北京市西城区2017-2018学年九年级(上)期末数学试卷(含答案解析)

一、选择题（本题共16分，每小题2分）

1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，如果AC＝3，AB＝5，那么sinB等于（ ）

A． B． C． D．

图象上的两点，那么y1，y2的大小

2．点A（1，y1），B（3，y2）是反比例函数y＝关系是（ ） A．y1＞y2

B．y1＝y2

C．y1＜y2

D．不能确定

3．抛物线y＝（x﹣4）2﹣5的顶点坐标和开口方向分别是（ ） A．（4，﹣5），开口向上 C．（﹣4，﹣5），开口向上

B．（4，﹣5），开口向下 D．（﹣4，﹣5），开口向下

4．圆心角为60°，且半径为12的扇形的面积等于（ ） A．48π

B．24π

C．4π

D．2π

5．AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，如图，如果∠ACD＝34°，那么∠BAD等于（ ）

A．34° B．46° C．56° D．66°

6．如果函数y＝x2+4x﹣m的图象与x轴有公共点，那么m的取值范围是（ ） A．m≤4

B．m＜4

C．m≥﹣4

D．m＞﹣4

7．如图，点P在△ABC的边AC上，如果添加一个条件后可以得到△ABP∽△ACB，那么以下添加的条件中，不正确的是（ ）

A．∠ABP＝∠C B．∠APB＝∠ABC C．AB2＝AP•AC D．

8．如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）的对称轴为直线x＝1，如果关于x的方程ax2+bx﹣8＝0（a≠0）的一个根为4，那么该方程的另一个根为（ ）

A．﹣4 B．﹣2 C．1 D．3

二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9．抛物线y＝x2+3与y轴的交点坐标为 ．

10．如图，在△ABC中，D，E两点分别在AB，AC边上，DE∥BC，如果＝10，那么EC＝ ．

＝，AC

11．如图，在平面直角坐标系xOy中，第一象限内的点P（x，y）与点A（2，2）在同一个反比例函数的图象上，PC⊥y轴于点C，PD⊥x轴于点D，那么矩形ODPC的面积等于 ．

12．如图，直线y1＝kx+n（k≠0）与抛物线y2＝ax2+bx+c（a≠0）分别交于A（﹣1，0），B（2，﹣3）两点，那么当y1＞y2时，x的取值范围是 ．

13．如图，⊙O的半径等于4，如果弦AB所对的圆心角等于120°，那么圆心O到弦AB的距离等于 ．

14．2017年9月热播的专题片《辉煌中国﹣﹣圆梦工程》展示的中国桥、中国路等超级工程展现了中国现代化进程中的伟大成就，大家纷纷点赞“厉害了，我的国！”片中提到我国已成为拥有斜拉桥最多的国家，世界前十座斜拉桥中，中国占七座，其中苏通长江大桥（如图1所示）主桥的主跨长度在世界斜拉桥中排在前列．在图2的主桥示意图中，两座索塔及索塔两侧的斜拉索对称分布，大桥主跨BD的中点为E，最长的斜拉索CE长577m，记CE与大桥主梁所夹的锐角∠CED为α，那么用CE的长和α的三角函数表示主跨BD长的表达式应为BD＝ （m）．

15．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，其中点B的坐标为B（4，0），抛物线的对称轴交x轴于点D，CE∥AB，并与抛物线的对称轴交于点E．现有下列结论：其①a＞0；②b＞0；③4a+2b+c＜0；④AD+CE＝4．中所有正确结论的序号是 ．

16．如图，⊙O的半径为3，A，P两点在⊙O上，点B在⊙O内，tan∠APB＝，AB

⊥AP．如果OB⊥OP，那么OB的长为 ．

三、解答题（本题共68分，第17-20题每小题5分，第21、22题每小题5分，第23、24题每小题5分，第25、26题每小题5分，第27、28题每小题5分） 17．计算：2sin30°+cos245°﹣tan60°．

18．如图，AB∥CD，AC与BD的交点为E，∠ABE＝∠ACB． （1）求证：△ABE∽△ACB；

（2）如果AB＝6，AE＝4，求AC，CD的长．

19．在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1：y＝﹣x2+2x． （1）补全表格：

抛物线 顶点坐标 与x轴交点坐标 与y轴交点坐标 （0，0） y＝﹣x2+2x （1，1） （2）将抛物线C1向上平移3个单位得到抛物线C2，请画出抛物线C1，C2，并直接回答：抛物线C2与x轴的两交点之间的距离是抛物线C1与x轴的两交点之间距离的多少倍．

20．在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝45°．将△ABC绕点A逆时针旋转α度（0＜α＜180）得到△ADE，B，C两点的对应点分别为点D，E，BD，CE所在直线交于点F．

