山东高三高中数学高考模拟
班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________
一、选择题
1.已知集合A．
（e为自然对数的底数）
( ) D．
B．
C．
2.复数A．
( )
B．
C．
D．
3.三棱柱的侧棱与底面垂直，且底面是边长为2的等边三角形，其正（主）视图（如图所示）的面积为8，则侧
（左）视图的面积为( )
A．8
B．4
C．
D．
4.函数A．
的图象的一条对称轴的方程是( )
B．
C．
D．
5.“”是“”的( ) A．充分不必要条件 C．充要条件
B．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
6.若A．C．
的弦AB的中点，则直线AB的方程是( )
B．D．
7.从8名女生和4名男生中，抽取3名学生参加某档电视节目，如果按性别比例分层抽样，则不同的抽取方法数为( ) A．224 B．112 C．56 D．28
8.现有四个函数①
②
，③
，④
的部分图象如下，但顺序被打乱，则按
照图象从左到右的顺序，对应的函数序号正确的一组是( )
A．①④②③ B．①④③② C．④①②③ D．③④②①
9.已知三点距离小于A．
的概率为( )
，且，则动点P到点C的
B．
C．
D．
10.已知定义在R上的函数
在区间
A．
满足：
上的所有实根之和为( ) B．
，
，则方程
C．
D．
二、填空题
1.若
展开式中的第5项为常数，则n等于__________.
2.执行右面的框图，若输出p的值是24，则输入的正整数N应为________.
3.若双曲线
4.已知双曲正弦函数
的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，则双曲线的离心率为__________. 和双曲作弦函数
与我们学过的正弦函数和余弦函数有许多类似的
性质，请类比正弦函数和余弦函数的和角或差角公式，写出双曲正弦或双曲余弦函数的一个类似的正确结论______________. 5.若关于x的不等式（组）____________.
恒成立，则所有这样的解x构成的集合是
三、解答题
1.已知函数（1）求函数
的最小正周期；
.
（2）在中，若的值.
2.寒假期间，我市某校学生会组织部分同学，用“10分制”随机调查“阳光花园”社区人们的幸福度，现从调查人群中随机抽取16名，如果所示的茎叶图记录了他们的幸福度分数（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字
为叶）；若幸福度分数不低于8.5分，则该人的幸福度为“幸福”.
（1）求从这16人中随机选取3人，至少有2人为“幸福”的概率；
（2）以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区（人数很多）任选3人，记表示抽到“幸福”的人数，求的分布列及数学期望.
3.如图，等腰梯形ABCD,AD//BC,P是平面ABCD外一点，P在平面ABCD的射影O恰在AD上，
.
（1）证明：；
（2）求二面角A-BP-D的余弦值.
4.已知数列
（1）求证数列（2）若 5.椭圆
的方程为
，离心率为
，且短轴一端点和两焦点构成的三角形面积为1，抛物线
是首项为
的前n项和
，公比；
的等比数列，设
.
对一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围.
的方程为（1）求椭圆
和抛物线
（2）过点F的直线交抛物线（3）直线交椭圆点)，若点S满足
6.已知函数（1）设曲线
（2）若对于任意实数（3）当出
，抛物线的焦点F与椭圆的一个顶点重合. 的方程；
于不同两点A,B，交y轴于点N，已知，判定点S是否在椭圆
..
处的切线为，点（1，0）到直线l的距离为
恒成立，试确定的取值范围；
处的切线与y轴垂直？若存在，求，求a的值；
上，并说明理由.
的值. (O为原
于不同两点P,Q，P,Q在x轴上的射影分别为P′,Q′，满足
是否存在实数
的值；若不存在，请说明理由.
山东高三高中数学高考模拟答案及解析
一、选择题
1.已知集合A．
（e为自然对数的底数）
( ) D．
B．
C．
【答案】C
【解析】由题可得
【考点】交集 定义域 值域 2.复数A．
( )
，
,根据交集的定义可得
＝
,故选C.
B．
C．
D．
【答案】D. 【解析】
,故选D.
【考点】复数 复数除法
3.三棱柱的侧棱与底面垂直，且底面是边长为2的等边三角形，其正（主）视图（如图所示）的面积为8，则侧
（左）视图的面积为( )
A．8
B．4
C．
D．
【答案】C
【解析】由图可知该几何体是直三棱柱,直三棱柱的棱长为,底面等边三角形的高为.故选C.
