高中数学题10.7

第7讲 条件概率、事件的性及重复试验、二项分布

随堂演练巩固

1.某种动物由出生算起活到20岁的概率为0.8,活到25岁的概率为0.4,现有一个20岁的动物,则它能活到25岁的概率是( ) A.0.5 B.0.8 C.0.4 D.0.6 【答案】 A

【解析】 本题的问法已经带上前提条件”活到20岁”了,故本题属条件概率问题.设A=“能活到20岁”,B=“能活到25岁”,则P(A)=0.8,P(B)=0.4,故P(B|A)=P(AB)这个动物能活到25岁的概率是0.5.

2.设两个事件A和B都不发生的概率为1A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相P(AB)P(B)040.5,所以

P(A)P(A)0同,则事件A发生的概率P(A)是( ) A.2

9B.1 C.1 183 D.2 3【答案】 D P(A)P(B)19【解析】 由题意,可得 P(A)P(B)P(A)P(B)[1P(A)][1P(B)]19∴ P(A)[1P(B)]P(B)[1P(A)]∴P(A)P(B)2. 313.设随机变量X-B(6)则P(X=3)等于( ) 2A.5 B.3 C.5 D.3 161688【答案】 A 【解析】 由X-B(6)得 3313P(X=3)=C6()(1)5. 12221.在4次重复试验中事件A出现的概率相同,若事件A至少发生一次的概率为65则事件A在

811次试验中出现的概率为 . 【答案】 1 3【解析】 A至少发生一次的概率为65则A的对立事件A:事件A一次也不发生的概率为

8116516(2)4所以,A在一次试验中出现的概率为121.

81813335.某次知识竞赛规则如下:在主办方预设的5个问题中,选手若能连续正确回答出两个问题,即停止答题,晋级下一轮.假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8,且每个问题的回答结果相互,则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于 . 【答案】 0.128

【解析】 若该选手恰好回答4个问题晋级,则该选手第3个,第4个问题回答均正确而第2个问题回答一定错误,第1个问题回答正确与否可不计(正确、错误都会因第2个问题回答错误而无法晋级),故其概率为0.80.80.2=0.128.

课后作业夯基 基础巩固

1.两位工人加工同一种零件共100个,甲加工了40个,其中35个是合格品,乙加工了60个,其中有50个合格,令A事件为”从100个产品中任意取一个,取出的是合格品”,B事件为”从100个产品中任意取一个,取到甲生产的产品”,则P(A|B)等于( ) A.2

5B.35

100C.7

8D.5

7【答案】 C

【解析】 由题意知P(B)40P(AB)35

100P(AB)357. 故P(A|B)P(B)4081002.电灯泡使用时数在1 000小时以上的概率为0.2,则3只灯泡在使用1 000小时后最多有1只坏了的概率是( ) A.0.401 B.0.410 C.0.014 D.0.104 【答案】 D 【解析】 3只灯泡在1 000小时后最多有1只坏了这个事件,也就是3只灯泡中至少有2只灯泡的使用时数在1 000小时以上.相当于3次重复试验有2次或3次发生的概率,故

3P=C30.2(10.2)+C30.20.104. 2233.已知随机变量X服从二项分布X B(61)则P(X=2)等于( ) 3A.13

16B.4 243C.13 243D.80 243【答案】 D 224【解析】 P(X=2)=C6(1)(11)80. 332434.(2012山东平度段考)一个电路如图所示,A、B、C、D、E、F为6个开关,其闭合的概率都是且是相互的,则灯亮的概率是( ) 12 A.1 C.1 8B.55 D.1 16【答案】 B

【解析】 设A与B中至少有一个不闭合的事件为T, E与F至少有一个不闭合的事件为R, 则P(T)=P(R)1113

224所以灯亮的概率P=1-P(T)P(R)P(C)P(D)55.

5.在市场上供应的灯泡中,甲厂占70%,乙厂占30%,甲厂产品的合格率是95%,乙厂的合格率是

80%,则从市场上买到一个是甲厂生产的合格灯泡的概率是( ) A.0.665 B.0.56 C.0.24 D.0.285 【答案】 A

【解析】 记A为”甲厂产品”,B为”合格产品”,则P(A)=0.7,P(B|A)=0.95, ∴P(AB)P(A)P(B|A)=0.70.95=0.665.