（1）当△ABC旋转到图1位置时，∠CAD＝ （用α的代数式表示），∠BFC的度数为 °；

（2）当α＝45时，在图2中画出△ADE，并求此时点A到直线BE的距离．

21．运动员将小球沿与地面成一定角度的方向击出，在不考虑空气阻力的条件下，小球的飞行高度h（m）与它的飞行时间t（s）满足二次函数关系，t与h的几组对应值如下表所示． t（s） h（m） 0 0 0.5 8.75 1 15 1.5 18.75 2 20 … … （1）求h与t之间的函数关系式（不要求写t的取值范围）； （2）求小球飞行3s时的高度；

（3）问：小球的飞行高度能否达到22m？请说明理由．

22．如图，在平面直角坐标系xOy中，双曲线y＝（k≠0）与直线y＝的交点为A

（a，﹣1），B（2，b）两点，双曲线上一点P的横坐标为1，直线PA，PB与x轴的交点分别为点M，N，连接AN． （1）直接写出a，k的值； （2）求证：PM＝PN，PM⊥PN．

23．CB为一边的∠α满足cosα＝如图，线段BC长为13，以C为顶点，．锐角△ABC

的顶点A落在∠α的另一边l上，且满足sinA＝．求△ABC的高BD及AB边的长，并结合你的计算过程画出高BD及AB边．（图中提供的单位长度供补全图形使用）

24．如图，AB是半圆的直径，过圆心O作AB的垂线，与弦AC的延长线交于点D，点E在OD上，∠DCE＝∠B． （1）求证：CE是半圆的切线；

（2）若CD＝10，tanB＝，求半圆的半径．

25．已知抛物线G：y＝x2﹣2ax+a﹣1（a为常数）． （1）当a＝3时，用配方法求抛物线G的顶点坐标； （2）若记抛物线G的顶点坐标为P（p，q）． ①分别用含a的代数式表示p，q；

②请在①的基础上继续用含p的代数式表示q；

③由①②可得，顶点P的位置会随着a的取值变化而变化，但点P总落在 的图象上．

A．一次函数 B．反比例函数 C．二次函数

（3）小明想进一步对（2）中的问题进行如下改编：将（2）中的抛物线G改为抛物线H：y＝x2﹣2ax+N（a为常数），其中N为含a的代数式，从而使这个新抛物线H满足：无论a取何值，它的顶点总落在某个一次函数的图象上．请按照小明的改编思路，

写出一个符合以上要求的新抛物线H的函数表达式： （用含a的代数式表示），b为常数，k≠0）k＝ ，它的顶点所在的一次函数图象的表达式y＝kx+b（k，中，b＝ ．

26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线M：y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A（﹣1，0），且顶点坐标为B（0，1）． （1）求抛物线M的函数表达式；

（2）设F（t，0）为x轴正半轴上一点，将抛物线M绕点F旋转180°得到抛物线M1．

①抛物线M1的顶点B1的坐标为 ；

②当抛物线M1与线段AB有公共点时，结合函数的图象，求t的取值范围．

27．（7分）如图1，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，∠OAB＝30°，点C在线段OB上，OC＝2BC，AO边上的一点D满足∠OCD＝30°．将△OCD绕点O逆时针旋转α度（90°＜α＜180°）得到△OC′D′，C，D两点的对应点分别为点C′，D′，连接AC′，BD′，取AC′的中点M，连接OM．

（1）如图2，当C′D′∥AB时，α＝ °，此时OM和BD′之间的位置关系为 ；

（2）画图探究线段OM和BD′之间的位置关系和数量关系，并加以证明．

28．在平面直角坐标系xOy中，A，B两点的坐标分别为A（2，2），B（2，﹣2）．对Q，于给定的线段AB及点P，给出如下定义：若点Q关于AB所在直线的对称点Q′落在△ABP的内部（不含边界），则称点Q是点P关于线段AB的内称点． （1）已知点P（4，﹣1）．

①在Q1（1，﹣1），Q2（1，1）两点中，是点P关于线段AB的内称点的是 ； ②若点M在直线y＝x﹣1上，且点M是点P关于线段AB的内称点，求点M的横坐标xM的取值范围；

（2）已知点C（3，3），⊙C的半径为r，点D（4，0），若点E是点D关于线段AB的内称点，且满足直线DE与⊙C相切，求半径r的取值范围．

2017-2018学年北京市西城区九年级（上）期末数学试卷

参与试题解析

一、选择题（本题共16分，每小题2分）

1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，如果AC＝3，AB＝5，那么sinB等于（ ）

A． B． C． D．

【分析】直接利用锐角三角函数关系得出sinB的值．

【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，AB＝5， ∴sinB＝故选：A．

【点评】此题主要考查了锐角三角函数关系，正确把握定义是解题关键． 2．点A（1，y1），B（3，y2）是反比例函数y＝关系是（ ） A．y1＞y2

B．y1＝y2

C．y1＜y2

D．不能确定

图象上的两点，那么y1，y2的大小

＝．

【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，把A点和B点坐标代入反比例函数解析式可计算出y1，y2，从而可判断它们的大小．

