有n个线性无关的特征向量时（特别当A具有n个不同的特征值时，就是这种情形），微分方程组（5.33）的基解矩阵的计算方法。 定理10 如果矩阵A具有n个线性无关的特征向量v1,v2,（不必各不相同），那么矩阵

1t2t(t)ev,ev2,1,vn，它们对应的特征值分别为1,2,,n,entvn，t

是常系数线性微分方程组

xAx （5.33）

的一个基解矩阵。

证明 由上面关于特征值和特征向量的讨论知道，每一个向量函数ejvj（j1,2,的一个解。因此，矩阵

1t2t(t)ev,ev2,1t,n）都是（5.33）

,entvn

,vn是线性无关的，所以

是（5.33）的一个解矩阵。因为，向量v1,v2,det(0)detv1,v2,,vn0

根据5.2.1的定理2*推得，(t)是（5.33）的一个基解矩阵。定理证毕。 例5 试求方程组xAx，其中A35的一个基解矩阵。 53解 由例3知道，135i和235i是A的特征值，而

i1v1 v2

1ie(35i)t是对应于1,2的两个线性无关的特征向量。根据定理10，矩阵(t)(35i)tie就是一个基解矩阵。

一般来说，定理10中的(t)不一定就是expAt。然而，根据5.2.1的推论2* ，可以确定它们之间的关系。因为expAt和(t)都是（5.33）的基解矩阵，所以存在一个非奇异的常数矩阵C，使得

ie(35i)t (35i)teexpAt(t)C

在上式中，令t0，我们得到C(0)。因此

1expAt(t)1(0) （5.47）

.s.. .. . ..

. .. . ..

根据公式（5.47），expAt的计算问题相当于方程组（5.33）的任一基解矩阵的计算问题。注意，公式（5.47）还有一个用途，这就是下面的附注所指出的。

附注1如果A是实的，那么expAt也是实的。因此，当A是实的，公式（5.47）给出一个构造实的基解矩阵的方法。

例6 试求例5的实基解矩阵（或计算expAt）。 解 根据（5.47）及附注1，从例5中得

e(35i)texpAt(35i)tie(35i)tie(35i)t1i1e(35i)t(35i)t(35i)t2ieei1(35i)t(35i)t1ie(35i)t1ie(35i)ti1ei(ee)3tcos5tsin5t1ee(35i)t(35i)tsin5tcos5t2i(e(35i)te(35i)t)ee(35i)t

现在讨论当A是任意的nn矩阵时，（5.33）的基解矩阵的计算方法，先引进一些有关的线性代数

知识。

假设A是一个nn矩阵，1,2,这里n1n2,k是A的不同的特征值，它们的重数分别为n1,n2,,nk，

nkn。那么对应于每一个nj重特征值j，线性代数方程组

(AjE)ju0 （5.48）

n的解的全体构成n维欧几里得空间的一个nj维子空间Uj(j1,2,为U1,U2,k)，并且n维欧几里得空间可表

,Uk的直接和。

,uk，其中

这就是说，对于n维欧几里得空间的每一个向量u，存在唯一的向量u1,u2,ujUj(j1,2,k)，使得 uu1u2uk （5.49）

关于分解式（5.49），我们举出它的两个特殊情形。如果A的所有特征值各不相同，这就是说，如果每一个nj1 (j1,2,为ujcjvj，其中v1,v2,k)，而kn，那么，对于任一个向量u，分解蚀（5.49）中的uj可以表,vn是A的一组线性无关的特征向量，cj(j1,2,k)是某些常数。如果A只有一个特征值，即k1，这时不必对n维欧几里得空间进行分解。

现在利用刚刚引述过的线性代数知识着手寻求（5.33）的基解矩阵，先从寻求任一满足初始条件

(0)的解(t)开始，从定理9知道，(t)可以表为(t)(expAt)，而将(expAt)明显地计

算出来，即要确切知道(t)的每一个分量。根据expAt的定义，一般来说，(expAt)的分量是一个无穷级数，因而难于计算。这里的要点就是将初始向量进行分解，从而使得(expAt)的分量可以表

.s.. .. . ..

