广东珠海一中14-15学年高二下学期期中考试数学文试题 (Word版含答案)

2014-2015学年（下）高二年级期中考试

文 科 数 学 试卷

（出卷人：易保中 2015.4.27）

一、选择题. （本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）

1.设i为虚数单位，复数z的共轭复数为z，且(z1)(1i)2i，则复数z的模为（ ）

A.5 B.5 C.2i D.1

2.用反证法证明“如果ab，那么3a3b”假设内容应是（ ） A.

3a3b B.3a3b

C.3a3b且3a3b D.3a3b或3a3b

3.集合P1,4,9,16,...，若aP,bP,则abP，则运算可能是（ ）

A.加法 B.减法 C.除法 D.乘法

13i，则zz（ ） 4.已知复数z22A.13131313i B.i C.i D.i 222222225.在数列an中，a10，an12an2，则猜想an（ ） A. 2n11 B.2n2 C.2n11 D.2n14 26.定义运算

abz12i0的复数z的共轭复数所对应的点在 =adbc，则符合条件

cd1i1i（ ）

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

x2tsin30227.已知直线（为参数）与圆xy8相交于B、C两点，O为原点，ty1tsin30则BOC的面积为（ ）

A.27 B.30 C.

1530 D. 22

8.如图，椭圆中心在坐标原点，F为左焦点，A为椭圆长轴右顶点，B为椭圆短轴上顶点，当

FBAB时，其离心率为51，此类椭圆称为“黄金椭圆”类2比“黄金椭圆”可推算出“黄金双曲线”的离心率e等于 （ ）

A.

51 B. 251

C. 2

51 D. 51

9.类比“两角和与差的正弦公式”的形式，对于给定的两个函数：S(x)axax，

C(x)axax，其中a0且a1，下面正确的运算公式是 （ ）

①S(xy)S(x)C(y)C(x)S(y)；②S(xy)S(x)C(y)C(x)S(y)； ③2S(xy)S(x)C(y)C(x)S(y)；④2S(xy)S(x)C(y)C(x)S(y). A.①② B.③④ C.①④ D.②③

10.设A1,A2,A3,A4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若A1A3A1A2(R)，

A1A4A1A2(R)，且

112，则称A3，A4调和分割A1，A2.已知平面上的点C,D

调和分割A,B，则下列说法正确的是 （ ） （A）．C可能是线段AB的中点 （B）．D可能是线段AB的中点 （C）．C，D可能同时在线段AB上 （D）．C，D不可能同时在线段AB的延长线上

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卷的横线上）

x2cost11.已知曲线C的参数方程为（t为参数），C在点(1,1)处的切线为l，以坐标原

y2sint点为极轴点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l的极坐标方程为___________.

ttxee12.参数方程（t为参数）的普通方程（注明x的范围）为________________. tty2(ee)13.设P是边长为a的正ABC内的一点，P点到三边的距离分别为h1、h2、h3，则

h1h2h33a；类比到空间，设P是棱长为a的空间正四面体ABCD内的一点，则2P点到四个面的距离之和h1h2h3h4________________.

14.设an是集合220st,且s,tZ中所有的数按从小到大的顺序排成的数列，即

st

a13，a25，a36，a49，a510，a612，„，将数列an中的各项按照上小下大，左小右大的原则写成如图所示的三角形数表，则这个三角形数表的第n行的数字之和是___________.

3 5 6 9 10 12 „„

三，解答题（本大题共6个小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.（本小题满分13分）一次考试中，五名学生的数学、物理成绩如下表所示： 学生 数学（x分） 物理（y分） A1 87 A2 91 A3 93 A4 95 92 A5 97 93 （1）要从5名学生中选2人参加一项活动，求选中的学生中至少有一人的物理成绩高于90

分的概率.

（2求这些数据的线性回归方程ybxa.

参考公式

^ˆb(xx)(yy)xynxyiiiii1nn(xx)ii1n2i1nˆ ˆybx,axi12inx2

16.（本小题满分13分）在直角坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为

x2cosa,a为参数， M是C1上的动点，P点 满足OP2OM，P点的轨迹为y22sina,曲线C2.（1）求曲线C1及曲线C2的普通方程；（2）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求曲

线C1及曲线C2的极坐标方程，并求AB.

17.（本小题满分13分）有一种密英文的明文（真实文）按字母分解，其中英文的a,b,c,的26个英文字母（不分大小写），依次对应1,2,3,a 1 b 2 c 3 d 4 e 5 f 6 g 7 h 8 i 9 j z26这26个自然数，见如下表格：

k l m 13 10 11 12

n 14 o 15 p q r s 19 t u v w x y z 26 16 17 18 20 21 22 23 24 25 给出如下的变换式：

x12(xN,1x26,x不能被2整除)'.X

x13(xN,1x26,x能被2整除)2将明文转换成密文，如885113=17 即h变成q；如5=3，即e变成c. 22①按上述规定，将明文good译成的密文是什么？

②按上述规定，若将某明文译成的英文是shxc，那么原来的明文是什么？

218. （本小题满分13分）已知某圆的极坐标方程为42cos(4)60，求：

①圆的普通方程和参数方程；

②在圆上所有点 (x,y)中，求u=xy的最大值和最小值.