【解答】解：∵A（1，y1），B（3，y2）是反比例函数y＝∴y1＝﹣＝﹣6，y2＝﹣＝﹣2， ∴y1＜y2． 故选：C．

【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y＝（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k；双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称． 3．抛物线y＝（x﹣4）2﹣5的顶点坐标和开口方向分别是（ ）

图象上的两点，

A．（4，﹣5），开口向上 C．（﹣4，﹣5），开口向上

B．（4，﹣5），开口向下 D．（﹣4，﹣5），开口向下

【分析】根据y＝a（x﹣h）2+k，a＞0时图象开口向上，a＜0时图象开口向下，顶点坐标是（h，k），对称轴是x＝h，可得答案． 【解答】解：由y＝（x﹣4）2﹣5，得 开口方向向上， 顶点坐标（4，﹣5）． 故选：A．

【点评】本题考查了二次函数的性质，利用y＝a（x﹣h）2+k，a＞0时图象开口向上，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大；a＜0时图象开口向下，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，顶点坐标是（h，k），对称轴是x＝h， 4．圆心角为60°，且半径为12的扇形的面积等于（ ） A．48π

B．24π

C．4π

D．2π

【分析】直接根据扇形的面积公式进行计算． 【解答】解：根据扇形的面积公式，得 S＝故选：B．

【点评】本题主要是考查了扇形的面积公式，掌握扇形的面积公式是解题的关键．

5．AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，如图，如果∠ACD＝34°，那么∠BAD等于（ ）

＝24π（cm2）．

A．34° B．46° C．56° D．66°

【分析】由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得∠ADB＝90°，又由∠ACD＝34°，可求得∠ABD的度数，再根据直角三角形的性质求出答案． 【解答】解：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°，

∵∠ACD＝34°， ∴∠ABD＝34°

∴∠BAD＝90°﹣∠ABD＝56°， 故选：C．

【点评】此题考查了圆周角定理以及直角三角形的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．

6．如果函数y＝x2+4x﹣m的图象与x轴有公共点，那么m的取值范围是（ ） A．m≤4

B．m＜4

C．m≥﹣4

D．m＞﹣4

【分析】根据已知得出方程x2+4x﹣m＝0有两个的实数解，即△≥0，求出不等式的解集即可．

【解答】解：∵函数y＝x2+4x﹣m的图象与x轴有公共点，

∴方程x2+4x﹣m＝0有两个的实数解，即△＝42﹣4×1×（﹣m）≥0， 解得：m≥﹣4， 故选：C．

【点评】本题考查了二次函数与x轴的交点问题和一元二次方程的根的判别式，能得出关于m'的不等式是解此题的关键．

7．如图，点P在△ABC的边AC上，如果添加一个条件后可以得到△ABP∽△ACB，那么以下添加的条件中，不正确的是（ ）

A．∠ABP＝∠C B．∠APB＝∠ABC C．AB2＝AP•AC D．【分析】分别利用相似三角形的判定方法判断得出即可．

【解答】解：A、当∠ABP＝∠C时，又∵∠A＝∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；

B、当∠APB＝∠ABC时，又∵∠A＝∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误； C、当AB2＝AP•AC即

＝

时，又∵∠A＝∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；

D、无法得到△ABP∽△ACB，故此选项正确． 故选：D．

【点评】此题主要考查了相似三角形的判定，正确把握判定方法是解题关键．

8．如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）的对称轴为直线x＝1，如果关于x的方程ax2+bx﹣8＝0（a≠0）的一个根为4，那么该方程的另一个根为（ ）

A．﹣4 B．﹣2 C．1 D．3

【分析】根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点可得答案． 【解答】解∵关于x的方程ax2+bx﹣8＝0，有一个根为4， ∴抛物线与x轴的一个交点为（4，0）， ∵抛物线的对称轴为x＝1，

∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣2，0）， ∴方程的另一个根为x＝﹣2． 故选：B．

【点评】本题主要考查二次函数的图象与系数的关系，解题的关键数熟练掌握二次函数的对称性．

二、填空题（本题共16分，每小题2分）

9．抛物线y＝x2+3与y轴的交点坐标为 （0，3） ．

【分析】把x＝0代入解析式求出y，根据y轴上点的坐标特征解答即可． 【解答】解：当x＝0时，y＝3，

则抛物线y＝x2+3与y轴交点的坐标为（0，3）， 故答案为：（0，3）

【点评】本题考查的是二次函数图象上点的坐标特征，掌握y轴上点的横坐标为0是解

题的关键．

10．如图，在△ABC中，D，E两点分别在AB，AC边上，DE∥BC，如果＝10，那么EC＝ 4 ．

＝，AC

【分析】由DE∥BC，推出【解答】解：∵DE∥BC， ∴

＝

＝，

＝＝，可得EC＝AC，由此即可解决问题．

∵AC＝10， ∴EC＝×10＝4， 故答案为4．

【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．

11．如图，在平面直角坐标系xOy中，第一象限内的点P（x，y）与点A（2，2）在同一个反比例函数的图象上，PC⊥y轴于点C，PD⊥x轴于点D，那么矩形ODPC的面积等于 4 ．