. .. . ..

示为t的指数函数与t的幂函数乘积的有限项的线性组合。

假设1,2,,k分别是矩阵A的n1,n2,,nk重不同特征值。这时由（5.49），我们有

v1v其中vjUj，(j1,2,由此即得

vn （5.50）

k)，因为子空间Uj是由方程组（5.48）产生的，vj一定是（5.48）的解。

(AjE)lvj0，lnj，(j1,2, k) (5.51）

注意到当矩阵是对角形时，由例1知道，expAt是很容易求得的，这时得到

ejtttejexp(jEt)ej0由此，并根据等式（5.51），既有

0E tejjt(expAt)vj(expAt)eejtjtexp(jEt)vjeexp(AjE)tvjt22Et(AjE)(AjE)2!n1 tjnj1(AjE)vj(nj1)!在根据等式（5.50），知微分方程组（5.33）的解(t)(expAt)可表为

(t)(expAt)(expAt)vj(expAt)vjj1j1kkt2jteEt(AjE)(AjE)22!j1ktnj1(AjE)vj(nj1)!nj1

所以，方程（5.33）满足(0)的解(t)最后可以写成

(t)ej1kjtnj1tii(AE)vj (5.52) ji1i!n在特别情形，当A只有一个特征值时，无需将初始向量分解为（5.50），这时对于任何u，都有 (AE)u0

这就是说，(AE)是一个零矩阵，这样一来，由expAt的定义，我们得到

ntiexpAte(AE)te(AE)i （5.53）

i!i0ttn1为了要从（5.52）中得到expAt，只要注意到

.s.. .. . ..

. .. . ..

expAt(expAt)E(expAt)e1,(expAt)e2,1001其中 e1,e20,00000,en

01,(expAt)en

是单位向量，这就是说，依次令e1,e2,,en，求得n个解，以这n个解作为即可得到

expAt。

例7 如果A是例4的矩阵，试解初值问题xAx，(0)，并求expAt。

1解 从例4知道，13是A的二重特征值，这时n12，只有一个子空间U1，将n12及代

2入（5.52）即得

(t)e3tEt(A3E)e3tEt利用公式（5.53），即得

1113t1t(11) （5.54） e1122t(11)t113t1texpAteEt(A3E)eEtet1t

113t3t或者，分别令

e1，e2

01然后代入（5.54），亦同样得到上面的结果

10t1t expAte3tt1t4100004100例8 如果A00400，试求expAt

0004000004解 这里n5，4是A的5重特征值，直接计算可得(A4E)0。因此，由公式（5.53）可得

3expAte4tt22Et(A4E)(A4E)

2!.s.. .. . ..

. .. . ..

这样一来

10expAte4t00010000t100000000010000100t000100000101000000100t2000002!000000000001000000000000000000

e4tt2002!t001000100013x1x2x3x13112x1x3例9 考虑方程组x2，这里系数矩阵A201，试求满足初始条件

xxx2x11212331的解(t)，并求expAt。

(0)23解 A的特征方程为

det(EA)(1)(2)20

11，22分别为n11，n22重特征值，为了确定三维欧几里得空间的子空间U1和U2，根据

（5.48），需要考虑下面方程组：

(AE)u0和(A2E)2u0

首先讨论

211u0

(AE)u211111或

2u1u2u302u1u2u30 uuu0123这个方程组的解为

0

u1.s.. .. . ..

. .. . ..

其中为任意常数。子空间U1是由向量u1所张成的。其次讨论

000u0

(A2E)2u110110或

u1u20 uu012这个方程组的解为



u2其中，是任意常数。子空间U2是由向量u2所张成的。

现在需要找出向量v1U1，v2U2使得能够将初始向量写成（5.50）的形式。因为v1U1，

v2U2，所以

0，v

v12其中，，是某些常数，这样一来

10 23因而1，2，3，解之得到21，1，321，且

10，v

v1212131321根据公式（5.52），我们得到满足初始条件(0)的解为

.s.. .. . ..

