求锐角三角函数值常用方法

求锐角三角函数值常用方法

求锐角三角函数值，是“锐角三角函数”一节中重要容，也是中考中常见的题型.现将求锐角三角函数值的常用方法总结如下，供同学们在学习时参考.

一、直接用锐角三角函数的定义

例1 在△ABC中，∠C = 900，AC =6，BC =8.则sinA = （ ）. A、

343 B、 C、

455 D、

4 3 分析 由定义知锐角A的正弦等于角A的对边比斜边，只要求出斜边AB 即可. 解：由勾股定理知，AB =

故选A.

二、用同角三角函数间的关系 例2 若∠A为锐角，且sinA = A、1 B、

3 ，则cosA = ( ) 2AC2BC2 = 10, ∴sinA =

4 5132 C、 D、

222

分析 本题可由sin2A + cos2A = 1直接求得.

cosA = 1sin2A = 1(132)=

22故选D.(注：本题也可用三角函数的定义求解) 例3 已知 tanA =

2 , 则cotA = 3 析解：由tanA×cotA = 1.得 cotA =

即cotA = 3 .

2 三、用等角来替换

例4如图1，在Rt△ABC中，∠ACB = 900,CD⊥AB于D,BC=3,AC = 4,设∠BCD = a,求sina.

. 学习.资料.

. . . .

析解 ：由题意可知，∠BCD = ∠A，sinasinA = 中，BC = 3,AC = 4,∴AB = 5.

∴sinA =

33 ∴sina = 55BC,只要求出AB即可.在Rt△ABCAB 四、构造直角三角形

例5 如图2，已知 △ABC中，D是AB的中点，DC⊥AC,且cotA = 四个三角函数值.

3,求∠BCD的2

分析 为了求出∠BCD的三角函数值，必须构造一个以∠BCD为锐角的直角三角形，可作DE⊥CD,接下来的关键是求出Rt△CDE的三边长或三边之比.在Rt△CDE中，由cotA =

313，可设AC = 3a, CD = 2a,而DE= AC = a .在Rt△CDE中，利用勾股定理可求出222CE,故∠BCD的四个三角函数值可求出.

解：过D点作DE⊥CD交BC于点E. ∵∠ACD = ∠CDE = 900 ∴AC∥DE 又∵D为AB的中点，∴DE为△ABC的中位线. 在Rt△ACD中，由cotA =

33a，可设AC = 3a ,CD = 2a , ∴ DE = . 22 在Rt△CDE中，由勾股定理CE = CD2DE2=

∴sin∠BCD =

(2a)2(3a2)2=

5a , 2DE3CD4= ,cos∠BCD == CE5CE5 . 学习.资料.

. . . .

tan∠BCD =

CD4DE3=, cot∠BCD ==

DE3CD4锐角三角函数走进中考

一、利用概念进行判断

在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则sinA=

abb,cosA=,tanA=。 cca例1（滨州市）．如图1，梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为A，关于∠A的三角函数值与梯子的倾斜程度之间，叙述正确的是（ ）A A．sinA的值越大，梯子越陡 C．tanA的值越小，梯子越陡

B．cosA的值越大，梯子越陡 D．陡缓程度与∠A的函数值无关

图1

分析：根据锐角三角函数的意义，可以知道一个锐角的正弦是这个锐角 的对边与斜边的比，角度越大，斜边就越陡，而本题中，梯子越陡，说明梯子 与地面的夹角的正弦值就越大，因此可以选择A。

点评：熟练掌握并正确理解锐角三角函数的概念是解答问题的关键。 二、已知三角函数值，求角度 例2（市）已知sinA1，且∠A为锐角，则∠A=（ ）A 21，可以知道∠A=30°，2A.30° B.45° C.60° D.75° 分析：本题主要考查的是特殊角三角函数值的应用，由sinA故选择A。

点评：特殊角的三角函数在中考当中出现的概率很大，同学们应该熟记，但不要死记，可以结合图形，根据定义理解记忆。

三、已知一个锐角三角函数值，求两条线段的比 例3 （）在Rt△ABC中，∠C90，sinB3BC

 ，则

5AB

. 学习.资料.

. . . .