【分析】根据点A的坐标可得出k的值，进而得出矩形ODPC的面积． 【解答】解：设点A（2，2）在反比例函数y＝的图象上，可得：解得：k＝4，

因为第一象限内的点P（x，y）与点A（2，2）在同一个反比例函数的图象上， 所以矩形ODPC的面积等于4， 故答案为：4

，

【点评】此题考查反比例函数系数k的几何意义，关键是根据点A的坐标可得出k的值．

12．如图，直线y1＝kx+n（k≠0）与抛物线y2＝ax2+bx+c（a≠0）分别交于A（﹣1，0），B（2，﹣3）两点，那么当y1＞y2时，x的取值范围是 ﹣1＜x＜2 ．

【分析】根据图象得出取值范围即可．

【解答】解：因为直线y1＝kx+n（k≠0）与抛物线y2＝ax2+bx+c（a≠0）分别交于A（﹣1，0），B（2，﹣3）两点， 所以当y1＞y2时，﹣1＜x＜2， 故答案为：﹣1＜x＜2

【点评】此题考查二次函数与不等式，关键是根据图象得出取值范围．

13．如图，⊙O的半径等于4，如果弦AB所对的圆心角等于120°，那么圆心O到弦AB的距离等于 2 ．

【分析】由圆心角∠AOB＝120°，可得△AOB是等腰三角形，又由OC⊥AB，再利用含30°角的直角三角形的性质，可求得OC的长． 【解答】解：如图，∵圆心角∠AOB＝120°，OA＝OB，

∴△OAB是等腰三角形， ∵OC⊥AB，

∴∠ACO＝90°，∠A＝30°， ∴OC＝

．

故答案为：2

【点评】此题考查了垂径定理、含30°角的直角三角形的性质．注意根据题意作出图形是关键．

14．2017年9月热播的专题片《辉煌中国﹣﹣圆梦工程》展示的中国桥、中国路等超级工程展现了中国现代化进程中的伟大成就，大家纷纷点赞“厉害了，我的国！”片中提到我国已成为拥有斜拉桥最多的国家，世界前十座斜拉桥中，中国占七座，其中苏通长江大桥（如图1所示）主桥的主跨长度在世界斜拉桥中排在前列．在图2的主桥示意图中，两座索塔及索塔两侧的斜拉索对称分布，大桥主跨BD的中点为E，最长的斜拉索CE长577m，记CE与大桥主梁所夹的锐角∠CED为α，那么用CE的长和α的三角函数表示主跨BD长的表达式应为BD＝ 1154cosα （m）．

【分析】根据题意和特殊角的三角函数可以解答本题． 【解答】解：由题意可得，

BD＝2CE•cosα＝2×577×cosα＝1154cosα， 故答案为：1154cosα．

【点评】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用特殊角的三角函数解答．

15．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，其中点B的坐标为B（4，0），抛物线的对称轴交x轴于点D，CE∥AB，并与抛物线的对称轴交于点E．现有下列结论：其①a＞0；②b＞0；③4a+2b+c＜0；④AD+CE＝4．中所有正确结论的序号是 ②④ ．

【分析】根据图象的开口方向、与x和y轴的交点、对称轴所在的位置，判断即可． 【解答】解：①该函数图象的开口向下，a＜0，错误；

②∵a＜0，﹣＞0，∴b＞0，正确；

③把x＝2代入解析式可得4a+2b+c＞0，错误；

④∵AD＝DB，CE＝OD，∴AD+OD＝DB+OD＝OB＝4，可得：AD+CE＝4，正确． 故答案为：②④

【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系．根据二次函数y＝ax2+bx+c系数符号判断抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数． 16．如图，⊙O的半径为3，A，P两点在⊙O上，点B在⊙O内，tan∠APB＝，AB⊥AP．如果OB⊥OP，那么OB的长为 1 ．

【分析】如图，连接OA，作AM⊥OB交OB的延长线于M，作PN⊥MA交MA的延长线于N．则四边形POMN是矩形．想办法求出OM、BM即可解决问题；

【解答】解：如图，连接OA，作AM⊥OB交OB的延长线于M，作PN⊥MA交MA的延长线于N．则四边形POMN是矩形．

∵∠POB＝∠PAB＝90°， ∴P、O、B、A四点共圆， ∴∠AOB＝∠APB，

∴tan∠AOM＝tan∠APB＝＝

，设AM＝4k，OM＝3k，

在Rt△OMA中，（4k）2+（3k）2＝32， 解得k＝（负根已经舍弃）， ∴AM＝

，OM＝，AN＝MN﹣AM＝

∵∠MAB+∠ABM＝90°，∠MAB+∠PAN＝90°， ∴∠ABM＝∠PAN，∵∠AMB＝∠PNA＝90°，

∴△AMB∽△PNA， ∴

＝

， ，

∴＝

∴BM＝，

∴OB＝OM﹣BM＝1． 故答案为1

【点评】本题考查点与圆的位置关系，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形，特殊四边形解决问题．

