北师大版九年级上册概率树状图、表格法导学案
复习思考：
1、频数与频率
频数：在数据统计中，每个对象出现 ，频率： 。 2、概率的意义和大小： 。
【知识点1】频率与概率的含义
在试验中，每个对象出现的频繁程度不同，我们称每个对象出现的次数为频数，而每个对象出现的次数与总次数的比值为频率，即频率频数
总次数把刻画事件A发生的可能性大小的数值，称为事件A发生的概率。
【例1】不透明的袋中有3个大小相同的球，其中2个位白色，1个位红色，每次从袋中摸出一个球，然后放回搅匀再摸，在摸球试验中，得到下表中的部分数据： 摸球次数 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400 出现红球的频数 14 23 38 52 67 86 97 111 120 136 出现红球的频率 35％ 32％ 34％ 35％ 35％ （1）请将表中的数据补充完整。 （2）观察表中出现红球的频率，随着试验次数的增多，出现红球的概率（ ）
【知识点2】通过实验运用稳定的频率来估计某一时间的概率
在进行试验的时候，当试验的次数很大时，某个事件发生的频率稳定在相应的概率附近。 我们可以通过多次试验，用一个事件发生的频率来估计这一事件发生的频率。
例2 三张除字母外完全相同的纸牌，字母分别是A，A，K，每次抽一张为试验一次，经过多次试验后，结果汇总表如下： 试验总次数 10 20 50 100 200 300 400 500 1000 „„ 摸出A的频数 7 13 28 172 198 276 660 „„ 摸出A的频率 75％ 62％ „„ （1）将上述表格补充完整；观察表格，估计摸到A的概率； （2）求摸到A的概率；
【知识点3】利用画树状图或列表法求概率（重难点） 【例4】有列表法求以下随机事件发生的概率
掷一枚均匀的骰子，每次试验掷两次，求两次骰子夫人点数和为7的概率。
例5 明华外出游玩时带了2件上衣（白色、米色）和3条裤子（蓝色、黑色、棕色），他任意拿出一件上衣和一条裤子恰好是白色和黑色的概率是多少？
题型一：求事件的概率
例1 某市今年的信息技术结业考试，采用学生抽签的方式决定自己的考试内容。规定：每位考生先在三个笔试题（题签分别用B1、B2、B3表示）中抽取一个，再在三个上机题（题签分别用代码J1、J2、J3表示）中抽取一个进行考试，小亮在看不到题签的情况下，分别从笔试题和上机题中随机的各抽取一个题签
（1）用画树状图或列表法表示出所有可能的结果。
（2）求小亮抽到的笔试题和上机题的题签代码的下标均为奇数的概率。
题型二 频率域概率关系的应用
例2 有两组相同的纸牌，每组两张，牌面数字分别是1和2 。从每组中各抽取一张记为一次试验，小明和小红做了200次试验后将两张牌的牌面数字之和的情况做了统计。制作了相应的频数分布直方图，如图所示，请估计两牌面数字之和为4的概率是 ，和为3的概率是 。
题型三 设计方案题
例3 请设计一个摸球游戏，使摸到红球的概率为
11，摸到白球的概率为。 23
用频率估计概率
【知识点1】生日相同的概率
50个人中有2个人生日相同是不确定事件，可能有、也可能没有，只能通过试验频率估计概率。但因调查的次数而异。
【知识点2】用抽取法估计总体数目（重点） 此类问题有两种解决方法：（1）从袋中随意摸出一个球，记下颜色然后将其放入袋中，重复做这一过程，进行一定的次数，记录某一颜色球出现的次数，利用频率来估算这一颜色球的数目。 依据是：试验频率概率
（2）利用抽样调查，从袋中一次摸出10个球，求出其中某一颜色球的个数与10的比值，再把球放回袋中，不断重复此过程，摸一定的次数，求出这一颜色的球的个数与10的比值的平均数，即平均概率，利用平均概率来估算这一颜色球的数目。 依据是：平均概率概率 例1 一个不透明的口袋中装有6个红色的小正方体和若干个黄色的小正方体，小正方体除颜色外其他都相同，从口袋中随机摸出一个小正方体，记下颜色后再把它放回口袋中，不断重复此过程，共摸了300次，其中有100次摸到红色小正方体，则口袋中大约有 个黄色小正方体。
【知识点3】利用替代物模拟试验估算概率
在估算事件发生的概率时，有些调查即费力又费时，但要想使这种估算尽可能准确，就需要尽可能多的增加调查对象，在这种情况下，我们可以采用模拟试验的方法来估计事件发生的概率。通过模拟试验，在室内就可以完成收集数据、进行试验、统计结果等过程。 【例2】设计一个方案，估计8个人中只有2个人生肖相同的概率。
【知识点4】用计算器模拟试验估算概率 利用计算器产生随机数的大体步骤是： （1）进入产生随机数状态 （2）输入所产生随机数的范围 （3）按键得出随机数。