【考点】三视图 直三棱柱 4.函数A．
的图象的一条对称轴的方程是( )
，所以其左视图的面积为
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】对函数进行化简可得
,则由
得
.当
时，
故选A.
【考点】正余弦和差角公式 对称轴 5.“”是“”的( )
A．充分不必要条件 C．充要条件 B．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由指数函数的单调性可得等价于，当或时，不成立；而
等价于,能推出；所以“”是“”的必要不充分条件.故选B.
【考点】逻辑关系 指对数 6.若的弦AB的中点，则直线AB的方程是( ) A．C．
B．D．
【答案】A
【解析】圆的圆心为
.由圆的性质知，直线
垂直于弦
所在的直线,则
,
即.又由直线的点斜式方程得直线的方程为：,
即.故选A 【考点】圆 直线
7.从8名女生和4名男生中，抽取3名学生参加某档电视节目，如果按性别比例分层抽样，则不同的抽取方法数为( ) A．224 B．112 C．56 D．28
【答案】B
【解析】根据分层抽样，从8个人中抽取男生1人，女生2人；所以取2个女生1个男生的方法：故选B.
【考点】分层抽样 组合数
8.现有四个函数①
.
②，③，④的部分图象如下，但顺序被打乱，则按
照图象从左到右的顺序，对应的函数序号正确的一组是( )
A．①④②③ B．①④③② C．④①②③ D．③④②①
【答案】A 【解析】①关于原点对称；③
在定义域上是偶函数，其图象关于轴对称；②
在定义域上是奇函数，其图象关于原点对称，且当
时，其函数值
, 且当
在定义域上是奇函数，其图象
时，其函数值
.故选A.
;④
时，其函数值
,在定义域上为非奇非偶，且当
【考点】函数奇偶性 单调性 图像
9.已知三点距离小于A．
的概率为( )
，且，则动点P到点C的
B．
C．
D．
【答案】A 【解析】动点长为
满足的不等式组为
到点
的距离小于或等于
，画出可行域可知的区域是以
的运动区域为以为圆心且半径为
为中心且边的圆以及圆的内
的正方形，而点
部，所以,故选A
【考点】几何概型
10.已知定义在R上的函数
在区间
A．
满足：
上的所有实根之和为( ) B．
，
，则方程
C．
D．
【答案】C 【解析】由题意知
函数
的周期为，则函数
在区间
上
的图象如下图所示：
由图形可知函数
，则点
在区间的横坐标为.
【考点】数形结合 图像 周期性
上的交点为，所以方程，易知点的横坐标为，若设的横坐标为在区间上的所有实数根之和为
二、填空题
1.若【答案】12
【解析】根据二项式定理可得展开式第n+1项为由
,故填12.
【考点】二项式定理
因为第五项为常数项,所以
展开式中的第5项为常数，则n等于__________.
2.执行右面的框图，若输出p的值是24，则输入的正整数N应为________.
【答案】4
【解析】根据题意执行程序框图如下:
故.
【考点】程序框图
3.若双曲线【答案】 【解析】由得
得
，即
，即
.故填
的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，则双曲线的离心率为__________.
【考点】等差中项双曲线离心率双曲线几何性质
4.已知双曲正弦函数
和双曲作弦函数
与我们学过的正弦函数和余弦函数有许多类似的
性质，请类比正弦函数和余弦函数的和角或差角公式，写出双曲正弦或双曲余弦函数的一个类似的正确结论______________. 【答案】 【解析】答案：. 由右边
左边，故知填入【考点】合情推理
5.若关于x的不等式（组）____________. 【答案】
，
，
之一也可．
恒成立，则所有这样的解x构成的集合是
【解析】不等式等价于，即
又（均值不等式不成立）令故
，所以，
，（因为最小值大于，在
.故填
.
中，可以取等号），故，解得或
，所以答案为
【考点】基本不等式恒成立问题
三、解答题
1.已知函数（1）求函数（2）在
的最小正周期； 中，若
进行化简,首先观察
与
之间的关系,可以发现
,故利的
的值.
.
【答案】(1)(2)【解析】 (1)要得到
的最小正周期,必须对
用诱导公式(奇变偶不变符号看象限)把最简形式,利用周期(2)把
即可得到最小正周期. 带入(1)得到的
,再利用正弦的倍角公式即可得到函数
中,化简即可求的C角的大小,A角已知,所以可以求的C,A两个角的正弦值,
.