三、解答题（本题共68分，第17-20题每小题5分，第21、22题每小题5分，第23、24题每小题5分，第25、26题每小题5分，第27、28题每小题5分） 17．计算：2sin30°+cos245°﹣tan60°． 【分析】根据特殊角的三角函数值，即可解答． 【解答】解：原式＝2×+（＝1+﹣＝﹣

）2﹣

．

【点评】考查了特殊角的三角函数值，属于识记性题目，基础题． 18．如图，AB∥CD，AC与BD的交点为E，∠ABE＝∠ACB． （1）求证：△ABE∽△ACB；

（2）如果AB＝6，AE＝4，求AC，CD的长．

【分析】（1）根据相似三角形的判定证明即可； （2）利用相似三角形的性质解答即可．

【解答】证明：（1）∵∠ABE＝∠ACB，∠A＝∠A，

∴△ABE∽△ACB； （2）∵△ABE∽△ACB， ∴

，

∴AB2＝AC•AE， ∵AB＝6，AE＝4， ∴AC＝∵AB∥CD， ∴△CDE∽△ABE， ∴∴

，

．

，

【点评】此题考查相似三角形的判定和性质，关键是根据相似三角形的判定证明△ABE∽△ACB．

19．在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1：y＝﹣x2+2x． （1）补全表格：

抛物线 顶点坐标 与x轴交点坐标 （0，0） 与y轴交点坐标 （0，0） y＝﹣x2+2x （1，1） （2，0） （2）将抛物线C1向上平移3个单位得到抛物线C2，请画出抛物线C1，C2，并直接回答：抛物线C2与x轴的两交点之间的距离是抛物线C1与x轴的两交点之间距离的多少倍．

【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题； （2）利用描点法即可解决问题；

【解答】解：（1）y＝﹣x2+2x与x轴的交点为（0，0）和（2，0） 故答案为（0，0）和（2，0）；

（2）抛物线C1，C2如图所示，抛物线C2与x轴的两交点之间的距离是抛物线C1与x轴的两交点之间距离的2倍

【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，二次函数的性质、平移变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

20．在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝45°．将△ABC绕点A逆时针旋转α度（0＜α＜180）得到△ADE，B，C两点的对应点分别为点D，E，BD，CE所在直线交于点F．

（1）当△ABC旋转到图1位置时，∠CAD＝ α﹣45° （用α的代数式表示），∠BFC的度数为 45 °；

（2）当α＝45时，在图2中画出△ADE，并求此时点A到直线BE的距离．

【分析】（1）如图1，利用旋转的性质得∠BAD＝∠CAE＝α，AB＝AD，AE＝AC，则∠CAD＝α﹣45°；再利用等腰三角形的性质和三角形内角和得到∠ABD＝∠ACE，所以∠BFC＝∠BAC＝45°．

（2）如图2，△ADE为所作，BE与AC相交于G，利用旋转的性质得点D与点C重合，∠CAE＝45°，AE＝AB＝2，则△ABE为等腰直角三角形，所以BE＝再证明AG⊥BE，然后根据等腰直角三角形的性质求出AG的长即可．

【解答】解：（1）∵△ABC绕点A逆时针旋转α度（0＜α＜180）得到△ADE，如图1，

AB＝2，

∴∠BAD＝∠CAE＝α，AB＝AD，AE＝AC，

而∠BAC＝45°， ∴∠CAD＝α﹣45°； ∵AB＝AD，AE＝AC，

∴∠ABD＝∠ADB＝（180°﹣∠BAD）＝（180°﹣α）＝90°﹣α，∠ACE＝∠AEC＝（180°﹣α）＝90°﹣α， ∴∠ABD＝∠ACE， ∴∠BFC＝∠BAC＝45°． 故答案为α﹣45°；45°；

（2）如图2，△ADE为所作，BE与AC相交于G， ∵△ABC绕点A逆时针旋转45度得到△ADE， 而AB＝AC，∠BAC＝45°，

∴点D与点C重合，∠CAE＝45°，AE＝AB＝2， ∴△ABE为等腰直角三角形， ∴BE＝

AB＝2

，

而AG平分∠BAE， ∴AG⊥BE， ∴AG＝BE＝

，

．

即此时点A到直线BE的距离为

【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等腰直角三角形的性质和旋转的性质．

21．运动员将小球沿与地面成一定角度的方向击出，在不考虑空气阻力的条件下，小球

的飞行高度h（m）与它的飞行时间t（s）满足二次函数关系，t与h的几组对应值如下表所示． t（s） h（m） 0 0 0.5 8.75 1 15 1.5 18.75 2 20 … … （1）求h与t之间的函数关系式（不要求写t的取值范围）； （2）求小球飞行3s时的高度；

