第７期 刘颖等．基于时间序列ＡＲＭＡ模型的振动故障预测 基于时间序列ＡＲＭＡ模型的振动故障预测 刘 颖 严 军 （西北师范大学化学化工学院，兰州７３００７０） 摘要运用自回归滑动平均（ＡＲＭＡ）模型和聚类分析方法确定参考样本和故障样本的特征向量，通 过特征向量的距离识别故障类型。根据汽轮机典型故障构造模拟信号，建立其ＡＲＭＡ预测模型，通过聚 类分析得出标准信号及待测信号的特征向量。经验证，基于ＡＲＭＡ预测模型和聚类分析的方法能够正 确识别故障类型。 关键词 汽轮机中图分类号故障ＡＲＭＡ模型 时间序列 聚类分析 文献标识码 Ａ 文章编号 １０００—３９３２（２０１１）０７－０８４１－０３ Ｘｉ＝ 】Ｘｉ—ＴＰ３０６ ．３ 时间序列分析是一种根据动态数据揭示系统 ｊ＋￣ｏ２ｘｉ一２＋…＋ ｐ 一Ｐ＋ＯＬｉ （ｐ＜Ⅳ） （２） 动态结构和规律的统计方法，其基本思想是根据 系统有限长度的运行记录（观察数据），建立能较 精确地反映序列中所包含的动态依存关系的数学 模型，并借以对系统的未来进行预报。自回归滑 动平均（Ａｕｔｏｒｅｇｒｅｓｓｉｖｅ ａｎｄ Ｍｏｖｉｎｇ Ａｖｅｒａｇｅ，ＡＲ— 式中 ｛Ｏｔ ｝——白噪声序列。 式（１）与式（２）形式相似，但两者有本质区 别。式（１）中的输入变量 是确定性因素，输出 变量Ｙ 的统计特性由随机变量 而来，模型属静 态；而式（２）中的｛ ｝和｛ …｝同属时间序列 ｝，是序列中不同时刻的随机变量，它们彼此间 有一定的相互关系，属动态模型。 ＭＡ）模型是分析平稳随机信号的一种成熟而有效 的方法，根据信号自相关函数（Ａｕｔｏｃｏｒｒｅｌａｔｉｏｎ Ｆｕｎｃｔｉｏｎ，ＡＣＦ）和偏相关函数（ＰＡＣＦ）的特征， ＡＲＭＡ模型叉可分为自回归（ＡＲ）模型、滑动平均 （ＭＡ）模型。 模型（２）描述的序列｛ ｝是自身某一时刻与 前Ｐ个时刻之间的相互关系，当模型参数满足一 定条件时，则称其为Ｐ阶自回归模型ＡＲ（｜Ｐ）。 若序列值用现在和过去时刻误差的线性组合 表示，最ｐ ；＝ 一０１Ｏｌ 一１—０２Ｏｔ 一２一…一ＯｑＯＬ 一。，贝０ 汽轮机转子振动信号包含有随时间缓慢变化 的趋势项、周期项和随机项，严格地说属非平稳随 机信号。应用ＡＲＭＡ模型分析汽轮机振动信号 时首先要将信号进行预处理（如去均值、去趋势、 称其为序列 ｝的滑动平均模型ＭＡ（ｑ），ｑ为模 型的阶次；０ ，０ ，…，０。为滑动平均系数或ＭＡ模 型的参数。 将ＭＡ（ｑ）与ａＲ（ｐ）模型合并，就可以得到如 下形式的ＡＲＭＡ（Ｐ，ｑ）模型： Ｘｉ＝ １ ｌ平稳化等），然后识别信号属于ＡＲＭＡ模型的哪 一种，根据具体的ＡＲＭＡ模型确定最佳的回归或 滑动平均阶数，用适当的方式求解模型并获得模 型参数，最后应用统计方法对模型进行检验，根据 Ｉ＋￣０２９Ｃｉ一２＋…＋ ＰＸｉ—Ｐ＋ｎｆ一０１Ｏｌ ｌ一・・・一ＯｑＯｌｉ ｑ 模型参数或用模型参数表达的信号的频谱特征进 行故障诊断。 １ 时间序列ＡＲＭＡ模型 （３） ２ 时间序列平稳性处理及模型平稳性判定 某随机过程｛ （ｔ），ｔ∈Ｔ｝（Ｔ为实数集或其子 集），如果有： ａ．ＥＩ （ｉ）ｌ ＜ｏ。，ｔ∈ ； ｂ．Ｅｘ（ｉ）＝ｃ（常数），ｔ∈ ； ｃ． （ｒ，ｓ）＝ （ｒ＋ｔ， ＋ｔ），ｒ，Ｓ，ｔ∈Ｔ。 ＋ （１） ＡＲＭＡ模型是在多元线性回归模型的基础上 演化而来的，对于一组观测值［Ｙ ，（ ， ： 一， ；）］，其中ｉ＝Ｉ，２，…，／ｖ，输出变量Ｙ 与输入变量 Ｙ ＝／３ｌ ｌ ＋／３２ ２。＋…＋ 的相关关系可表达为： 则称该过程为平稳随机过程，即该过程的统 式中 ——残值，是零均值的随机变量。 对式（１）做适当修改即可得到一类新的线性 模型，可以描述某些时间序列 ｝： 计特性不随时间而变化。如果随机时间序列不满 收稿日期：２０１１ ５＿２４ ８４２ 化工自动化及仪表 第３８卷 足平稳性条件，那么可以通过对时间序列的差分 来获得平稳时间序列。 ＡＲＭＡ（ｐ，口）模型是ＡＲ（ｐ）模型和ＭＡ（口）模 型的组合，而ＭＡ（ ）模型总是平稳的，因此ＡＲ— ＭＡ（ｐ，ｑ）模型的平稳性取决于ＡＲ（ｐ）部分的平 稳性。当ＡＲ（ｐ）部分平稳时，则ＡＲＭＡ（Ｐ，ｇ）模 型是平稳的，否则该模型就不是平稳的。 考虑Ｐ阶自回归模型ＡＲ（ｐ）： ＝ １ ｌ＋ ２ ｆ２＋…＋ Ｐ 一～Ｐ＋Ｏ／。 （４） 引入滞后算子Ｌ： （￡）＝ （ｔ一１） （￡ （ｔ－２ （５） （￡）＝ （ｔ—Ｐ） 则式（１）可变换为： （１一 ｌＪＬ 一 ２ 一…一 。 ） （￡）： （ｆ） （６） 记 （三）＝（１一 １ 一 ２Ｌ 一…一 。三 ），贝Ⅱ 称多项式方程 （ｚ）＝（１一 一 ｚ 一・一 。 ）为ＡＲ（ｐ）的特征方程。 如果特征方程的所有根在单位圆外（根的模 大于１），则ａＲ（ｐ）模型是平稳的。实际应用中可 根据模型系数之和来判断，和小于零时模型是平 稳的。 ３ ＡＲＭＡ模型的识别 ＡＲＭＡ模型的识别主要通过自相关函数和偏 自相关函数以及它们各自的相关图（即ＡＣＦ和 ＰＡＣＦ的相对于滞后长度）的性质判别。自相关 函数定义为 卜 ： Ｐ ———— —————————一 （７）Ｌ，Ｉ ∑（ 一 ） ｉ＝Ｉ 偏自相关函数定义为： Ｊｆ ｌ１＝ｐ －二＝ “＝——— ————～： （Ｌ ＝ ’，３’…）ｊ，…， （８）ｏ， Ｊ １一， 仇一Ｊ 一， Ｌ Ｊ＝，７＾一１Ｊ一＇７ ． ，７ １． 一Ｊ （ｋ＝２，３，…， ＜ ） ４ ＡＲＭＡ模型自回归及滑动平均阶数的确定 确定模型阶数有多种方法，下面是３种常用 的判定准则： ａ．ＦＰＥ准则函数，ＦＰＥ（尼）＝ ２ ｂ．ＡＩＣ准则，ＡＩＣ（ ）＝Ｎｌｎｏ－ ＋２ｎ； ｃ．