利用正弦定理可得所求比值即为A,C两个角的正弦之比,带入即可求出试题解析： （1）因为， 所以函数
的最小正周期为
6分
，
，又角
为锐角，所以
，
（2）由（1）得，由已知，
由正弦定理，得 12分
【考点】诱导公式正弦定理周期正弦倍角公式
2.寒假期间，我市某校学生会组织部分同学，用“10分制”随机调查“阳光花园”社区人们的幸福度，现从调查人群中随机抽取16名，如果所示的茎叶图记录了他们的幸福度分数（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字
为叶）；若幸福度分数不低于8.5分，则该人的幸福度为“幸福”.
（1）求从这16人中随机选取3人，至少有2人为“幸福”的概率；
（2）以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区（人数很多）任选3人，记表示抽到“幸福”的人数，求的分布列及数学期望.
【答案】(1)(2)
【解析】
(1)首先通过茎叶图分析可得16人中,幸福的人有12人,则考虑通过计算事件这16人中随机选取3人，至少有2人为“幸福”的对立事件,即从这16人中随机抽取3人,至多1人是幸福的,也就是抽取的3人的只有1人或者没有人是幸福的,利用组合数计算得到16抽取3人的所有的基本事件,再分步计数原理用组合数计算得到对立事件所包含的基本事件,再利用古典概型的概率计算公式即可得到对立事件的概率,则所求事件的概率为1减去对立事件的概率.
(2)因为16人中有12人是幸福的,即该社区中幸福的人占则利用试验同时发生的概率计算公式可以得到域对应概率相乘之和即可得到期望. 试题解析：
（1）记至少有2人是“幸福”为事件，由题意知=1--=1--=
； 6分
,非幸福人数占
,有题可得可得
的取值可以是0,1,2,3,
的值
分别为0,1,2,3时所对应的概率,即可得到分布列,再把
（2）的可能取值为0，1，2，3.，，，
， 10分
所以的分布列为：
12分
【考点】分布列期望茎叶图
3.如图，等腰梯形ABCD,AD//BC,P是平面ABCD外一点，P在平面ABCD的射影O恰在AD上，
.
（1）证明：；
（2）求二面角A-BP-D的余弦值. 【答案】（1）见解析(2)
【解析】
(1)要证明直线PA垂直BO,根据线面垂直的性质只需要证明BO垂直于PA所在的面PAD即可,首先O是点P在面ABCD上的投影,则有PO垂直于面ABCD,即有BO与PO垂直,三角形ABO的三条边已知,则利用三角形的勾股定理即可证明BO垂直于AD,即有BO垂直于面PAD内两条相交的直线,则BO垂直于面PAD,故有BO垂直于PA. (2)根据(1)利用AD,PO,BO两两垂直,即可分别设为x,y,z轴建立三维直角坐标系,利用坐标法来求解二面角,即分别求出面ABP与面BPD的法向量,法向量的夹角即为二面角或其补角,根据观察不能发现该二面角是钝角,则利用向量内积的定义即可求出该二面角的余弦值. 试题解析：
（1）在则∵又∴
⊥平面平面⊥平面
中，
，∴，∴，.
⊥⊥平面
. . ，且
，
，
又平面，∴⊥. 6分
（2）由题知，以为坐标原点，建立如图空间直角坐标系. 由已知，
因为等腰梯形所以，∴，所以，设平面令设平面则令故设二面角所以二面角
，∴， 8分
，. 的法向量为，故的法向量为
， ，即
.
，即
， ，则，
，∴，
，
，
，.
为轴，
，
，
.
，
的大小为，由图可知是钝角， 的余弦值为
. 12分
【考点】坐标法线线垂直线面垂直法向量
4.已知数列
（1）求证数列（2）若【答案】(1)
是首项为
的前n项和
，公比；
的等比数列，设
.
对一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围.
(2)
【解析】
(1)已知等比数列的首项与公比,根据等比数列的通项公式即可求的数列
即可求出数列
位相减法即可求出
(2)该问题是个恒成立问题,只需要求出数列项做差,不难发现数列
的通项公式,不难发现的前n项和
.
,
的通项公式,带入
分别为等比数列与等差数列,则利用错
的最大值,则需要考查该数列的单调性,不妨设对数列的相邻两
的第一与第二项相等,从第三项开始单调递减,则该数列的最大值为,则m满足
的取值范围.