（3）问：小球的飞行高度能否达到22m？请说明理由．

【分析】（1）设h与t之间的函数关系式为h＝at2+bt（a≠0），然后再根据表格代入t＝1时，h＝15；t＝2时，h＝20可得关于a、b的方程组，再解即可得到a、b的值，进而可得函数解析式；

（2）根据函数解析式，代入t＝3可得h的值；

（3）把函数解析式写成顶点式的形式可得小球飞行的最大高度，进而可得答案． 【解答】解：（1）∵t＝0时，h＝0，

∴设h与t之间的函数关系式为h＝at2+bt（a≠0）， ∵t＝1时，h＝15；t＝2时，h＝20， ∴解得

， ，

∴h与t之间的函数关系式为h＝﹣5t2+20t；

（2）小球飞行3秒时，t＝3（s），此时h＝﹣5×32+20×3＝15（m）． 答：小球飞行3s时的高度为15米；

（3）∵h＝﹣5t2+20t＝﹣5（t﹣2）2+20， ∴小球飞行的最大高度为20m， ∵22＞20，

∴小球的飞行高度不能达到22m．

【点评】此题主要考查了二次函数的应用，关键是掌握待定系数法求函数解析式，掌握

配方法化顶点解析式．

22．如图，在平面直角坐标系xOy中，双曲线y＝（k≠0）与直线y＝

的交点为A

（a，﹣1），B（2，b）两点，双曲线上一点P的横坐标为1，直线PA，PB与x轴的交点分别为点M，N，连接AN． （1）直接写出a，k的值； （2）求证：PM＝PN，PM⊥PN．

【分析】（1）依据双曲线y＝（k≠0）与直线y＝的交点为A（a，﹣1），B（2，

b）两点，可得点A与点B关于原点对称，进而得到a，k的值；

（2）根据双曲线y＝上一点P的横坐标为1，可得点P的坐标为（1，2），进而得到直线PA，PB的函数表达式分别为y＝x+1，y＝﹣x+3，求得直线PA，PB与x轴的交点坐标分别为M（﹣1，0），N（3，0），即可得到PM＝PN，PM⊥PN． 【解答】解：（1）∵双曲线y＝（k≠0）与直线y＝b）两点，

∴点A与点B关于原点对称， ∴a＝﹣2，b＝1，

∴把A（﹣2，﹣1）代入双曲线y＝，可得k＝2；

的交点为A（a，﹣1），B（2，

（2）证明：∵双曲线y＝上一点P的横坐标为1， ∴点P的坐标为（1，2），

∴直线PA，PB的函数表达式分别为y＝x+1，y＝﹣x+3，

∴直线PA，PB与x轴的交点坐标分别为M（﹣1，0），N（3，0）， ∴PM＝2

，PN＝2，MN＝4，

∴PM＝PN，PM2+PN2＝MN2， ∴∠MPN＝90°， ∴PM⊥PN．

【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数交点问题以及勾股定理的逆定理的运用，求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解．解决问题的关键是掌握待定系数法求一次函数解析式．

23．CB为一边的∠α满足cosα＝如图，线段BC长为13，以C为顶点，

．锐角△ABC

的顶点A落在∠α的另一边l上，且满足sinA＝．求△ABC的高BD及AB边的长，并结合你的计算过程画出高BD及AB边．（图中提供的单位长度供补全图形使用）

【分析】先利用直角作出BD，再用勾股定理求出BD，再用锐角三角函数求出AB，AD，即可得出结论．

【解答】解：如图，作BD⊥l于点D， 在Rt△CBD中，∠CDB＝90°，BC＝13， ∴cosC＝cosα＝

，

＝5，BD＝

＝12，

∴CD＝BC•cosC＝13×

在Rt△ABD中，BD＝12，sinA＝， ∴tanA＝， ∴AB＝

＝15，AD＝

＝9，

作图，以点D为圆心，9为半径作弧与射线l交于点A，连接AB，

【点评】此题是解直角三角形，主要考查了基本作图，勾股定理，锐角三角函数，解本题的关键是求出AB和AD．

24．如图，AB是半圆的直径，过圆心O作AB的垂线，与弦AC的延长线交于点D，点E在OD上，∠DCE＝∠B． （1）求证：CE是半圆的切线；

（2）若CD＝10，tanB＝，求半圆的半径．

【分析】（1）利用同角的余角相等判断出∠BCO＝∠B，进而判断出∠BCO+∠BCE＝90°，即可得出结论；

（2）先求出sinB，再利用同角的余角相等判断出∠D＝∠B即可得出结论． 【解答】解：（1）连接OC，

∵AB是半圆的直径，AC是半圆的弦， ∴∠ACB＝90°，

∵点D在弦AC的延长线上，

∴∠DCB＝180°﹣∠ACB＝90°， ∴∠DCE+∠BCE＝90°， ∵OC＝OB， ∴∠BCO＝∠B， ∵∠DCE＝∠B，

∴∠BCO+∠BCE＝90°， 即：∠OCE＝90°， ∴CE⊥OC， ∵点C在半圆上， ∴CE是半圆的切线；

（2）解：如图1，

在Rt△ABC中，tanB＝，

设AC＝2k，则BC＝3k，根据勾股定理得，AB＝∴sinB＝

＝

，

k，

∵OD⊥AB， ∴∠D+∠A＝90°， ∵AB是半圆的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠B+∠A＝90°， ∴∠D＝∠B， ∴sinD＝sinB＝