【例3】课外活动时，王老师把自己的一串钥匙交给李强，让他去办公室取一本书，但李强不小心把王老师告诉他的开办公室的那把钥匙的特征忘记了，只知道这串钥匙有8把，请你用计算器模拟试验的方法估测一下，他一次试开成功的可能性有多大。
【知识点5】模拟试验的应用
（1）概率是对随机现象的一种数学描述，他可以帮助我们更好地认识随机现象，并对生活中的一些不确定情况做出自己的决策。
（2）从表面上看，随机现象的每一次观察结果都是偶然的，但多次观察某个随机现象，立即可以发现：在大量的偶然之中存在着必然的规律。也就是当重复试验的次数大量增加时，事件发生的频率就稳定在相应的概率附近，因此，去哦们可以通过大量重复试验，用一个事件发生的频率来估计这一事件发生的概率。
（3）通过模拟试验能估计事件所有可能结果总数n和其中事件A发生的可能的结果数m
（4）估计概率时，要看频率随试验次数的增加是否趋于稳定，不能随便取其中一个频率去估计。
例4 下表给出了一些模拟试验的方法，你觉得这些方法合适吗？若不合适，请说明理由，另外提出一个新的你认为合理的模拟试验的方法。 （1） 研究的问题 用替代物模拟试验的方法 新的模拟试验方法 采用实物 一枚均匀的骰子 一个饮料瓶盖 试验方式 抛掷骰子 抛掷饮料瓶盖
考虑随机事件的概率 奇数点朝上的概率 正面朝上的概率
（2）
用替代物模拟试验方新的模拟试验
研究的问题 法 方法
不透明袋中。有2个红球，采用实物 1枚硬币 2个白球 试验方式 摸出1个球 抛起后落地 考虑随机事件的概率 恰好摸出红球的概率 正面朝上的概率
题型一 估计生日相同的概率
例1 利用课余时间，让每位同学调查10人的生日，然后从全班同学的调查结果中随机选取40个被调查人，看看他们中有没有2个人的生日相同，最后将全班同学的调查数据集中起来，设计出一个方案，估计40个人中有2人生日相同的概率。
题型二 用频率估计袋中球的数目
例2 一个不透明的口袋中有10个白球和若干个黑球，它们除颜色外完全相同，如果不允许将球倒出来数，如何估计其中的黑球数呢？两位同学是如下操作的：
小芳：从口袋中随机摸出一球，记下其颜色，再把它放回口袋中，不断重复此过程，共摸了100次，其中有81次摸到黑球。
小明：利用抽样调查方法，从口袋中一次摸出10个球，求出其中白球数与10的比值，再把球放回口袋中，不断重复上述过程，他共摸了10次白球数与10的比值如下： 次数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0.0.0.每次摸球白球数与10的比值 0.2 0.3 0.2 0.1 0.4 0.2 0.2 1 3 1 问：（1）小芳估计袋中黑球有多少个？ （2）小明估计袋中黑球有多少个？
（3）两位同学操作时每次摸球后，都要放回，如果不放回行吗？为什么？
题型三 设计模拟试验解决问题
例3 把图中四张纸片放在一个盒子里搅均匀，任取两张，看能拼成菱形还是房子（如果是两张三角形，则能拼成菱形；如果是一张三角形和一张正方形，则能拼成房子）想想看哪些方法可以用来模拟试验？通过模拟试验分别估计拼成菱形和拼成房子的概率。
题型四 模拟试验的拓展创新题
例4 某抽签活动设置了下表所示的翻奖牌，每次抽奖翻开一个数字，考虑”中奖“的可能性有多大？
正面 反面
1 2 3 轿车一辆 万事如意 奖金100元
心想事成 奖金100元 洗衣粉一袋 4 5 6
奖金10元 生活愉快 奖金2万元 7 8 9
（1）如果用试验进行估计但又觉得制作翻奖牌太麻烦，能否用简单的模拟试验来代替？ （2）估计”未中奖“的可能性有多大，”中奖“的可能性有多大，你能探索出他们的关系吗？
知识提升
当一次事件涉及到三个因素或三步时，学会用树状图法求概率。 思考活动一
问题：甲口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有字母A和B； 乙口袋中装有3个相同的小球，它们分别写有字母C、D和E；从两个口袋中各随机地取出1个小球。用列表法写出所有可能的结果
如果还有丙口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有字母H和I。从甲、乙、丙三个口袋中各随机地取出1个小球。你能写出所有可能的结果吗？与你的同伴交流一下。
当一次试验涉及两个因素时，且可能出现的结果较多时，为不重复不遗漏地列出所有可能的结果，通常用列表法。当一次试验涉及三个因素时，列表法就不方便了，那么为不重不漏地列出所有可能的结果，我们该怎么办呢？
思考活动二