. .. . ..

(t)etEv1e2t(Et(A2E))v2011e2tEt22et213111t01te2t2t12tet21t31t11110321t1t11321

01t(321)e2tt()et21321131321为了得到expAt，依次令等于

1000,1,0 001代入上式，我们得到三个线性无关的解。利用这三个解作为列，即得

(1t)e2texpAtet(1t)e2tete2tte2tette2tete2tte2tte2t e2t应该指出，公式（5.52）是本节的主要结果。公式（5.52）告诉我们，常系数线性微分方程组（5.33）

的任一解都可以通过有限次代数运算求出来。在常微分方程的理论上和应用上，微分方程组的解当t时的形态的研究都是非常重要的。作为公式（5.52）在这方面的一个直接应用，我们可以得到下面的定理11。

定理11 给定常系数线性微分方程组

xAx （5.33）那么 1 如果A的特征值的实部都是负的，则（5.33）的任一解当t时都趋于零。

2 如果A的特征值的实部都是非负的，且实部为零的特征值都是简单特征值，则（5.33）的任

一解当t时都保持有界。

3 如果A的特征值至少有一个具有正实部，则（5.33）至少有一个解当t时趋于无穷。

证明 根据公式（5.52），知道方程组（5.33）的任一解都可以表示为t的指数函数与t的幂函数乘积的线性组合，再根据指数函数的简单性质及定理中1，2两部分所作的假设，即可得1，2的证明。为了证明3，设i是A的特征值，其中，是实数且0。取为A的对应于特征值的特征向量，则向量函数

(t)et

.s.. .. . ..

. .. . ..

是（5.33）的一个解，于是

(t)et（当t时）

这就是所要证明的。

本段所讨论的步骤及公式（5.52）提供了一个实际计算（5.33）的基解矩阵的方法。在这里我们主要应用了有关空间分解的结论。

附注2 利用约当标准型计算基解矩阵。

对于矩阵A，由矩阵理论知道，必存在非奇异的矩阵T，使得

T1ATJ （5.55）

其中J具有约当标准型，即

J10J00这里

0J20000000 0Jl000000，(j1,2,01jj00Jj0001j00000100000,l)

000为nj阶矩阵，并且n1n2nln，而l为矩阵AE的初级因子的个数；1,2,,l是特征

方程（5.46）的根，其间可能有相同者；矩阵中空白的元素均为零。

由于矩阵J及Jj(j1,2,,l)的特殊形式，利用定义（5.34）容易计算得到

0expJ1t0expJ2texpJt0000其中

000 （5.56） 0expJlt0010expJjt000t1000t22!t00n1tj(nj1)!n2tjjt (nj2)!e （5.57）

1.s.. .. . ..

. .. . ..

所以，如果矩阵J是约当标准型，那么可以计算得到expJt，由（5.55）及矩阵指数的性质3，可以得到微分方程组（5.33）的基解矩阵expAt的计算公式：

expAtexp(TJT1)tT(expJt)T1 （5.58）

当然，根据5.2.1的推论1*，矩阵

(t)TexpJt （5.59）

也是（5.33）的基解矩阵。由公式（5.58）或者（5.59）都可以得到基解矩阵的具体结构，问题是非奇异矩阵T的计算比较麻烦。

附注3 计算基解矩阵expAt的另一方法

用直接代入的方法应用哈密顿—凯莱定理容易验证

expAtrj1(t)Pj

j0n1其中P0E，P（j1,2,(AE)，

kk1j，而r1(t),r2(t),,n）,rn(t)是初值问题

r11r1 r1rj1jrj,(j1,2,,n)r1(0)1,rj(0)0,(j1,2,,n)的解，1,2,,n是矩阵A的特征值（不必相异）。

现在应用这一方法计算例9给出的方程的基解矩阵expAt，这时11，232，求解初值问题：

r1r1rr2r212 r3r22r3r1(0)1,r2(0)r3(0)02ttt2tt得到r1e，r2ee，r3(t1)ee，计算得

21111

P1AE2111111

P2(AE)(A2E)111000.s.. .. . ..

