北京市西城区2017届九年级(上)期末数学试卷(解析版)

一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．

1．抛物线y=（x﹣1）2+2的对称轴为（ ） A．直线x=1

B．直线x=﹣1 C．直线x=2 D．直线x=﹣2

2．我国民间，流传着许多含有吉祥意义的文字图案，表示对幸福生活的向往，良辰佳节的祝贺．比如下列图案分别表示“福”、“禄”、“寿”、“喜”，其中是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ）

A． B． C． D．

3．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，tanA=，则BC的长度为（ ）

A．2 B．8 C． D．

4．将抛物线y=﹣3x2平移，得到抛物线y=﹣3 （x﹣1）2﹣2，下列平移方式中，正确的是（ ）

A．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位 B．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位 C．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位 D．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位

5．如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点O为位似中心，把线段 AB放大后得到线段CD．若点A（1，2），B（2，0），D（5，0），则点A的对应点C的坐标是（ ）

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A．（2，5） B．（，5） C．（3，5） D．（3，6）

6．AB是⊙O的直径，C，D是圆上两点，BC，AD，CD．如图，连接AC，若∠CAB=55°，则∠ADB的度数为（ ）

A．55° B．45° C．35° D．25°

7．AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB于点C，如图，交⊙O于点D，连接OA．若AB=4，CD=1，则⊙O的半径为（ ）

A．5 B． C．3 D．

8．制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度”，再下料．右图是一段弯形管道，其中∠O=∠O’=90°，中心线的两条弧的半径都是1000mm，这段变形管道的展直长度约为（取π3.14）（ ）

A．9280mm B．6280mm C．6140mm D．457mm

9．当太阳光线与地面成40°角时，在地面上的一棵树的影长为10m，树高h（单位：m）的范围是（ ） A．3＜h＜5 B．5＜h＜10

C．10＜h＜15 D．15＜h＜20

10．在平面直角坐标系xOy中，开口向下的抛物线y=ax2+bx+c的一部分图象如图

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0）3）所示，它与x轴交于A（1，，与y轴交于点B （0，，则a的取值范围是（ ）

A．a＜0

B．﹣3＜a＜0 C．a＜ D．＜a＜

二、填空题（本题共18分，每小题3分）

11．二次函数y=x2﹣2x+m的图象与x轴只有一个公共点，则m的值为 ． 12．如图，在△ABC中，点E，F分别在AB，AC上，若△AEF∽△ABC，则需要增加的一个条件是 （写出一个即可）

13．如图，⊙O 的半径为1，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别为A，B．连接OA，OB，AB，PO，若∠APB=60°，则△PAB的周长为 ．

14．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y1=kx+m（k≠0）的抛物线y2=ax2+bx+c（a≠0）交于点A（0，4），B（3，1），当 y1≤y2时，x的取值范围是 ．

15．如图，在△ABC中，∠BAC=65°，将△ABC绕点A逆时针旋转，得到△AB'C'，

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连接C'C．若C'C∥AB，则∠BAB'= °．

16．考古学家发现了一块古代圆形残片如图所示，为了修复这块残片，需要找出圆心．

（1）请利用尺规作图确定这块残片的圆心O； （2）写出作图的依据： ．

三、解答题（本题共72分，第17～26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 17．计算：4cos30°﹣3tan60°+2sin45°•cos45°．

18．如图，D是等边三角形ABC内一点，将线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，连接CD，BE． （1）求证：∠AEB=∠ADC；

（2）连接DE，若∠ADC=105°，求∠BED的度数．

19．已知二次函数y=x2+4x+3．

（1）用配方法将二次函数的表达式化为y=a （x﹣h）2+k 的形式； （2）在平面直角坐标系xOy中，画出这个二次函数的图象； （3）根据（2）中的图象，写出一条该二次函数的性质．

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20．如图，在△ABC中，点D在BC边上，∠DAC=∠B．点E在AD边上，CD=CE．

（1）求证：△ABD∽△CAE；

（2）若AB=6，AC=，BD=2，求AE的长．

21．一张长为30cm，宽20cm的矩形纸片，如图1所示，将这张纸片的四个角各剪去一个边长相同的正方形后，把剩余部分折成一个无盖的长方体纸盒，如图

1所示，如果折成的长方体纸盒的底面积为2cm2，求剪掉的正方形纸片的边长．

22．一条单车道的抛物线形隧道如图所示．隧道中公路的宽度AB=8m，隧道的最高点C到公路的距离为6m．

（1）建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的表达式；

（2）现有一辆货车的高度是4.4m，货车的宽度是2m，为了保证安全，车顶距离隧道顶部至少0.5m，通过计算说明这辆货车能否安全通过这条隧道．

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23．如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，经过点C的直线与AB的延长线交于点D，连接AC，BC，∠BCD=∠CAB．E是⊙O上一点，弧CB=弧CE，连接AE并延长与DC的延长线交于点F． （1）求证：DC是⊙O的切线；

