02n次重复试验与二项分布(检测+答案)

一、条件概率及其性质 1．条件概率的定义

设A、B为两个事件，且P(A)＞0，称P(B|A)＝2．条件概率的求法

求条件概率除了可借助定义中的公式，还可以借助古典概型概率公式，即P(B|A)＝

PAB为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率．

PAnAB. nA3．条件概率的性质

(1)条件概率具有一般概率的性质，即0≤P(B|A)≤1.

(2)如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝ P(B|A)＋P(C|A) ． 二、事件的相互性

1．设A、B为两个事件，如果P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互．

2．如果事件A与B相互，那么A与B，A与B，A与B也都相互． 三、二项分布

在n次重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p，那么在n次重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P(X＝k)＝Cnp1pkknk(k＝0,1,2，…，n)．

此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率． 例1：甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军．若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为 ( ) 3231 A. B. C. D. 43521解：甲获胜分为以下两种情况：第一种情况，第一局甲赢，其概率P1＝；第二种情况，需比赛2局，第一21113局甲负，第二局甲赢，其概率P2＝×＝.故甲队获得冠军的概率为P1＋P2＝. 22444例2：某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为，那么播下3粒种子恰有2粒发芽的概率是 ( )

5

1216A. B. C. D. 125125125125

421148解：P＝C2. 3()()＝55125例3：在100件产品中有95件合格品，5件次品，现从中不放回地取两次，每次任取一件，则在第一次取到次品后，第二次再次取到次品的概率为 ( ) 5454A. B. C. D. 9999101101C2C155解：设A＝{第一次取到不合格品}，B＝{第二次取到不合格品}，则P(AB)＝2，P(A)＝1， C100C100P(AB)4∴P(B|A)＝＝ P(A)9932例4：甲射击命中目标的概率为，乙射击命中目标的概率为，当两人同时射击同一目标时，该目标被击中43

的概率为________． 31123211解：P＝×＋×＋×＝. 4343431223

例5：两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独

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立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为________． 2解：设事件A：甲实习生加工的零件为一等品；事件B：乙实习生加工的零件为一等品，则P(A)＝，P(B)3323＝，所以这两个零件中恰有一个一等品的概率为：P(A·B)＋P(A·B)＝P(A)·P(B)＋P(A)·P(B)＝×(1－)434235＋(1－)×＝. 3412“相互”与“事件互斥”的区别 两事件互斥是指两个事件不可能同时发生，两事件相互是指一个事件发生与否对另一事件发生的概率没有影响．两事件相互不一定互斥．

例6：从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B＝“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)＝ ( ) 1121A. B. C. D. 84522C242C21P(A∩B)13＋C22解：P(A)＝＝＝，P(A∩B)＝2＝.由条件概率公式得P(B|A)＝＝ 2C5105C510P(A)4例7：市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂占30%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是80%，则从市场上买到一个是甲厂生产的合格灯泡的概率是 ( ) A．0.665 B．0.56 C．0.24 D．0.285

解：记A＝“甲厂产品”，B＝“合格产品”，则P(A)＝0.7，P(B|A)＝0.95，∴P(AB)＝P(A)·P(B|A)＝0.7×0.95＝0.665.

1

例8：某种电路开关闭合后，会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率是，两次闭

2

1

合都出现红灯的概率为.在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次出现红灯的概率为 ________

611解：“第一次闭合后出现红灯”记为事件A，“第二次闭合后出现红灯”记为事件B，则P(A)＝，P(AB)＝. 26161∴P(B|A)＝＝. 132例9：如图，用K、A1、A2三类不同的元件连接成一个系统．当K正常工作且A1、A2至少有一个正常工作时，系统正常工作．已知K、A1、A2正常工作的概率依次为0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为 ( ) A．0.960 B．0.8 C．0.720 D．0.576

解：可知K、A1、A2三类元件正常工作相互．所以当A1、A2至少有一个能正常工作的概率为P＝1－(1－0.8)2＝0.96.所以系统能正常工作的概率为PK·P＝0.9×0.96＝0.8.

例10：甲、乙两人同时报考某一所大学，甲被录取的概率为0.6，乙被录取的概率为0.7，两人同时被录取的概率为0.42，两人是否被录取互不影响，则其中至少有一人被录取的概率为 ( ) A．0.12 B．0.42 C．0.46 D．0.88 解：P＝0.6×0.3＋0.4×0.7＋0.42＝0.88.