,带入解二次不等式即可求的
试题解析：
(1)由题意知，所以故所以所以于是两式相减得 所以（2）因为所以当当所以当又所以
时，
取最大值是
时，
,
，
，
，
3分
7分
,
,
,
即 12分
【考点】等差数列与等比数列错位相减法恒成立最值 5.椭圆
的方程为
，离心率为
，且短轴一端点和两焦点构成的三角形面积为1，抛物线
的方程为（1）求椭圆
和抛物线
，抛物线的焦点F与椭圆的一个顶点重合. 的方程；
于不同两点A,B，交y轴于点N，已知，判定点S是否在椭圆
(2)-1（3）见解析
的方程,题目已知离心率即可得到
的值,根据椭圆的几何性质,短轴端点与两焦点构成的三
,再根据
之间的关系即可求出
,即可求出
的值,得得到抛物线
上，并说明理由.
的值. (O为原
（2）过点F的直线交抛物线（3）直线交椭圆点)，若点S满足【答案】(1)【解析】
于不同两点P,Q，P,Q在x轴上的射影分别为P′,Q′，满足
(1)根据题意设出椭圆
角形以焦距为底边长,以短半轴长为高,即该三角形的面积为到椭圆的标准方程.抛物线
的交点在x轴的正半轴,故抛物线的焦点为椭圆的右顶点
的方程.
(2)讨论直线AB的斜率,当斜率不存在时与y轴没有交点,所以不符合题意,则斜率存在,设直线AB的斜率为k得到直线AB的方程,联立直线与抛物线的方程得到AB两点横坐标的韦达定理,把向量的横坐标带入
向量的坐标表示得到之间的关系为反解,带入
,利用
(韦达定理)带入
即可得到的坐标,带入条件
为定值.
得到P,Q横纵坐标之间的关
(3)设出P,Q两点的坐标,则可以得到
系,因为P,Q在椭圆上,则满足椭圆的方程,这两个条件得到的三个式子相加配方即可证明点S在椭圆上,即满足椭圆
的方程. 试题解析： （1）由题意，椭圆
的方程为
，又
解得方程为（2）
,∴椭圆. 4分 是定值,且定值为
的方程是.由此可知抛物线的焦点为,得,所以抛物线的
,由题意知，
的方程为
,
直线的斜率存在且不为，设直线则
联立方程组
消去得:且,由,得
整理得可得
. 9分 （3）设由将点
得
坐标带入椭圆方程得,
满足椭圆
②
则 ①
③
由①+②+③得所以点
的方程,所以点在椭圆上. 13分
【考点】抛物线椭圆根与系数的关系
6.已知函数（1）设曲线
（2）若对于任意实数（3）当
是否存在实数
..
，求a的值；
处的切线为，点（1，0）到直线l的距离为
恒成立，试确定的取值范围；
处的切线与y轴垂直？若存在，求
出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)或(2)(3)不存在 【解析】
(1)该问切点横坐标已知,则利用切点在曲线上,带入曲线
即可得到切点的纵坐标,对进行求导并得到在切
点处的导函数值即为切线的斜率,有切线的斜率,切线又过切点,利用直线的点斜式即可求的切线的方程,利用点到直线的距离公式结合条件点
到切线的距离为
即可求的参数的值.
,则
,再利用函数的导
(2)该问为恒成立问题可以考虑分离参数法,即把参数a与x进行分离得到函数研究函数
在区间
的最大值,即可求的a的取值范围.
(3)根据切线的斜率即为曲线C在切点处的导函数值,即该问可以转化为是否存在
,则
,对.
试题解析： （1）,在处的切线斜率为∴切线的方程为又点
到切线的距离为
或
.
，
，即
,所以 4分
恒成立，
. 2分 ，
再次求导进行最值求解可得
使得即存在
,令使得使得
,所以不存在
解之得，（2）因为
若若设当
则时，
恒成立；
恒成立，即
，在
，则
在
上单调递增； 上单调递减； ， ,令
,
,则
在
上单调增函数,因此
时,
在点
处的切线与轴垂直等价于方程
在点
有实数解,但是
处的切线与轴垂直. 14分
,
没
在
,当
上的最小值为
,
上恒成立，
当时，，则在所以当时，取得最大值，所以的取值范围为. 9分 （3）依题意,曲线所以设故即又所以曲线
的方程为
有实数解,故不存在实数使曲线【考点】导数最值单调性零点