（2）若⊙O的半径为3，sinD=，求线段AF的长．

24．测量建筑物的高度

在《相似》和《锐角三角函数》的学习中，我们了解了借助太阳光线、利用标杆、平面镜等可以测量建筑物的高度．综合实践活动课上，数学王老师让同学制作了一种简单测角仪：把一根细线固定在量角器的圆心处，细线的另一端系一个重物（如图1）；将量角器拿在眼前，使视线沿着量角器的直径刚好看到需测量物体的顶端，这样可以得出需测量物体的仰角α的度数（如图2，3）．利用这种简单测角仪，也可以帮助我们测量一些建筑物的高度．天坛是世界上最大的祭天建筑群，1998年被确认为世界…文化遗产．它以严谨的建筑分布，奇特的建筑构造和瑰丽的建筑装饰闻名于世．祈年殿是天坛主体建筑，又称祈谷殿（如图4）．采用的是上殿下屋的构造形式，殿为圆形，象征天圆；瓦为蓝色，象征蓝天．祈年殿的殿座是圆形的祈谷坛．请你利用所学习的数学知识，设计一个测量方案，解决“测量天坛祈年殿的高度”的问题．要求： （1）写出所使用的测量工具；

（2）画出测量过程中的几何图形，并说明需要测量的几何量； （3）写出求天坛祈年殿高度的思路．

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25．如图，△ABC内接于⊙O，直径DE⊥AB于点F，交BC于点 M，DE的延长线与AC的延长线交于点N，连接AM． （1）求证：AM=BM；

（2）若AM⊥BM，DE=8，∠N=15°，求BC的长．

26．阅读下列材料：

有这样一个问题：关于x 的一元二次方程a x2+bx+c=0（a＞0）有两个不相等的且非零的实数根．探究a，b，c满足的条件．

小明根据学习函数的经验，认为可以从二次函数的角度看一元二次方程，下面是小明的探究过程：

①设一元二次方程ax2+bx+c=0（a＞0）对应的二次函数为y=ax2+bx+c（a＞0）； ②借助二次函数图象，可以得到相应的一元二次中a，b，c满足的条件，列表如下：

方程根的几何意义：请将（2）补充完整 方程两根的情况 对应的二次函数的大致图象 方程有两个 不相等的负实根 a，b，c满足的条件 方程有两个

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不相等的正实根 （1）参考小明的做法，把上述表格补充完整；

（2）若一元二次方程mx2﹣（2m+3）x﹣4m=0有一个负实根，一个正实根，且负实根大于﹣1，求实数m的取值范围．

27．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=﹣x2+mx+n与x轴交于点A，B（A在B的左侧）．

（1）抛物线的对称轴为直线x=﹣3，AB=4．求抛物线的表达式；

（2）平移（1）中的抛物线，使平移后的抛物线经过点O，且与x正半轴交于点C，记平移后的抛物线顶点为P，若△OCP是等腰直角三角形，求点P的坐标； （3）当m=4时，抛物线上有两点M（x1，y1）和N（x2，y2），若x1＜2，x2＞2，x1+x2＞4，试判断y1与y2的大小，并说明理由．

28．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，CD为AB边上的中线．在Rt△AEF中，∠AEF=90°，AE=EF，AF＜AC．连接BF，M，N分别为线段AF，BF的中点，连接MN．

（1）如图1，点F在△ABC内，求证：CD=MN；

（2）如图2，点F在△ABC外，依题意补全图2，连接CN，EN，判断CN与EN的数量关系与位置关系，并加以证明；

（3）将图1中的△AEF绕点A旋转，若AC=a，AF=b（b＜a），直接写出EN的最大值与最小值．

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29．在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：对于⊙C及⊙C外一点P，M，N是⊙C上两点，当∠MPN最大，称∠MPN为点P关于⊙C的“视角”．直线l与⊙C相离，点Q在直线l上运动，当点Q关于⊙C的“视角”最大时，则称这个最大的“视角”为直线l关于⊙C的“视角”． （1）如图，⊙O的半径为1，

①已知点A（1，1），直接写出点A关于⊙O的“视角”；已知直线y=2，直接写出直线y=2关于⊙O的“视角”；

②若点B关于⊙O的“视角”为60°，直接写出一个符合条件的B点坐标； （2）⊙C的半径为1，

①点C的坐标为（1，2），直线l：y=kx+b（k＞0）经过点D（﹣2直线l关于⊙C的“视角”为60°，求k的值； ②圆心C在x轴正半轴上运动，若直线y=直接写出圆心C的横坐标xC的取值范 围．

x+

关于⊙C的“视角”大于120°，

+1，0），若

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2016-2017学年北京市西城区九年级（上）期末数学试卷