. .. . ..

最后得到

2ten1expAtrj1(t)(1t)e2tetj0e2tette2tte2tete2tette2tte2t e2t与例9所得结果相同。

最后，我们给出非齐线性方程组

xAxf(t) （5.60）

的常数变易公式，这里A是nn常数矩阵，f(t)是已知的连续向量函数。因为（5.60）对应的齐线性方程组（5.33）的基解矩阵(t)expAt，所以，5.2.2中的常数变易公式在形式上变得特别简单。这时，我们有(s)exp(sA)，(t)1(s)exp(ts)A，若初始条件是(t0)，则

1（5.60）的解就是 h(t)exp(tt0)A，

(t)exp(tt0)Aexp(ts)Af(s)ds （5.61）

t0t我们可以利用本段提供的方法具体构造基解矩阵expAt。然而，除非是某些特殊的情形，要去具体计算（5.61）中的积分式也是不容易的。

et035例10 设A，f(t)，试求方程xAxf(t)满足初始条件(0)1的解。

530解由前面的例6知道，

cos5tsin5texpAte3t

sin5tcos5t代入公式（5.61），我们得到

cos5tsin5t0t3(ts)cos5(ts)sin5(ts)es(t)eeds 0sin5tcos5t1sin5(ts)cos5(ts)03t我们计算上面的积分如下：

sin5t3tt4scos5tcos5ssin5tsin5s(t)ee0esin5tcos5scos5tsin5sds

cos5t3t利用公式或者分部积分法，得到

e0t4se4sstcos5sds(4cos5s5sin5s)s01625e4sstsin5sds(4sin5s5cos5s)s0

1625

e0t4s最后我们得到

.s.. .. . ..

. .. . ..

13t4cos5t46sin5t4e4t(t)e

4146cos5t4sin5t5e4t5.3.3 拉普拉斯变换的应用

拉普拉斯变换可以用于解常系数高阶线性微分方程，有可以用来解常系数线性微分方程组。为此，首先将拉普拉斯变换推广到向量函数的情形。我们定义

Lf(t)estf(t)dt

0这里f(t)是n维向量函数，要求它的每一个分量都存在拉普拉斯变换。其次，我们来建立下面的定理12，它保证了对常系数线性微分方程（组）施行拉普拉斯变换的可能性。

考虑常系数线性微分方程

xAxf(t)

其中A为nn常数矩阵，f(t)为0t上的连续n维向量函数（包括f(t)0的情形）。 定理12 如果对向量函数f(t)，存在常数M0及0试不等式

f(t)Met （5.62）

对所有充分大的t成立，则初值问题

xAxf(t)，x(0)

的解(t)及其导数(t)均像f(t)一样满足类似（5.62）的不等式，从而它们的拉普拉斯变换都存在。 证明 根据假设存在足够的的T，试当tT使时f(t)Me，而

t(t)A(s)f(s)ds0tA(s)f(s)dsA(s)f(s)ds0TTt

注意到在所假设条件下，解(t)（(0)）于0t存在、唯一且连续，故于0,T上

A(t)f(t)有界，即存在K0试

A(s)f(s)dsK

0T于是

(t)K两边乘以etMetA(s)ds

Ttt，并注意到当ts时ees，得到

(t)etKetMA(s)esds

Tt.s.. .. . ..

. .. . ..