19.（本小题满分14分）对于定义域为0,1的函数fx，如果同时满足以下三个条件：①对任意的x0,1，总有fx0；②f11；③若x10，x20，x1x21，都有fx1x2fx1fx2成立，则称函数fx为理想函数.试判断

g(x)2x1(x0,1) 是否为理想函数，如果是，请予证明；如果不是，请说明理由.

20. （本小题满分14分）将数列an中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：

a1aa23a4a5a6a7a8a9a10.....记表中的第一列数a1,a2,a4,a7,......构成的数列为bn，b1a11.sn为数列bn前n项和，且满足

2bn1(n2). 2bnsnsn1成等差数列，并求数列bn的通项公式； sn（1）证明数列

（2）上面数表中，若从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数.当a814时，求上表中第k(k3)行所有项的和. 912014-2015学年（下）高二年级期中考试

文 科 数 学 答案

一、选择题

1，B 2,D 3,D 4,D 5,B 6,A 7,C 8,A 9,B 10,D

二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在空格内）

x2y21(x2) 11．sin()2 12。

441613.

6a 14。(n+1)2n-1 3三、解答题（本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.（1）从5名学生中任取2名学生的所有情况为(A4,A5),(A4,A1),(A4,A2),(A4,A3),(A5,A1),

(A5,A2),(A5,A3),(A1,A2),(A1,A3),(A2,A3)共10种情况.„„„„„„„„„„4分

其中至少有一人物理成绩高于90分的情况有：(A4,A5),(A4,A1),(A4,A2),(A4,A3),

(A5,A1),(A5,A2),(A5,A3),共7种情况.

故上述抽取的5人中选2人，选中的学生的物理成绩至少有一人的成绩高于90分的概率P7. 10„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„6分 （2）可求得

9193959793，

5879293y90，

5x(xi15i15ix)(yiy)30，

x)2(4)2(2)202224240，

(xbi300.75，~~~~~~~~~~~~10分 40aybx20.25，

故y关于x的线性回归方程是y0.75x20.25. „„„„„„„„„„„„„„„

13分

16.解:(1)设P(x,y),则由条件知M(,).

由于M点在C1上,所以

xy22x2cos,x4cos,2 即 yy44sin.22sin.2x4cos,从而C2的参数方程为(为参数)„„„„„„5分

y44sin.两普通方程

C2：x2(y2)24

C2x2(y4)216 „„„„„„„„7分

(2)曲线C1的极坐标方程为4sin, „„„„„„„„8分 曲线C2的极坐标方程为18sin. „„„„„„„„„„„„9分 射线3与C1的交点A的极径为14sin3,

射线射线3与C2的交点B的极径为28sin3.

所以, AB2123. „„„„„„„„„„13分 17.解:(1) g7714d; 2151o158h;2

4d41315o;2 则明文good的密文为dhho. „„„„„„„„„„„„„„6分 (2)逆变换公式为

2x'1,(x'N,1x'13) x2x'26,(x'N,14x'26) 则有

s192192612l;h828115o;

x242242622v;c32315e. 故 密文shxe的明文为love. „„„„„„„„„„„„„„13分

18.解: (1)原方程可化为242(coscossincos)60, 44即24cos4sin60. ○1 因为2x2y2,xcos,ysin,

22所以○1可化为xy4x4y60,

即(x2)2(y2)22,此方程即为所求圆的普通方程. 设cos2(x2)2(y2),sin, 22x22cos(为参数).· 所以参数方程为······························7分

y22sin(2)由(1)可知xy(22cos)(22sin)

422(cossin)2cossin 322(cossin)(cossin)2.

设tcossin,则t2sin(4),t[2,2].

所以, xy322tt2(t2)21. 当t2时, xy有最小值为1,

当t2时, xy有最大值为9,···························13分 19.解: g(x)2x1(x[0,1])是理想函数,证明如下,

因为x[0,1],所以2x1,2x10,···················2分

即对任意x[0,1],总有g(x)0,满足条件○1.

2. ··················4分 g(1)211211,满足条件○

当x10,x20,x1x21时,

g(x1x2)2x1x21,

·····················6分 g(x1)g(x2)2x112x21,· ·于是g(x1x2)[g(x1)g(x2)]

(2x1x21)(2x112x21)2x12x22x12x21(2x11)(2x21). 由于x10,x20,所以2x110,2x210, 于是g(x1x2)[g(x1)g(x2)]0, 因此g(x1x2)g(x1)g(x2),满足条件○3,

故函数g(x)2x1(x[0,1])是理想函数.··············14分 20.解:(1)由已知,当n2时,

2bn1, 2bnSnSn2(SnSn1)1, 2(SnSn1)SnSn 又Snb1b2bn, 所以

即

2(SnSn1)1111, 所以,

Sn1SnSnSn12又S1b1a11. 所以数列{11}是首项为1,公差为的等差数列. Sn211n121(n1),即Sn. Sn22n1222. n1nn(n1）由上可知

所以当n2时, bnSnSn11,n1,因此bn· ····················7分 2,n2.n(n1）(2)设数表中从第三行起,每行的公比都为q,且q0.

因为1212121378, 2所以表中第1行至第12行共含有数列{an}的前7,故a81在表中第13行第三列, 因此a81b13q2又b134. 912,所以q2.记表中第k(k3)行所有项的和为S,则 1314Sbk(1qk)1q2k(k1)(12k)122k(k1)(12k),分

(k3).·

···············14