参与试题解析

一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．

1．抛物线y=（x﹣1）2+2的对称轴为（ ） A．直线x=1

B．直线x=﹣1 C．直线x=2 D．直线x=﹣2

【考点】二次函数的性质．

【分析】由抛物线解析式可求得答案． 【解答】解： ∵y=（x﹣1）2+2， ∴对称轴为直线x=1， 故选A．

2．我国民间，流传着许多含有吉祥意义的文字图案，表示对幸福生活的向往，良辰佳节的祝贺．比如下列图案分别表示“福”、“禄”、“寿”、“喜”，其中是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ）

A． B． C． D．

【考点】中心对称图形；轴对称图形．

【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【解答】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误； B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误； C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项正确； D、轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误． 故选C．

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3．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，tanA=，则BC的长度为（ ）

A．2 B．8 C． D．

【考点】解直角三角形．

【分析】根据角的正切值与三角形边的关系求解． 【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4， ∴tanA==∴BC=2． 故选A．

4．将抛物线y=﹣3x2平移，得到抛物线y=﹣3 （x﹣1）2﹣2，下列平移方式中，正确的是（ ）

A．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位 B．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位 C．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位 D．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位 【考点】二次函数图象与几何变换．

【分析】找到两个抛物线的顶点，根据抛物线的顶点即可判断是如何平移得到．

=，

【解答】解：∵y=﹣3x2的顶点坐标为（0，0），y=﹣3（x﹣1）2﹣2的顶点坐标为（1，﹣2），

∴将抛物线y=﹣3x2向右平移1个单位，再向下平移2个单位，可得到抛物线y=﹣3（x﹣1）2﹣2． 故选D．

5．如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点O为位似中心，把线段 AB放大后得到线段CD．若点A（1，2），B（2，0），D（5，0），则点A的对应点C的坐标

第11页（共39页）

是（ ）

A．（2，5） B．（，5） C．（3，5） D．（3，6）

【考点】位似变换；坐标与图形性质．

【分析】利用位似图形的性质得出位似比，进而得出对应点坐标的关系． 【解答】解：∵以原点O为位似中心，把线段 AB放大后得到线段CD，且B（2，0），D（5，0）， ∴

=，

∵A（1，2）， ∴C（，5）． 故选：B．

6．AB是⊙O的直径，C，D是圆上两点，BC，AD，CD．如图，连接AC，若∠CAB=55°，则∠ADB的度数为（ ）

A．55° B．45° C．35° D．25° 【考点】圆周角定理．

【分析】推出Rt△ABC，求出∠B的度数，由圆周角定理即可推出∠ADC的度数．

【解答】解：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°， ∵∠CAB=55°，

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∴∠B=35°， ∴∠ADC=∠B=35°． 故选C．

7．AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB于点C，如图，交⊙O于点D，连接OA．若AB=4，CD=1，则⊙O的半径为（ ）

A．5 B． C．3 D．

【考点】垂径定理；勾股定理．

【分析】设⊙O的半径为r，在Rt△ACO中，根据勾股定理列式可求出r的值． 【解答】解：设⊙O的半径为r，则OA=r，OC=r﹣1， ∵OD⊥AB，AB=4， ∴AC=AB=2，

在Rt△ACO中，OA2=AC2+OC2， ∴r2=22+（r﹣1）2， r=， 故选D．

8．制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度”，再下料．右图是一段弯形管道，其中∠O=∠O’=90°，中心线的两条弧的半径都是1000mm，这段变形管道的展直长度约为（取π3.14）（ ）

A．9280mm B．6280mm C．6140mm D．457mm

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【考点】弧长的计算．

【分析】先计算出扇形的弧长再加上直管道的长度3000即可． 【解答】解：图中管道的展直长度=2×3.14+3000=6140mm． 故选C．

9．当太阳光线与地面成40°角时，在地面上的一棵树的影长为10m，树高h（单位：m）的范围是（ ） A．3＜h＜5 B．5＜h＜10 【考点】平行投影．

【分析】利用坡度算出坡角最大或最小时树高的范围即可． 【解答】解：AC=10．

①当∠A=30°时，BC=ACtan30°=10×②当∠A=45°时，BC=ACtan45°=10． ∴5.7＜h＜10， 故选B．

≈5.7．

C．10＜h＜15 D．15＜h＜20

+3000=1000π+3000≈1000×

10．在平面直角坐标系xOy中，开口向下的抛物线y=ax2+bx+c的一部分图象如图

0）3）所示，它与x轴交于A（1，，与y轴交于点B （0，，则a的取值范围是（ ）

A．a＜0 B．﹣3＜a＜0 C．a＜ D．＜a＜

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【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数图象与系数的关系．

【分析】根据图象得出a＜0，b＞0，由抛物线与x轴交于A（1，0），与y轴交于点B （0，3），得出a+b=﹣3，得出﹣3＜a＜0即可． 【解答】解：根据图象得：a＜0，b＞0，