6.若事件E与F相互,且P(E)P(F)1则P(EF)的值等于( )

4A.0

B.1

16C.1

4D.1

2【答案】 B

【解析】 由于事件E、F相互， 所以P(EF)P(E)P(F)1. 167.在4次重复试验中,随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率,则事件A在一次试验中发生的概率p的取值范围是( ) A.[0.4,1) B.(0,0.4] C.(0,0.6] D.[0.6,1) 【答案】 A 13222【解析】 C4p(1p)C4p(1p) 4(1p)6pp0.4.又021221259【答案】 65

81【解析】 P(X1)P(X1)P(X=2)

2221=C2p(1p)C2p2pp5解得p1.

9304故P(Y1)1P(Y0)=1-C4(11)65.

38111.甲罐中有5个红球,2个白球和3个黑球,乙罐中有4个红球,3个白球和3个黑球.先从甲罐中随机

取出一球放入乙罐,分别以A1A2和A3表示由甲罐取出的球是红球,白球和黑球的事件;再从乙罐中随机取出一球,以B表示由乙罐取出的球是红球的事件,则下列结论中正确的是 .(写出所有正确结论的编号).

①P(B)2;②P(B|A1)5;③事件B与事件A1相互;④A1A2A3是两两互斥的事件;

511⑤P(B)的值不可能确定,因为它与A1A2A3中究竟哪一个发生有关. 【答案】 ②④

【解析】P(B)P(BA1)P(BA2)P(BA3)5524349故①⑤错误;

1011101110112255②P(B|A1)10115正确;③事件B与A1的发生有关系,故错误;④A1A2A3不可能同时发1112生是互斥事件. 12.有一批种子的发芽率为0.9,出芽后的幼苗成活率为0.8,在这批种子中,随机抽取一粒,求这粒种子能成长为幼苗的概率. 【解】 设种子发芽为事件A,种子成长为幼苗为事件AB(发芽,又成活为幼苗),出芽后的幼苗成活率为P(B|A)=0.8,P(A)=0.9. 根据条件概率公式P(AB)=P(B|A)P(A)0.90.8=0.72,即这粒种子能成长为幼苗的概率为0.72. 13.甲、乙两人各进行一次射击,如果两人击中目标的概率都是0.8,计算: (1)两人都击中目标的概率; (2)其中恰有一人击中目标的概率; (3)至少有一人击中目标的概率. 【解】 记”甲射击一次,击中目标”为事件A,”乙射击一次,击中目标”为事件B. ”两人都击中目标”是事件AB;”恰有1人击中目标”是AB或AB;”至少有一人击中目标”是

AB或AB或AB. (1)”两人各射击一次,都击中目标”就是事件AB,又由于事件A与B相互, ∴P(AB)P(A)P(B)=0.80.8=0.. (2)”两人各射击一次,恰好有一人击中目标”包括两种情况:一种是甲击中乙未击中(即AB)另一种是甲未击中乙击中(即AB)根据题意,这两种情况在各射击一次时不可能同时发生,即事件AB与AB是互斥的, 所以所求概率为PP(AB)P(AB) P(A)P(B)P(A)P(B) =0.8(10.8)+(1-0.8)0.8 =0.16+0.16=0.32. (3)方法一:”两人各射击一次,至少有一人击中目标”的概率为

PP(AB)[P(AB)P(AB)] =0.+0.32=0.96.

方法二:”两人都未击中目标”的概率是

P(AB)P(A)P(B)(10.8)(10.8)=0.20.2=0.04.

∴至少有一人击中目标的概率为

P1P(AB)10.04=0.96.

拓展延伸

14.如图是一个从AB的”闯关”游戏.

规则规定:每过一关前都要抛掷一个在各面上分别标有1,2,3,4的均匀的正四面体.在过第n(n=1,2,3)关时,需要抛掷n次正四面体,如果这n次面朝下的数字之和大于2则闯关成功. (1)求闯第一关成功的概率;

(2)记闯关成功的关数为随机变量X,求X的分布列.

【解】 (1)抛一次正四面体面朝下的数字有1,2,3,4四种情况,大于2的有两种情况,故闯第一关成功的概率为P=

n

1. 21抛2(2)记事件”抛掷n次正四面体,这n次面朝下的数字之和大于2n”为事件An则P(A1)掷两次正四面体面朝下的数字之和的情况如图所示,易知P(A2)105.

168 设抛掷三次正四面体面朝下的数字依次记为:x,y,z, 考虑x+y+z>8的情况,当x=1时,y+z>7有1种情况; 当x=2时,y+z>6有3种情况;当x=3时,y+z>5有6种情况; 当x=4时,y+z>4有10种情况. 6105. 故P(A3)133416由题意知,X的所有可能取值为0,1,2,3. 1 2P(X1)P(A1A2)133 2816P(X2)P(A1A2A3)151155 2816256P(X3)P(A1A2A3)15525. 2816256P(X0)P(A1)∴X的分布列为