，

＝

，

在Rt△CDF中，sinD＝∴cosB＝

设CF＝2m，DE＝∴13m2﹣4m2＝100， ∴m＝﹣

m，根据勾股定理得，DF2﹣CF2＝CD2，

（舍）或m＝，

∴CF＝，

＝＝3k，

k，

在Rt△BOF中，BF＝∴BC＝BF+CF＝∴k＝8， ∴OB＝

k＝4

k+

【点评】此题主要考查了切线的性质，同角的余角相等，勾股定理，圆的性质，解本题的关键是判断出∠BCO＝∠B．

25．已知抛物线G：y＝x2﹣2ax+a﹣1（a为常数）． （1）当a＝3时，用配方法求抛物线G的顶点坐标； （2）若记抛物线G的顶点坐标为P（p，q）． ①分别用含a的代数式表示p，q；

②请在①的基础上继续用含p的代数式表示q；

③由①②可得，顶点P的位置会随着a的取值变化而变化，但点P总落在 C 的图象上．

A．一次函数 B．反比例函数 C．二次函数

（3）小明想进一步对（2）中的问题进行如下改编：将（2）中的抛物线G改为抛物线H：y＝x2﹣2ax+N（a为常数），其中N为含a的代数式，从而使这个新抛物线H满足：无论a取何值，它的顶点总落在某个一次函数的图象上．请按照小明的改编思路，写出一个符合以上要求的新抛物线H的函数表达式： y＝x2﹣2ax+a2+a （用含a的代数式表示），它的顶点所在的一次函数图象的表达式y＝kx+b（k，b为常数，k≠0）中，k＝ 1 ，b＝ 0 ．

【分析】（1）将a＝1代入函数解析式，然后化为顶点式即可解答本题； （2）①将题目中的函数解析式化为顶点式即可用含a的代数式表示p、q；

②根据①中的结果可以解答本题； ③根据①②可以解答本题；

（3）答案不唯一，只要符合要就即可．

【解答】解：（1）当a＝3时，y＝x2﹣6x+3﹣1＝x2﹣6x+2＝（x﹣3）2﹣7， ∴此时抛物线的顶点坐标为（3，﹣7）；

（2）①y＝x2﹣2ax+a﹣1＝（x﹣a）2﹣a2+a﹣1， ∵抛物线G的顶点坐标为P（p，q）， ∴p＝a，q＝﹣a2+a﹣1； ②由①可得， q＝﹣p2+p﹣1；

③由①②可得，顶点P的位置会随着a的取值变化而变化，但点P总落在二次函数图象上， 故答案为：C；

（3）符合以上要求的新抛物线H的函数表达式：y＝x2﹣2ax+a2+a， ∵y＝x2﹣2ax+a2+a＝（x﹣a）2+a， ∴顶点坐标为（a，a），

∴它的顶点所在的一次函数图象的表达式y＝x， ∴k＝1，b＝0，

故答案为：y＝x2﹣2ax+a2+a，1，0．

【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数与一次函数在图象上的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数的思想解答．

26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线M：y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A（﹣1，0），且顶点坐标为B（0，1）． （1）求抛物线M的函数表达式；

（2）设F（t，0）为x轴正半轴上一点，将抛物线M绕点F旋转180°得到抛物线M1．

①抛物线M1的顶点B1的坐标为 （2t，﹣1） ；

②当抛物线M1与线段AB有公共点时，结合函数的图象，求t的取值范围．

【分析】（1）根据待定系数法，可得答案；

（2）①根据旋转的性质，可得B与B′关于F点对称，根据中点公式，可得答案； ②根据图象过A，B点，可得点的坐标符合解析式，根据图象，可得答案．

【解答】解：（1）由抛物线M的顶点坐标为B（0，1），设抛物线的解析式为y＝ax2+1，

将A（﹣1，2）代入解析式，得a×（﹣1）2+1＝0， 解得a＝﹣1，

∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+1， （2）①由旋转的性质，得

B1（x，y）与B（0，1）关于F（t，0）对称，

＝t，

＝0，

解得x＝2t，y＝﹣1， B1（2t，﹣1）；

故答案为：（2t，﹣1）；

②如图1，

由题意，得顶点是B1（2t，﹣1），二次项系数为1， ∴抛物线M1的解析式为y＝（x﹣2t）2﹣1 （t＞0）， 当抛物线M1经过A（﹣1，0），时（﹣1﹣t）2﹣1＝0， 解得t1＝﹣1，t2＝0．