∵抛物线与x轴交于A（1，0），与y轴交于点B （0，3）， ∴

，

∴a+b=﹣3， ∵b＞0， ∴﹣3＜a＜0， 故选：B．

二、填空题（本题共18分，每小题3分）

11．二次函数y=x2﹣2x+m的图象与x轴只有一个公共点，则m的值为 1 ． 【考点】抛物线与x轴的交点．

2【分析】根据△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点得到△=（﹣2）﹣4m=0，

然后解关于m的方程即可．

【解答】解：根据题意得△=（﹣2）2﹣4m=0， 解得m=1． 故答案为1．

12．如图，在△ABC中，点E，F分别在AB，AC上，若△AEF∽△ABC，则需要增加的一个条件是 EF∥BC （写出一个即可）

【考点】相似三角形的判定．

【分析】利用平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似进行添加条件．

【解答】解：当EF∥BC时，△AEF∽△ABC．

第15页（共39页）

故答案为EF∥BC．

13．如图，⊙O 的半径为1，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别为A，B．连接OA，OB，AB，PO，若∠APB=60°，则△PAB的周长为 3

．

【考点】切线的性质．

【分析】根据切线的性质得到OA⊥PA，OB⊥PB，OP平分∠APB，PA=PB，推出△PAB是等边三角形，根据直角三角形的性质得到PA=【解答】解：∵PA、PB是半径为1的⊙O的两条切线， ∴OA⊥PA，OB⊥PB，OP平分∠APB，PA=PB， 而∠APB=60°，

∴∠APO=30°，△PAB是等边三角形， ∴PA=

AO=

，

．

AO=

，于是得到结论．

∴△PAB的周长=故答案为：3

．

14．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y1=kx+m（k≠0）的抛物线y2=ax2+bx+c

4）B1）x的取值范围是 0≤x≤3 ．（a≠0）交于点A（0，，（3，，当 y1≤y2时，

【考点】二次函数与不等式（组）．

【分析】根据函数图象以及点A、B的坐标，写出抛物线在直线上方部分的x的取值范围即可．

【解答】解：∵两函数图象交于点A（0，4），B（3，1），

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∴当 y1≤y2时，x的取值范围是0≤x≤3． 故答案为：0≤x≤3．

15．如图，在△ABC中，∠BAC=65°，将△ABC绕点A逆时针旋转，得到△AB'C'，连接C'C．若C'C∥AB，则∠BAB'= 50 °．

【考点】旋转的性质；平行线的性质．

【分析】根据旋转的性质得AC′=AC，∠B′AB=∠C′AC，再根据等腰三角形的性质得∠AC′C=∠ACC′，然后根据平行线的性质由CC′∥AB得∠ACC′=∠CAB=65°，则∠AC′C=∠ACC′=65°，再根据三角形内角和计算出∠CAC′=50°，所以∠B′AB=50°． 【解答】解：解：∵△ABC绕点A逆时针旋转到△AB′C′的位置， ∴AC′=AC，∠B′AB=∠C′AC， ∴∠AC′C=∠ACC′， ∵CC′∥AB，

∴∠ACC′=∠CAB=65°， ∴∠AC′C=∠ACC′=65°， ∴∠CAC′=180°﹣2×65°=50°， ∴∠B′AB=50°， 故答案为50．

16．考古学家发现了一块古代圆形残片如图所示，为了修复这块残片，需要找出圆心．

第17页（共39页）

（1）请利用尺规作图确定这块残片的圆心O；

（2）写出作图的依据： 线段垂直平分线上的点与线段两个端点的距离相等；不在同一直线上的三个点确定一个圆 ．

【考点】作图—应用与设计作图；垂径定理的应用．

【分析】（1）直接在圆形残片上确定3点，进而作出两条垂直平分线的交点得出圆心即可；

（2）利用垂直平分线的性质得出圆心的位置． 【解答】（1）如图所示，点O即为所求作的圆心；

（2）作图的依据：

线段垂直平分线上的点与线段两个端点的距离相等；不在同一直线上的三个点确定一个圆．

三、解答题（本题共72分，第17～26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 17．计算：4cos30°﹣3tan60°+2sin45°•cos45°． 【考点】实数的运算；特殊角的三角函数值．

【分析】原式利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果． 【解答】解：原式=4×

18．如图，D是等边三角形ABC内一点，将线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，连接CD，BE．

第18页（共39页）

﹣3×+2××=1﹣．

（1）求证：∠AEB=∠ADC；

（2）连接DE，若∠ADC=105°，求∠BED的度数．

【考点】旋转的性质；等边三角形的性质．

【分析】（1）由等边三角形的性质知∠BAC=60°，AB=AC，由旋转的性质知∠DAE=60°，AE=AD，从而得∠EAB=∠DAC，再证△EAB≌△DAC可得答案； AE=AD知△EAD为等边三角形，（2）由∠DAE=60°，即∠AED=60°，继而由∠AEB=∠ADC=105°可得．