令LKeTM及r(t)(t)et，则当tT时KettTML，r(t)0且

r(t)LAr(s)ds

由此根据格朗瓦尔不等式（见习题3.1）即得

r(t)LexpA(tT)，tT

或

(t)LexpATr(t)expAt，tT

又计及(t)A(t)f(t)，则当tT时就有

(t)A(t)f(t)t ALexpATexpAtMeALexpATMexpAt这就是说，对向量函数(t)及(t)存在相应的常数M和使不等式（5.62）成立。易见它们的每一个分量都是原函数，从而拉普拉斯变换存在。因此，按定义向量函数f(t)及(t)，(t)的拉普拉斯变换均存在。

推论 如果对于数值函数f(t)，存在常数M0及0使不等式

f(t)Met

对所有充分大的t成立，则常系数线性微分方程的初值问题

(n)(n1)anxf(t)xa1x （4.32） (n1)(n1),,x(0)x0x(0)x0,x(0)x0的解及其直至n阶导数均存在拉普拉斯变换。

例11 利用拉普拉斯变换求解例10. 解 将方程组写成分量形式，即

3x15x2etx1 x25x13x2,1(0)0,2(0)1令X1(s)L1(t)，X2(s)L2(t)，以x11(t)，x22(t)代入方程组后，对方程组施行拉普拉斯变换（依定理12，这是可能的）得到

1sX1(s)3X1(s)5X2(s)s1 sX2(s)15X1(s)3X2(s)即

.s.. .. . ..

. .. . ..

1(s3)X1(s)5X2(s)s1 5X1(s)(s3)X2(s)1由此解得

s351s351s1X(s)44641(s3)252(s3)25241(s3)252s1 5s3s351X(s)s114645222(s3)25241(s3)252s1(s3)5取反变换或查拉普拉斯变换表即得

13te(4cos5t46sin5t4e4t)4112(t)e3t(46cos5t4sin5t5e4t)

411(t)

所得结果跟例10一致。 例12 试求方程组

2x1x2x1 xx4x212满足初始条件1(0)0，2(0)1的解(1(t),2(t))。并求出它的基解矩阵。

解 令X1(s)L1(t)，X2(s)L2(t)。假设x11(t)，x22(t)满足微分方程组，我们对方程取拉普拉斯变换，得到

sX1(s)1(0)2X1(s)X2(s) sX(s)(0)X(s)4X(s)2212即

(s2)X1(s)X2(s)1(0)0 X1(s)(s4)X2(s)2(0)1解出X1(s)，X2(s)，得到

X1(s)取反变换，即得

1s211X(s)， 2222(s3)s3(s3)(s3)1(t)te3t，2(t)e3tte3t(1t)e3t

为了要寻求基解矩阵，再求满足初始条件1(0)1 2(0)0的解(1(t),2(t))。如前一样，我们得到方程组

.s.. .. . ..

. .. . ..

(s2)X1(s)X2(s)1(0)1 X(s)(s4)X(s)(0)0122的解为

X1(s)取反变换，得到

s4111X(s)， 2222(s3)s3(s3)(s3)1(t)(1t)e3t，1(t)te3t

这样一来，基解矩阵就是

t(t)1(t)3t1t。 (t)1et1t2(t)2(t)应用拉普拉斯变换还可以直接去解高阶的常系数线性微分方程组,而不必先化为一阶的常系数线性

微分方程组.

例13 试求方程组

2x1x22x20x1 t2x1x22ex1(0)2，2(0)0的解(1(t),2(t))。 满足初始条件1(0)3，1解 令X1(s)L1(t)，X2(s)L2(t)，对方程组取拉普拉斯变换，我们得到

s2X1(s)3s22sX1(s)3sX2(s)2X2(s)0 2sX1(s)32X1(s)sX2(s)s1整理后得到

(s22s)X1(s)(s2)X2(s)3s4 3s1(s2)X1(s)sX2(s)s1解上面方程组，即有

3s24s1111X1(s)(s1)(s1)(s2)s1s1s2

X2(s)再取反变换就得到解

211

(s1)(s1)s1s11(t)etete2t，2(t)etet。

拉普拉斯变换可以提供另一种寻求常系数线性微分方程组

xAx (5.33)

.s.. .. . ..