例11：设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响．已知在某一小时内，甲、乙都需要照顾的概率为0.05，甲、丙都需要照顾的概率为0.1，乙、丙都需要照顾的概率为0.125. (1)求甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是多少？ (2)计算这个小时内至少有一台机器需要照顾的概率． 解：记“机器甲需要照顾”为事件A，“机器乙需要照顾”为事件B，“机器丙需要照顾”为事件C.由题意，各台机器是否需要照顾相互之间没有影响，因此，A、B、C是相互事件． (1)由已知得P(AB)＝P(A)·P(B)＝0.05，P(AC)＝P(A)·P(C)＝0.1，P(BC)＝P(B)·P(C)＝0.125. 解得P(A)＝0.2，P(B)＝0.25，P(C)＝0.5.所以甲、乙、丙每台机器需要照顾的概率分别为0.2、0.25、0.5. (2)记A的对立事件为A，B的对立事件为B，C的对立事件为C，则P(A)＝0.8，P(B)＝0.75， C)＝1－P(A)·P(C)＝0.5，于是P(A＋B＋C)＝1－P(A·P(B)·P(C)＝0.7.所以这个小时内至少有一台机B·器需要照顾的概率为0.7. 例12：根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3，设各车主购买保险相互．(1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；(2)X表示该地的100位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数．求X的期望．

解：记A表示事件：该地的1位车主购买甲种保险；B表示事件：该地的1位车主购买乙种保险但不购买甲种保险；C表示事件：该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种；D表示事件：该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买．

(1)P(A)＝0.5，P(B)＝0.3，C＝A＋B，P(C)＝P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.8.

(2)D＝，P(D)＝1－P(C)＝1－0.8＝0.2，X～B(100,0.2)，即X服从二项分布，所以期望E(X)＝100×0.2＝20. 例13：位于直角坐标原点的一个质点P按下列规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向向左或向右，

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并且向左移动的概率为，向右移动的概率为，则质点P移动五次后位于点(1,0)的概率是 ( )

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484080A. B. C. D. 243243243243解：依题意得，质点P移动五次后位于点(1,0)，则这五次移动中必有某两次向左移动，另三次向右移动，8012因此所求的概率等于C25·＝243. 33例14：如图，在竖直平面内有一个“游戏滑道”，空白部分表示光滑滑道，黑色正方形表示障碍物，自上而下第一行有1个障碍物，第二行有2个障碍物，…，依次类推．一个半径适当的光滑均匀小球从入口A投入滑道，小球将自由下落，已知小球每次遇到正方形障碍物上顶点时，向左、右

1

两边下落的概率都是.记小球遇到第n行第m个障碍物(从左至右)上顶点的概率

2

为 P(n，m)．

(1)求P(4,1)，P(4,2)的值，并猜想P(n，m)的表达式(不必证明)；

4－x，1≤x≤3，

(2)已知f(x)＝设小球遇到第6行第m个障碍物(从左至右)上顶

x－3，3点时，得到的分数为ξ＝f(m)，试求ξ的分布列及数学期望． 1311331n－1m－11解：(1)P(4,1)＝C0； 3()＝，P(4,2)＝C3()＝，猜想P(n，m)＝Cn－1＝()282821155(2)ξ＝3,2,1，P(ξ＝3)＝P(6,1)＋P(6,6)＝，P(ξ＝2)＝P(6,2)＋P(6,5)＝C15()＝， 162165P(ξ＝1)＝P(6,3)＋P(6,4)＝ 8ξ 3 2 1 155P 1616815523Eξ＝3×＋2×＋1×＝. 16168161．判断某事件发生是否是重复试验，关键有两点： (1)在同样的条件下重复，相互进行；(2)试验结果要么发生，要么不发生． 2．判断一个随机变量是否服从二项分布，要看两点：

(1)是否为n次重复试验．(2)随机变量是否为在这n次重复试验中某事件发生的次数．

2

例15：某射手每次射击击中目标的概率是，且各次射击的结果互不影响．

3

(1)假设这名射手射击5次，求恰有2次击中目标的概率；

(2)假设这名射手射击5次，求有3次连续击中目标，另外2次未击中目标的概率；

(3)假设这名射手射击3次，每次射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，在3次射击中，若有2次连续击中，而另外1次未击中，则额外加1分；若3次全击中，则额外加3分，记ξ为射手射击3次后的总的分数，求ξ的分布列． 2解：(1)设X为射手在5次射击中目标的次数，则X～B5,.在5次射击中，恰有2次击中目标的概率 323

2240P(X＝2)＝C2()2×(1－)3＝. 5×33243(2)设“第i次射击击中目标”为事件Ai(i＝1,2,3,4,5)；“射手在5次射击中，有3次连续击中目标，另外2次未211231击中目标”为事件A，则P(A)＝P(A1A2A3A4A5)＋P(A1A2A3A4A5)＋P(A1 A2A3A4A5)＝()3×()2＋×()×＋33333128()2×()3＝. 338111(3)由题意可知，ξ的所有可能取值为0,1,2,3,6，P(ξ＝0)＝P(A1 A2 A3)＝()3＝， 3272121211222P(ξ＝1)＝P(A1A2 A3)＋P(A1A2A3)＋P(A1 A2A3)＝×()＋××＋()×＝. 333333392124211228P(ξ＝2)＝P(A1A2A3)＝××＝，P(ξ＝3)＝P(A1A2A3)＋P(A1A2A3)＝()2×＋×()＝， 3332733332728P(ξ＝6)＝P(A1A2A3)＝()2＝，所以ξ的分布列是 327ξ 0 1 2 3 6 12488P 279272727