【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC=60°，AB=AC．

∵线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE， ∴∠DAE=60°，AE=AD．

∴∠BAD+∠EAB=∠BAD+∠DAC． ∴∠EAB=∠DAC． 在△EAB和△DAC中， ∵

，

∴△EAB≌△DAC． ∴∠AEB=∠ADC．

（2）如图，

第19页（共39页）

∵∠DAE=60°，AE=AD， ∴△EAD为等边三角形． ∴∠AED=60°，

又∵∠AEB=∠ADC=105°． ∴∠BED=45°．

19．已知二次函数y=x2+4x+3．

（1）用配方法将二次函数的表达式化为y=a （x﹣h）2+k 的形式； （2）在平面直角坐标系xOy中，画出这个二次函数的图象； （3）根据（2）中的图象，写出一条该二次函数的性质．

【考点】二次函数的三种形式；二次函数的图象． 【分析】（1）利用配方法把二次函数解析式配成顶点式； （2）利用描点法画出二次函数图象； （3）利用二次函数的性质求解． 【解答】解：（1）y=x2+4x+3 =x2+4x+22﹣22+3 =（x+2）2﹣1；

第20页（共39页）

（2）列表： x y … … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 3 0 ﹣1 0 0 3 … … 如图，

（3）当x＜﹣2时，y随x的增大而减小，当x＞﹣2时，y随x的增大而增大．

20．如图，在△ABC中，点D在BC边上，∠DAC=∠B．点E在AD边上，CD=CE．

（1）求证：△ABD∽△CAE；

（2）若AB=6，AC=，BD=2，求AE的长．

【考点】相似三角形的判定与性质．

【分析】（1）由CE=CD，推出∠CDE=∠CED，推出∠ADB=∠CEA，由∠DAC=∠B，即可证明．

（2）由（1）△ABD∽△CAE，得到即可解决问题．

【解答】（1）证明：∵CE=CD， ∴∠CDE=∠CED． ∴∠ADB=∠CEA．

第21页（共39页）

，把AB=6，AC=，BD=2，代入计算

∵∠DAC=∠B， ∴△ABD∽△CAE．

（2）解：由（1）△ABD∽△CAE， ∴

．

∵AB=6，AC=，BD=2， ∴AE=．

21．一张长为30cm，宽20cm的矩形纸片，如图1所示，将这张纸片的四个角各剪去一个边长相同的正方形后，把剩余部分折成一个无盖的长方体纸盒，如图

1所示，如果折成的长方体纸盒的底面积为2cm2，求剪掉的正方形纸片的边长．

【考点】一元二次方程的应用；展开图折叠成几何体．

【分析】设剪去的正方形边长为xcm，那么长方体纸盒的底面的长为（30﹣2x）cm，宽为（20﹣2x）cm，然后根据底面积是81cm2即可列出方程求出即可． 【解答】解：设剪掉的正方形纸片的边长为x cm． 由题意，得 （30﹣2x）（20﹣2x）=2． 整理，得 x2﹣25x+84=0．

解方程，得 x1=4，x2=21（不符合题意，舍去）． 答：剪掉的正方形的边长为4cm．

22．一条单车道的抛物线形隧道如图所示．隧道中公路的宽度AB=8m，隧道的

第22页（共39页）

最高点C到公路的距离为6m．

（1）建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的表达式；

（2）现有一辆货车的高度是4.4m，货车的宽度是2m，为了保证安全，车顶距离隧道顶部至少0.5m，通过计算说明这辆货车能否安全通过这条隧道．

【考点】二次函数的应用．

【分析】（1）以AB所在直线为x轴，以抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系xOy，如图所示，利用待定系数法即可解决问题． （1）求出x=1时的y的值，与4.4+0.5比较即可解决问题． 【解答】解：（1）本题答案不唯一，如：

以AB所在直线为x轴，以抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系xOy，如图所示．

∴A（﹣4，0），B（4，0），C（0，6）． 设这条抛物线的表达式为y=a（x﹣4）（x+4）． ∵抛物线经过点C， ∴﹣16a=6． ∴a=﹣

∴抛物线的表达式为y=﹣x2+6，（﹣4≤x≤4）．

（2）当x=1时，y=∵4.4+0.5=4.9＜

，

，

∴这辆货车能安全通过这条隧道．

第23页（共39页）

23．如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，经过点C的直线与AB的延长线交于点D，连接AC，BC，∠BCD=∠CAB．E是⊙O上一点，弧CB=弧CE，连接AE并延长与DC的延长线交于点F． （1）求证：DC是⊙O的切线；

（2）若⊙O的半径为3，sinD=，求线段AF的长．

【考点】切线的判定；圆周角定理；解直角三角形．

【分析】（1）连接OC，由AB是⊙O的直径，得到∠ACB=90°，即∠1+∠3=90°．根据等腰三角形的性质得到∠1=∠2．得到∠DCB+∠3=90°．于是得到结论； （2）根据三角函数的定义得到OD=5，AD=8．根据圆周角定理得到∠2=∠4．推出OC∥AF．根据相似三角形的性质即可得到结论． 【解答】（1）证明：连接OC，BC， ∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，即∠1+∠3=90°． ∵OA=OC， ∴∠1=∠2．