. .. . ..

的基解矩阵的方法.

设(t)是（5.33)满足初始条件(0)的解，我们令X(s)L(t)。对（5.33）两边取拉普拉斯变换并利用初始条件，得到

sX(s)AX(s)

因此

(sEA)X(s) （5.63）

方程组（5.63）是以X(s)的n个分量X1(s),X2(s),,Xn(s)为未知量的n阶线性代数方程组。显然，

如果s不等于A的特征值，那么det(sEA)0。这时，根据克莱姆法则，从方程组（5.63）中可以唯一一地解出X(s)。因为det(sEA)是s的n次多项式，所以X(s)的每一个分量都是s的有理函数，而且关于的分量1,2,,n都是线性的。因此，X(s)的每一个分量都可以展为部分分式（分母是

(si)的整数幂，这里i是A的特征值）。这样一来，取X(s)的反变换就能求地对应于任何初始向

量的解(t)。依次令

10011,20,00就求地解1(t),2(t),0,n

01,n(t)作为列向量就构成（5.330的一个基解矩阵

,n(t)。以1(t),2(t),(t)，且(0)E。

例14 试构造方程组xAx的一个基解矩阵，其中

311。

A201112解 对方程组两边取拉普拉斯变换，得到

sX(s)AX(s)

即

(sEA)X(s)

由A的具体元素代入，得到方程组

.s.. .. . ..

. .. . ..

s311X1(s)12s1X(s) 2211s2X3(s)3按第一行将det(sEA)展开，得到

det(sEA)(s3)s(s2)12(s2)1(2s)s5s8s4(s1)(s2)根据克莱姆法则，有

322

111s121s2X1(s)3(s1)(s2)2

1s(s2)12(s21)3(1s)1(s1)23(s1)(s2)2(s202s31121213s2X2(s)(s1)(s2)21(2s3)2(s25s5)3(1s)(s1)(s2)2s3112s2113X3(s)(s1)(s2)2

1(s2)2(s2)3(s23s2)(s1)(s2)212(s1)(s2)3s2到此，最好先将1,2,3的具体数值代入，再取反变换比较方便些。首先，令11,20,30，我们得到

X1(s)s1AB

(s2)2s2(s2)2从(s1)A(s2)B得到A1，B1。因此

X1(s)11 s2(s2)2x1(t)e2tte2t(1t)e2t

同时，又得

.s.. .. . ..

. .. . ..

X2(s)22s3CDF

(s1)(s2)2s1s2(s2)2从2s3C(s2)D(s2)(s1)F(s1)得到C1，D1，F1，因此

X2(s)111 s1s2(s2)2x2(t)(t1)e2tet

同样，可计算得到

X3(s)111

(s1)(s2)s2s1x3(t)e2tet

这样一来，

(1t)e2t1(t)(1t)e2tet

e2tet其次，令10，21，30，我们得到

X1(s)1 2(s2)x1(t)te2t

A1B1C1s25s5X2(s)

(s1)(s2)2s1s2(s2)222从s5s5A1(s2)B1(s1)(s2)C1(s1)得A11，B10，C11。因此

X2(s)11 s1(s2)2x2(t)ete2t

又

X3(s)111

(s1)(s2)s1s2x3(t)ete2t

这样一来，

.s.. .. . ..

. .. . ..

te2t2(t)ette2t

ete2t最后，令10，20，31，我们得到

1X1(s)(s2)2，x)te2t1(t X12(s)(s2)2，x2(t)te2t X3(s)1s2，xt)e2t3( 这样一来，

te2t(t)te2t3

e2t综合上面的结果，得到基解矩阵

(1t)e2tte2t(t)t1(t),2(t),3(t)(1t)e2etette2te2tetete2t且

(0)E。

.s.. .. . ..

te2tte2t2t e