分析：在Rt△ABC中，∠C90，根据正弦三角函数定义可以知道，sinB=而sinBAC，AB3，所以可以设AC3k,AB5k，再由勾股定理，得：BC=4k。因此，根据5BC4k44∠A的正弦，即sinA==，故答案应该为。

AB5k55点评：利用三角函数概念，再运用勾股定理是解答问题的关键。 四、已知一个锐角三角函数值，求另一个锐角三角函数值 例4（市）在△ABC中，C90，若sinB1，则cosA的值为（ ） 33 2A．

1 3B．

23 3 C．1 D．

分析：在Rt△ABC中，∠C=90°，由三角函数的意义可以知道sinBAC，ABcosA=

AC11而sinB，所以，cosA =，故选择A。 AB33点评：本题主要是考查互余的两个锐角三角函数之间的关系。 五、三角函数的应用

例5（市）某市为改善交通状况，修建了大量的高架桥．一汽车在坡度为30°的笔直高架桥点A开始爬行，行驶了150米到达点B，则这时汽车离地面的高度为 米．

分析：汽车离地面的高度就是由点B向地面做垂线，此时，垂线段与地面构成一个直角三角形，再由sin30°=

aa1==，所以，a75，故这时汽车c150230o 离地面的高度为 75米．

点评：本题比较简单，主要考查的是三角函数意义。 挑战自我：

1、（天津市）sin45cos45的值等于（ ） A. 2

A

B.

31 2C. 3

D. 1

B

图2

C

2、（）如图2，在△ABC中，C90，AB10cm，sinA4， 5 . 学习.资料.

. . . .

则BC的长为 cm．

sin22sincossin3cos，3、（）．若是直角三角形式一个锐角，则

cos2（ ）

A．323

B．

123 2C．223 D．3 4、（）把Rt△ABC各边的长度都扩大3倍得Rt△ABC，那么锐角A，A的余弦值的关系为（ ）

Ａ．cosAcosA

Ｂ．cosA3cosAＣ．3cosAcosA

Ｄ．不能确定

5、（市）如图，为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌，现测得斜坡与水平面所成角的度数是

30，为使出水口的高度为35m，那么需要准备的水管的长为（ ）

Ａ．17.5m

Ｂ．35m

Ｃ．353m

Ｄ．70m

B

A 30 C 6、（市）如图7，小明与小华爬山时遇到一条笔直的石阶路，路的一侧设有与坡面AB平行的护栏MN（MN=AB）．小明量得每一级石阶的宽为32cm，高为24cm，爬到山顶后，小华数得石阶一共200级，如果每一级石阶的宽和高都一样，且构成直角，请你帮他们求出坡角∠BAC的大小（精确到度）和护栏MN的长度．以下数据供选用：

参：

1、A.；2、8；3、C；4、A、5、D、

BN . 学习.资料.

M . . . .

6、AC＝0.32×200＝（米）， BC＝0.24×200＝48（米）

tanBAC480.75,所以BAC37 MNAB248280（米）

巧记特殊角的三角函数值

特殊角的三角函数值有着广泛的应用，要求大家必须熟记，为了帮助记忆，可采用下面的方法．

1、图示法：借助于下面三个图形来记忆，即使有所遗忘也可根据图形重新推出： sin30°=cos60°=

21 sin45°=cos45°=

223 tan 45°=cot45°=1 31

tan30°=cot60°=

2 30˚ 2 45˚ 1

1

2 60˚ 1

3

3

2、列表法：

值 角 函 数 0° 30° 45° 60° 90° . 学习.资料.

. . . . sin 0 21 22 23 24 2cos 4 20 3 23 327 32 29 39 31 20 2tan 27 不存在 33 30 cot 不存在 说明：正弦值随角度变化，即0˚→30˚ →45˚ →60˚ →90˚变化；值从0→

321 → → →1变化，其余类似记忆．

2223、规律记忆法：观察表中的数值特征，可总结为下列记忆规律：

① 有界性：（锐角三角函数值都是正值）即当0°＜＜90°时， 则0＜sin＜1； 0＜cos＜1 ； tan＞0 ； cot＞0。

②增减性：（锐角的正弦、正切值随角度的增大而增大；余弦、余切值随角度的增大而减小），即当0＜A＜B＜90°时，则sinA＜sinB；tanA＜tanB；cosA＞cosB；cotA＞cotB；特别地：若0°＜＜45°，则sinA＜cosA；tanA＜cotA 若45°＜A＜90°，则sinA＞cosA；tanA＞cotA． 4、口决记忆法：观察表中的数值特征

正弦、余弦值可表示为

mm形式，正切、余切值可表示为形式，有关m的值可23归纳成顺口溜：一、二、三；三、二、一；三九二十七．

. 学习.资料.