∵∠DCB=∠BAC=∠1． ∴∠DCB+∠3=90°． ∴OC⊥DF．

第24页（共39页）

∴DF是⊙O的切线；

（2）解：在Rt△OCD中，OC=3，sinD=． ∴OD=5，AD=8． ∵

=

，

∴∠2=∠4． ∴∠1=∠4． ∴OC∥AF． ∴△DOC∽△DAF． ∴∴AF=

． ．

24．测量建筑物的高度

在《相似》和《锐角三角函数》的学习中，我们了解了借助太阳光线、利用标杆、平面镜等可以测量建筑物的高度．综合实践活动课上，数学王老师让同学制作了一种简单测角仪：把一根细线固定在量角器的圆心处，细线的另一端系一个重物（如图1）；将量角器拿在眼前，使视线沿着量角器的直径刚好看到需测量物体的顶端，这样可以得出需测量物体的仰角α的度数（如图2，3）．利用这种简单测角仪，也可以帮助我们测量一些建筑物的高度．天坛是世界上最大的祭天建筑群，1998年被确认为世界…文化遗产．它以严谨的建筑分布，奇特的建筑构造和

第25页（共39页）

瑰丽的建筑装饰闻名于世．祈年殿是天坛主体建筑，又称祈谷殿（如图4）．采用的是上殿下屋的构造形式，殿为圆形，象征天圆；瓦为蓝色，象征蓝天．祈年殿的殿座是圆形的祈谷坛．请你利用所学习的数学知识，设计一个测量方案，解决“测量天坛祈年殿的高度”的问题．要求： （1）写出所使用的测量工具；

（2）画出测量过程中的几何图形，并说明需要测量的几何量； （3）写出求天坛祈年殿高度的思路．

【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．

【分析】根据题意画出图形，根据正切的概念解答即可． 【解答】解：（1）测量工具有：简单测角仪，测量尺；

（2）设CD表示祈年殿的高度，测量过程的几何图形如图所示； 需要测量的几何量如下：

①在点A，点B处用测角仪测出仰角α，β； ②测出A，B两点之间的距离s； （3）设CD的高度为x m． 在Rt△DBC中，， 在Rt△DAC中，，

∵AB=AC﹣BC， ∴，

解得，x=

．

25．如图，△ABC内接于⊙O，直径DE⊥AB于点F，交BC于点 M，线与AC的延长线交于点N，连接AM．

第26页（共39页）

的延长DE（1）求证：AM=BM；

（2）若AM⊥BM，DE=8，∠N=15°，求BC的长．

【考点】圆周角定理；勾股定理；垂径定理．

【分析】（1）由垂径定理可求得AF=BF，可知DE为AB的垂直平分线，可得AM=BM；

（2）连接AO，BO，可求得∠ACB=60°，可求得∠AOF，由DE的长可知AO，在Rt△AOF中得AF，在Rt△AMF中可求得AM，在Rt△ACM中，由可求得CM，则可求得BC的长． 【解答】（1）证明： ∵直径DE⊥AB于点F， ∴AF=BF， ∴AM=BM；

（2）连接AO，BO，如图， 由（1）可得 AM=BM， ∵AM⊥BM，

∴∠MAF=∠MBF=45°， ∴∠CMN=∠BMF=45°， ∵AO=BO，DE⊥AB， ∴∠AOF=∠BOF=∵∠N=15°，

∴∠ACM=∠CMN+∠N=60°，即∠ACB=60°， ∵∠ACB=

．

，

，

∴∠AOF=∠ACB=60°．

第27页（共39页）

∵DE=8， ∴AO=4．

在Rt△AOF中，由在Rt△AMF中，AM=BM=在Rt△ACM中，由∴BC=CM+BM=

，得AF==

． ，得CM=

．

，

，

+

26．阅读下列材料：

有这样一个问题：关于x 的一元二次方程a x2+bx+c=0（a＞0）有两个不相等的且非零的实数根．探究a，b，c满足的条件．

小明根据学习函数的经验，认为可以从二次函数的角度看一元二次方程，下面是小明的探究过程：

①设一元二次方程ax2+bx+c=0（a＞0）对应的二次函数为y=ax2+bx+c（a＞0）； ②借助二次函数图象，可以得到相应的一元二次中a，b，c满足的条件，列表如下：