ＢＩＣ准则，ＢＩＣ（ ）＝Ｎｌｎｏ＂ ＋ｎｌｎＮ。 以上判断准则中， 可根据不同的模型计 （ｆ）：０．９ ｉ （２ ）＋０．０５。ｉ （２×２ ）＋ 第７期 ０．０５ｓｉｎ（３×２ ） 刘颖等．基于时间序列ＡＲＭＡ模型的振动故障预测 ８４３ 与实际结果相符 ’ 。 ７结束语 （ｆ）＝０．４ｓｉｎ（２可，２）＋０．４ｓｉｎ（２ Ｘ２Ⅱ ）＋ ０．２ｓｉｎ（１／２ Ｘ２ ） （ｔ）＝０．４ｓｉｎ（２１ｔ ）＋０．２ｓｉｎ（２ Ｘ２可疗）＋ ０．４ｓｉｎ（３ Ｘ２ ） 采用统计识别法进行汽轮机的故障诊断，以 诊断样本根据某电厂事故频谱图合成： （ｔ）＝６５ｓｉｎ（２￣ｒｉ）＋４５ｓｆｉｎ（２ Ｘ２ ）＋ ６２ｓｉｎ（１／２×２ ） 已知的ＡＲＭＡ模型参数作为特征向量，根据观 测记录数据的统计结果通过聚类分析求得各种 状态下的聚类中心，建立标准特征向量库，以待 诊断样本特征向量与聚类中心的距离作为故障 类型的判据，该方法具有智能诊断的特点。模 通过对４种样本信号混入不同信噪比的白噪 声，构成ｌ２个参照故障样本信号，其中每种情况 拟实验证明，该方法能够对汽轮机的故障进行 ３个样本。对样本进行模型识别，可知样本符合 准确的诊断。 ＡＲ模型，计算出的故障样本模型参数构成参考 参考文献 特征矩阵，特征向量元素个数与模型阶数相同。 对特征矩阵进行聚类分析求得各种特征因素的聚 ［１］ 韩路跃，杜行检．基于ＭＡＴＬＡＢ的时间序列建模与 类中心，设这些聚类中心的特征向量为 ， ， 预测［Ｊ］．太阳能学报，２００８，２９（４）：４１７—４２１． …Ｋ 则标准特征向量库可表示为 ｊ： ［２］ 吴庚申，梁平．基于ＡＲＭＡ的汽轮机转子振动故障 ，＝，［ｒ”ｒ２ 一， ］ （ ＝１，２，…，ｍ） 序列的预测［Ｊ］．华南理工大学学报，２００５，３３（７）： 对待诊断样本进行分析，得到诊断样本的模 ６７～７３． 型参数，用向量表示为研，以待诊断样本特征向 ［３］ 张树京，齐立心．时间序列分析简明教程［Ｍ］．北 京：清华大学出版社，２００３：６７～６９． 量Ｋ 与聚类中心的距离ｄ（Ｋ ， ）作为故障类型 ［４］ 梁平，龙新峰，吴庚申．基于ＡＲＭＡ及神经网络的汽 的判据 ： 轮机振动故障诊断研究［Ｊ］．热能动力工程，２００７， ，＿ ———————一 ｄ（Ｋ ， ） ／ （ 一ｒ ） ２２（１）：６～１０． ［５］ 王广斌，刘义伦，金晓宏．基于时间序列分析的风机 ＝√（Ｋｒ—Ｋ｜ ｌ ＫＴ—Ｋ｜１ 运行状态监测与预报及故障诊断［Ｊ］．机械，２００５， ｄ （Ｋｒ， ）＝ｍｉｎｉｄ（Ｋｒ，Ｋ１），…，ｄ（Ｋｒ， ）］ ３２（１）：２１—２３． 待检测样本特征向量与标准特征向量的距离 ［６］ 张海勇．非平稳信号的一种ＡＲＭＡ模型分析方法 ｄ（Ｋｒ，Ｋ，）＝［０．８３７６ ０．