例1 甲口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有字母A和B； 乙口袋中装有3个相同的小球，它们分别写有字母C、D和E；丙口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有字母H和I。从3个口袋中各随机地取出1个小球。
（1）取出的3个小球上恰好有1个、2个和3个元音字母的概率分别是多少？ 在用树形图（2）取出的3个小球上全是辅音字母的概率是多少？
思考总结：什么时候用“列表法”方便，什么时候用“树形图”方便？
（当一次试验涉及两个因素时，且可能出现的结果较多时，为不重复不遗漏地列出所有可能的结果，通常用列表法，当一次试验涉及3个因素或3个以上的因素时，列表法就不方便了，为不重复不遗漏地列出所有可能的结果，通常用树形图） 思考活动三
经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能左转或右转，如果这三种可能性大小相同，同向而行的三辆汽车都经过这个十字路口时，求下列事件的概率：
（1）三辆车全部继续直行（2）两辆车右转，一辆车左转（3）至少有两辆车左转
1.两道单项选择题都含有A、B、C、D四个选项，若某学生不知道正确答案就瞎猜，则这两道题恰好全部被猜对的概率是__________
2.小明的奶奶家到学校有3条路可走，学校到小明的外婆家也有3条路可走，若小明要从奶奶家经学校到外婆家，不同的走法共有________种
3.某校八年级将举行班级乒乓球对抗赛，每个班必须选派出一对男女混合双打选手参赛，八年级一班准备在小娟、小敏、小华三名女选手和小明、小强两名男选手中，选男、女选手各一名组成一对参赛组合，一共能够组成哪几对？如果小敏和小强的组合是最强组合，那么采用随机抽签的办法，恰好选出小敏和小强参赛的概率是多少？
时，必须将树形图与具体的结果写下来，这也是中考的要求。 4.在一个盒子中有质地均匀的3个小球，其中两个小球都涂着红色，另一个小球涂着黑色，则计算以下事件的概率选用哪种方法更方便？ 1、从盒子中取出一个小球，小球是红球
2、从盒子中每次取出一个小球，取出后再放回，取出两球的颜色相同
3、从盒子中每次取出一个小球，取出后再放回，连取了三次，三个小球的颜色都相同
5.假定鸡蛋孵化后为公鸡与母鸡的概率相同。如果三枚鸡蛋全部能成功孵化，则所有可能的孵化结果中，恰有两只公鸡的概率是多少？
6.小刚上学的路上要经过三个红绿灯路口。假如每个路口红灯和绿灯亮的时间相同，那么小刚从家随时出发到学校，至少遇到一次红灯的概率是多少？不遇红灯的概率是多少？
课后习练
练、
1、再用摸球试验来模拟6人中有2人生肖相同的概率的过程中没有如下不同的观点，其中正确的是（ ）
A、摸出的球不能放回 B、摸出的求一定放回
C、可放回，可不放回 D、不能用摸球试验来模拟此试验
2、一个布袋中有15个黑球和若干个白球，从布袋中一次摸出10个球，求出其中黑球数与10的比
1值，再把球放回布袋中摇匀，不断重复此过程，得到黑球数与10的比值的平均数为，因此可估计
5布袋中大约有 个白球。
3、两同学都写出0-9中的一个数字，用试验的方法估计两人所写的数字相同的概率为 。
4、小亮给3个好朋友写了3封信，可是粗心的小亮在装信时将3封信随意放到了3个不同的信封中，请问，能否出现3个好朋友都没有收到应该是自己的信的情况？你能设计一个模拟试验估计出现3个好朋友都没有收到应该是自己的信的概率吗？
练、
1、在一个不透明的中装有5个完全相同的小球把它们分别标号为1,2,3,4,5，从中随机摸出一个小球，其标号大于2的概率是 。
2、小红上学要经过三个十字路口，每个路口遇到红、绿灯的机会都相同，小红希望上学时经过每个路口都是绿灯，但实际这样的机会是 。
3、一转盘被等分成三个扇形，上面分别标有-1,1,2中的一个数指针位置固定，转动转盘后任其自由停止，这时，某个扇形会恰好停在指针所指的位置，并相应得到这个扇形上的数（若指针恰好停在等分线上，当做指向右边的扇形）
（1）若小静转动转盘一次，求得到负数的概率；
（2）小宇和小静分别转动转盘一次，若两人得到的数相同，则称两人“不谋而合”用列表法（或画树状图）求两人不谋而合的概率
4、在一个不透明的盒子中放油三张卡片，每张卡片上写有一个实数，分别为3,2,26（卡片除了实数不同外，其余均相同）
（1）从盒子中随机抽取一张卡片，请直接写出卡片上的数字是3的概率；
（2）先从盒子中随机抽取一张卡片，将卡片上的实数作为被减数；卡片不放回，再随机抽取一张卡片，将卡片上的实数作为减数，请你用列表法或画树状图法，求出两次抽取的卡片上的实数之差为有理数的概率。