方程根的几何意义：请将（2）补充完整

方程两根的情况 对应的二次函数的大致图象 方程有两个 不相等的负实根 a，b，c满足的条件 方程有一个负实根，一个正实根 第28页（共39页）

方程有两个 不相等的正实根 （1）参考小明的做法，把上述表格补充完整；

（2）若一元二次方程mx2﹣（2m+3）x﹣4m=0有一个负实根，一个正实根，且负实根大于﹣1，求实数m的取值范围．

【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数图象与系数的关系．

【分析】（1）由二次函数与一元二次方程的关系以及二次函数与系数的关系容易得出答案；

（2）根据题意得出关于m的不等式组，解不等式组即可． 【解答】解：（1）补全表格如下：

方程两根的情况 二次函数的大致图象 得出的结论 方程有一个负实根，一个正实根 故答案为：方程有一个负实根，一个正实根，， ；

（2）解：设一元二次方程mx2﹣（2m+3）x﹣4m=0对应的二次函数为：y=x2﹣（2m+3）x﹣4m，

∵一元二次方程mx2+（2m﹣3）x﹣4=0有一个负实根，一个正实根，

第29页（共39页）

且负实根大于﹣1， ∴

解得0＜m＜2．

∴m的取值范围是0＜m＜2．

27．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=﹣x2+mx+n与x轴交于点A，B（A在B的左侧）．

（1）抛物线的对称轴为直线x=﹣3，AB=4．求抛物线的表达式；

（2）平移（1）中的抛物线，使平移后的抛物线经过点O，且与x正半轴交于点C，记平移后的抛物线顶点为P，若△OCP是等腰直角三角形，求点P的坐标； （3）当m=4时，抛物线上有两点M（x1，y1）和N（x2，y2），若x1＜2，x2＞2，x1+x2＞4，试判断y1与y2的大小，并说明理由．

【考点】二次函数综合题．

【分析】（1）先根据抛物线和x轴的交点及线段的长，求出抛物线的解析式； （2）根据平移后抛物线的特点设出抛物线的解析式，再利用等腰直角三角形的性质求出抛物线解析式；

（3）根据抛物线的解析式判断出点M，N的大概位置，再关键点M，N的横坐标的范围即可得出结论．

【解答】解：（1）抛物线 y=﹣x2+mx+n的对称轴为直线x=﹣3，AB=4． ∴点 A（﹣5，0），点B（﹣1，0）． ∴抛物线的表达式为y=﹣（x+5）（ x+1） ∴y=﹣x2﹣6x﹣5．

第30页（共39页）

（2）如图1，

依题意，设平移后的抛物线表达式为：y=﹣x2+bx． ∴抛物线的对称轴为直线∴b＞0．

记平移后的抛物线顶点为P， ∴点P的坐标（，﹣

+

），

，抛物线与x正半轴交于点C（b，0）．

∵△OCP是等腰直角三角形， ∴=﹣∴b=2．

∴点P的坐标（1，1）． （3）如图2，

当m=4时，抛物线表达式为：y=﹣x2+4x+n． ∴抛物线的对称轴为直线 x=2．

∵点M（x1，y1）和N（x2，y2）在抛物线上， 且x1＜2，x2＞2，

∴点M在直线x=2的左侧，点N在直线x=2的右侧． ∵x1+x2＞4， ∴2﹣x1＜x2﹣2，

∴点P到直线x=2的距离比

点M到直线x=2的距离比点N到直线x=2的距离近， ∴y1＞y2．

第31页（共39页）

28．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，CD为AB边上的中线．在Rt△AEF中，∠AEF=90°，AE=EF，AF＜AC．连接BF，M，N分别为线段AF，BF的中点，连接MN．

（1）如图1，点F在△ABC内，求证：CD=MN；

（2）如图2，点F在△ABC外，依题意补全图2，连接CN，EN，判断CN与EN的数量关系与位置关系，并加以证明；

（3）将图1中的△AEF绕点A旋转，若AC=a，AF=b（b＜a），直接写出EN的最大值与最小值．

【考点】几何变换综合题．

【分析】（1）利用直角三角形的斜边的中线等于斜边的一半和三角形的中位线即可；

（2）构造出△EMN≌△DNC进而利用互余即可得出结论；

（3）借助（2）的结论，先判断出点N是以点D为圆心，为半径的圆上，即可得出结论．

【解答】解：（1）证明：在Rt△ABC中， ∵CD是斜边AB上的中线． ∴CD=AB．

在△ABF中，点M，N分别是边AF，BF的中点，

第32页（共39页）

∴MN=AB， ∴CD=MN．

（2）答：CN与EN的数量关系CN=EN， CN与EN的位置关系CN⊥EN． 证明：连接EM，DN，如图． 与（1）同理可得 CD=MN，EM=DN． 在Rt△ABC中，CD是斜边AB边上的中线， ∴CD⊥AB．

