例 说 正 四 面 体 的 伴 随 正 方 体
缪 选 民
江苏省泰州市海陵区教育局教研室 225300
1．正四面体伴随正方体的由来
人教版高二（下）教材第52页有这样一道习题：
从一个正方体中，如图那样截去四个三棱锥后，得到一个正三棱锥A—BCD，求它的体积是正方体体积的几分之几。（如图1）
问题并不难，只要用正方体的体积减去四个三棱锥的体积便知的体积是正方体体积的
CA正三棱锥A—BCD的正四面体与正方
1。该题本身并没有什么，但由它所折射出3D体的伴随关系却非同一般。
2．正四面体伴随正方体的定义
图1
B事实上，正三棱锥A—BCD还是一个正四面体，它的六条棱长均相等。一般地，在一个正方体的相对两个面上，取两条不共面的面对角线，再将这两条对角线的四个端点两两相连，便得到一个正四面体，我们称正方体为所得正四面体的伴随正方体。（如图1） ．．．．．
显然，任意一个正四面体都有一个大小一定的伴随正方体。由课本习题及上述定义不难得到，正四面体和它的伴随正方体有如下结论：
（1）正四面体的体积等于其伴随正方体体积的
1； 3（2）正四面体的外接球和其伴随正方体的外接球是同一个球； （3）正四面体的棱长等于其伴随正方体棱长的2倍。 3．正四面体伴随正方体在解题中的应用
既然正四面体和它的伴随正方体有如此密切的联系，所以可以通过研究正方体中的数量关系或位置关系来讨论正四面体中的相应关系，小题中尤其如此。
例1．已知球的半径为R，则其内接正四面体的体积等于 。 解：因为球直径为2R，由结论（2）知，正四面体伴随正方体的棱长为
23R，体积为
833R3，再由结论
（1）知，正四面体的体积等于
183833RR。 33327结两个面的
例2．（2000年北京、安徽春）图2是一体积为72的正四面体，连重心E、F，则线段EF的长是 。
本题的关键是求出正四面体的棱长。
EF图2
解：因为正四面体的体积为72，由结论（1）知，其伴随正方体的体积为216，从而棱长为6；又由结论（3）得：
正四面体的棱长为62，故EF=用。
例3．（2003年江苏卷）一个正四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为 （ ）
A．3 B．4 C．33 D．6
解：由题得，正四面体的棱长为2，由结论（1）得：其伴随正方体的棱长为1，对角线长为3；由结论
21(62)=22。这里我们看到，正四面体的伴随正方体起着简约思维的作32（2）知，正四面体的外接球半径为
332，表面积为4()3，答案选A。 22但如果不用伴随正方体来解答此题，就有可能“小题大做”。
例4．（2007年安徽卷理）半径为1的球面上的四点A、B、C、D是正四面体的顶点，则A与B两点间的球面距离为 （ ）
A．arccos(1136) B．arccos() C．arccos() D．arccos()
3433本题球的半径已经确定，所以只要求出A、B两点的球心角就行了。 解：如图3，正四面体ABCD的外接球半径为1，则其伴随正为2，棱长为
BAOD方体的外接球直径
23，面对角线长为AB=
8，在△AOB中：31212(cos∠AOB变式为：
82)131，∠AOB = arccos()，从33211图3 C而答案选C。本题可
已知正四面体ABCD的棱长为1，则A、B两点的球面距离等于 。
例5．正四面体ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，则EF与CD所成的角等于 （ ） A．45° B．90° C．60° D．30°
解：如图4，本题只要根据题意画出正四面体和它的伴随正方体，答案就脱口而出，应该选A，因为EF和正方体竖直方向的棱平行！但是，如果根据题意象图5那样仅画出正四面体ABCD，答案就不明显了。无论是用空间来向量
BFAED解答还是通过取AC的中点用平移法解答，篇幅都不会小。
AEBFD图4
C
例6．正四面体ABCD的棱长为a，E、F分别是AD、BC的中点，连结EF，求异面直线EF和CD的距离。 解：如图4，根据题意画出正四面体和其伴随正方体，在正方体中立即可以看出，EF与CD的距离等于EF到侧面CD的距离，由于正四面体的棱长为a，故正方体棱长为
22a，所求距离等于a。 24通过上述例子我们看到：利用正四面体的伴随正方体解题简捷而准确，是解答正四面体问题的有效方法之一。