８５２３ ０．２４７１ ０．７９５６］。 ［Ｊ］．电子与信息学报，２００２，２４（７）：９９２～９９６． 由此可知，待检测样本特征向量与不对中故 『７］ Ｂｒｏｃｋｗｅｌｌ Ｐ Ｊ，Ｒｉｃｈａｒｄ Ｄ Ａ．Ｔｉｍｅ Ｓｅｒｉｅｓ，Ｔｈｅｏｒｙ ａｎｄ 障特征向量距离最小，可判定样本为不对中故障， Ｍｅｔｈｏｄｓ『Ｍ１．２ｅｄ．Ｓｐｒｉｎｇｅｒ，２００１：３６～４５． Ｖｉｂｒａｔｉｏｎ Ｆａｕｌｔｓ Ｐｒｅｄｉｃｔｉｏｎ Ｂａｓｅｄ ｏｎ Ｔｉｍｅ Ｓｅｒｉｅｓ Ａｕｔｏｒｅｇｒｅｓｓｉｖｅ Ｍｏｖｉｎｇ Ａｖｅｒａｇｅ（ＡＲＭＡ）Ｍｏｄｅｌ ＬＩＵ Ｙｉｎｇ．ＹＡＮ Ｊｕｎ （Ｃｏｌｌｅｇｅ ｏｆ Ｃｈｅｍｉｓｔｒｙ ａｎｄ Ｃｈｅｍｉｃａｌ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｎｏｒｔｈｗｅｓｔ Ｎｏｒｍａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｌａｎｚｈｏｕ ７３００７０，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ Ｂｙ ｍａｋｉｎｇ ｕｓｅ ｏｆ ａｕｔｏｒｅｇｒｅｓｓｉｖｅ ｍｏｖｉｎｇ ａｖｅｒａｇｅ（ＡＲＭＡ）ｍｏｄｅｌ ａｎｄ ｃｌｕｓｔｅｒｉｎｇ ｍｅｔｈｏｄ，ｔｈｅ ｃｈａｒ・ ａｃｔｅｒｉｓｔｉｃ ｖｅｃｔｏｒｓ ｏｆ ｒｅｆｅｒｅｎｃｅ ｓａｍｐｌｅｓ ａｎｄ ｆａｕｌｔ ｓａｍｐｌｅｓ ｗｅｒｅ ｄｅｔｅｒｍｉｎｅｄ ｔｏ ｉｄｅｎｔｉｆｙ ｔｈｅ ｆａｕｌｔ ｔｙｐｅ ａｃｃｏｒｄｉｎｇ ｔｏ ｔｈｅ ｆｅａｔｕｒｅ ｖｅｃｔｏｒ ｄｉｓｔａｎｃｅ；ａｎｄ ｂａｓｉｎｇ ｏｎ ｔｈｅ ａｎａｌｏｇ ｓｉｇｎａｌｓ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｔｙｐｉｃａｌ ｔｕｒｂｉｎｅ ｆａｕｌｔｓ，ｔｈｅｉｒ ＡＲＭＡ ｐｒｅ— ｄｉｃｔｉｏｎ ｍｏｄｅｌｓ ｗｅｒｅ ｂｕｉｌｔ ｔｏ ｗｏｒｋ ｏｕｔ ｔｈｅ ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃ ｖｅｃｔｏｒ ｏｆ ｒｅｆｅｒｅｎｃｅ ｓｉｇｎａｌｓ ａｎｄ ｔｅｓｔ ｓｉｇｎａｌｓ．Ｔｈｅ ｔｅｓｔｉｎｇ ｒｅｓｕｌｔ ｐｒｏｖｅｓ ｔｈｅ ｓｕｃｃｅｓｓ ｏｆ ｔｈｉｓ ｍｅｔｈｏｄ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ ｔｕｒｂｉｎｅ，ｆａｕｌｔ，ＡＲＭＡ ｍｏｄｅｌ，ｔｉｍｅ ｓｅｒｉｅｓ，ｃｌｕｓｔｅｒ ａｎａｌｙｓｉｓ ）Ｊ Ｃ＇ ≮ 一 餐 譬