在△ABF中，同理可证EM⊥AF． ∴∠EMF=∠CDB=90°．

∵D，M，N分别为边AB，AF，BF的中点， ∴DN∥AF，MN∥AB．

∴∠FMN=∠MND，∠BDN=∠MND． ∴∠FMN=∠BDN．

∴∠EMF+∠FMN=∠CDB+∠BCN． ∴∠EMN=∠NDC． ∴△EMN≌△DNC． ∴CN=EN，∠1=∠2． ∵∠1+∠3+∠EMN=10°， ∴∠2+∠3+∠FMN=90°． ∴∠2+∠3+∠DNM=90°，

第33页（共39页）

即∠CNE=90°． ∴CN⊥EN．

（3）点N是以点D为圆心，为半径的圆上， 在Rt△ABC中，AC=BC=a， ∴AB=

a，

∵CD为AB边上的中线． ∴CD=AB=∴CN最大=CD+=由（2）知，EN=CN， ∴EN最大=

，EN最小=

，

，CN最小=CD﹣=

即：EN的最大值为

，最小值为．

29．在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：对于⊙C及⊙C外一点P，M，N是⊙C上两点，当∠MPN最大，称∠MPN为点P关于⊙C的“视角”．直线l与⊙C相离，点Q在直线l上运动，当点Q关于⊙C的“视角”最大时，则称这个最大的“视角”为直线l关于⊙C的“视角”． （1）如图，⊙O的半径为1，

①已知点A（1，1），直接写出点A关于⊙O的“视角”；已知直线y=2，直接写出直线y=2关于⊙O的“视角”；

②若点B关于⊙O的“视角”为60°，直接写出一个符合条件的B点坐标； （2）⊙C的半径为1，

①点C的坐标为（1，2），直线l：y=kx+b（k＞0）经过点D（﹣2直线l关于⊙C的“视角”为60°，求k的值； ②圆心C在x轴正半轴上运动，若直线y=直接写出圆心C的横坐标xC的取值范 围．

x+

关于⊙C的“视角”大于120°，

+1，0），若

第34页（共39页）

【考点】圆的综合题．

【分析】（1）①如图1中，过点A作⊙O的切线，切点分别为E、F．点A关于⊙O的“视角”就是两条切线的夹角．∠MPN就是直接写出直线y=2关于⊙O的“视

角”；②由①可知，点P关于⊙O的“视角”为60°，根据对称性即可推出点B坐标．

（2）①对于⊙C外的点P，点P关于⊙C的“视角”为60°，则点P在以C为圆心，2为半径的圆上．又直线l关于⊙C的“视角”为60°，此时，点P是直线l上与圆心C的距离最短的点，推出CP⊥直线l，则直线l是以C为圆心，2为半径的圆的一条切线，如图所示．作CH⊥x轴于点H，想办法求出点P坐标即可解决问题．②如图2中，当⊙C与直线y=

x+

相切时，设切点为P，连接PC则PC⊥AP，想

x+

关于⊙C的“视角”为120°，求

办法求出点C坐标，如图3中，设直线y=出此时的点C坐标，即可解决问题．

【解答】解：（1）①如图1中，过点A作⊙O的切线，切点分别为E、F．

∵A（1，1），⊙O的半径为1，

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∴四边形AEOF是正方形，

∴点A关于⊙O的“视角”为∠EAF=90°，

设直线y=2与y轴的交点为P，过点P作⊙O的切线，切点分别为M、N． 在Rt△POM中，∵PO=2OM， ∴∠OPM=30°，同理∠OPA=30°， ∴∠MPN=60°，

∴直线y=2关于⊙O的“视角”为60°， 故答案分别为90°，60°．

②由①可知，点P关于⊙O的“视角”为60°，

∴B（0，2），根据对称性点B得到坐标还可以为（2，0）或（﹣2，0）或（0，﹣2）（本题答案不唯一）

（2）解：①如图1中，

∵直线l：y=kx+b（k＞0）经过点D（﹣2∴（﹣2∴b=2

+1）k+b=0， k﹣k，

k﹣k，

+1，0），

∴直线l：y=kx+2

对于⊙C外的点P，点P关于⊙C的“视角”为60°， 则点P在以C为圆心，2为半径的圆上．

又直线l关于⊙C的“视角”为60°，此时，点P是直线l上与圆心C的距离最短的点．

∴CP⊥直线l．

则直线l是以C为圆心，2为半径的圆的一条切线，如图1所示．作CH⊥x轴于点H，

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∴点H的坐标为（1，0）， ∴DH=

．

∴∠CDH=30°，∠PDH=60°， 可求得点P的坐标（﹣∴3=（﹣∴k=

+1，3）．

+1）k+2k﹣k，

．

②如图2中，当⊙C与直线y=x+ 相切时，设切点为P，连接PC则PC⊥AP，

∵直线y=x+∴tan∠BAO=

与x轴的交点为A（﹣1，0），与y轴的交点为（0，=

，

），

∴∠BAO=60°， ∵PC⊥AP，

在Rt△APC中，PC=1， ∴AC=PC÷cos30°=

，

第37页（共39页）

∴OC=

﹣1，

如图3中，设直线y=x+关于⊙C的“视角”为120°，

作CP⊥AB于P，PE、PF是⊙C的切线，E、F是切点，则∠CPE=60°，PC=CE÷sin60°=

，

在Rt△APC中，AC=PC÷sin60°=， ∴OC=﹣1=， ∴直线y=

x+

关于⊙C的“视角”大于120°时，圆心C的横坐标xC的取值范围

﹣1＜xC＜．

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2017年2月10日

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