当抛物线M1经过B（0，1）时， （2t）2﹣1＝1，

解得t＝，

结合图象分析，∵t＞0，

∴当抛物线M1与线段AB有公共点时，t的取值范围0＜t≤

．

【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用待定系数法是解（1）的关键；利用旋转得出B与B′关于F点对称是解（2）①的关键，利用象过A，B点得出点的坐标的坐标符合解析式是解②关键．

27．如图1，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，∠OAB＝30°，点C在线段OB上，OCAO边上的一点D满足∠OCD＝30°．＝2BC，将△OCD绕点O逆时针旋转α度（90°C，D两点的对应点分别为点C′，D′，＜α＜180°）得到△OC′D′，连接AC′，BD′，取AC′的中点M，连接OM．

（1）如图2，当C′D′∥AB时，α＝ 150 °，此时OM和BD′之间的位置关系为 垂直 ；

（2）画图探究线段OM和BD′之间的位置关系和数量关系，并加以证明．

【分析】（1）根据平行线的性质得到∠ABD′+∠C′D′B＝180°， 根据周角的定义即可得到结论；

（2）取AO的中点E，连接ME，延长MO交BD′于N，根据三角形的中位线的性质得到EM∥OC′，EM＝

OC′，根据相似三角形的性质得到∠AOM＝∠2，

，根据垂直的定义即可得到结论．

【解答】解：（1）∵C′D′∥AB， ∴∠ABD′+∠C′D′B＝180°， ∵∠ABO＝∠C′D′O＝60°， ∴∠OBD′+∠BD′O＝60°， ∴∠BOD′＝120°，

∴∠BOC′＝360°﹣90°﹣90°﹣120°＝150°， ∴α＝150°，此时，OM⊥BD′； 故答案为：150，垂直； （2）OM⊥BD′，OM＝

BD′，

证明：取AO的中点E，连接ME，延长MO交BD′于N， ∵AC′的中点M，

∴EM∥OC′，EM＝OC′，

∴∠OEM+∠AOC′＝180°，∵∠AOB＝∠C′OD′＝90°， ∴∠BOD′+′AOC′＝180°， ∴∠OEM＝∠BOD′，

∵∠OAB＝∠OC′D′＝30°，

∴＝＝＝，

∴，

∴△EOM∽△OBD′， ∴∠AOM＝∠2，即OM＝

BD′，

，

∵∠AOB＝90°，

∴∠AOM+∠3＝180°﹣∠AOB＝90°，∴∠2+∠3＝90°， ∴OM⊥BD′．

【点评】本题考查了平行线的性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．

28．在平面直角坐标系xOy中，A，B两点的坐标分别为A（2，2），B（2，﹣2）．对Q，于给定的线段AB及点P，给出如下定义：若点Q关于AB所在直线的对称点Q′落在△ABP的内部（不含边界），则称点Q是点P关于线段AB的内称点． （1）已知点P（4，﹣1）．

①在Q1（1，﹣1），Q2（1，1）两点中，是点P关于线段AB的内称点的是 点Q1 ；

②若点M在直线y＝x﹣1上，且点M是点P关于线段AB的内称点，求点M的横坐标xM的取值范围；

（2）已知点C（3，3），⊙C的半径为r，点D（4，0），若点E是点D关于线段AB的内称点，且满足直线DE与⊙C相切，求半径r的取值范围． 【分析】（1）①利用内对称点的意义即可得出结论；

②先判断出点O关于直线AB的对称点P'在直线y＝x﹣1上，即可判断出结论； （2）判断出DE与圆C相切时，圆C最大的半径和最小的位置，计算即可得出结论． 【解答】解：（1）

作出图形，由内对称点的意义得，点P关于线段AB的内称点的是Q1， 故答案为Q1；

②如图2，

点P（4，﹣1）关于AB所在直线的对称点P'（0，﹣1），此时，点P'恰好在直线y＝x﹣1上，

∵点M是点P关于线段AB的内对称点，

∴点M关于AB所在直线的对称点M'落在△ABP内部（不含边界）， ∵点M在直线y＝x﹣1上，

∴点M应在线段P'G上（点G为线段AB与直线y＝x﹣1的交点），且不与两个端点P'，G重合， ∴0＜xM＜2，

（2）如图3，

∵点E是点D关于线段AB的内称点，

∴点E关于AB所在直线的对称点E'应在△ABD内部（不含边界），

∵点D关于AB所在直线的对称点为原点O， ∴点E应在△ABO的内部（不含边界）， ∵A（2，2），C（3，3），D（4，0）， ∴AC＝

，AD＝2

，CD＝

，

∴AC2+AD2＝CD2， ∴∠CAD＝90°， ∴AC⊥AD，

此时，直线DA与以AC为半径的⊙C相切，半径AC＝

，

，

当直线DE与以CD为半径的⊙C相切，点D为切点，⊙C的半径最大，最大值为∴符合题意的⊙C的半径r的取值范围是

＜r≤

．

【点评】此题是一次函数综合题，主要考查了点的对称点的坐标的确定，理解和掌握新定义是解本题的关键．