工科高数2第6章作业解答[1]

48页习题 3.（2）z2xy221xy122；

解：函数定义域为D{(x,y)1x2y22},是有界的连通集 (3) zln[xln(yx)]

解：函数定义域为D{(x,y)x0且07.求下列极限 （2）

lim(x,y)(0,0)xyxy11

解：原式=lim(x,y)(0,0)lim(x,y)(0,0)xy(xy11)xy11

(xy11)2（4）limln(xe)xy22yx1

y0解：原式=ln21ln2

（7）limsin(xy)yx2y0

解：原式=limsin(xy)xxy22x2y02

（8）lim1cos(xy)(xy)e222xy22x0y0

(xy)解：原式=lim2(xy)e22x0y022xy22

limxy2ex2y222x0y0063页习题

2.求下列函数的偏导数： （1）zxyyx

解:z3xyy,zx3xy xy233233（3）z解：zxln(xy) 121ln(xy)1xyy1xyy2x12y1ln(xy);

zyx2ln(xy)ln(xy)（6）z(1xy)

解：zy(1xy)xz[eyyln(1xy)y1yy(1xy)y2y1,xy1xy];]y(1xy)[ln(1xy)

y（7）uxz

解：uxyyzyxz1,uxyuxzzlnx1z,yz2y

xzyzlnxyz2lnx227. 求函数zxy在点（1,2）处从点（1,2）到点（2,2+3）方向的方向导数。

解：设从（1,2）到（2,2+且方向余弦为cos3）的方向向量为l,则l{1,13)23},12,cos32,1(又zlzx(1,2)2,zy(1,2)

4,所以方向导数为zy(1,2)=(1,2）zxcos(1,2)cos123。8.

求函数zln(xy)在抛物线y24x上点（1,2）处沿这条抛物线在该点处偏向

x轴正向的切线方向的方向导数。2解：设过抛物线上点（1,2）的切线方向向量为l,由方程y4x得y(1,2)zx1x=1，tan（1,2）1xy1z,3yzx4,l的方向余弦为cos1xy1322,cos22而(1,2)(1,2)zl(1,2)(1,2)zy,

所以方向导数为=(1,2）cos(1,2)cos(1,2)23。

页习题

14.求下列函数的全微分。 （3）zyxy解：dzd(1xy2222 yxy22)1xyxyxy2222(xydyydy2222xy)22(xydyx2222dxxy2dy)

2xy3dx3dy(xy)22(xy)2y2（5）zlntan()

x解：dzdlntan(yx)1tan(yx1x)x2dtan()yx)sec(tan(2yxyx)d())(yx)2sin(2y(xdyydx)

2csc(2yxdyxyx2dx)215. (1)求zln(1xy)在点（1,2）处的全微分

解：因为dzdln(1xy)=11xy2222211xy22d(1xy)22(2xdx2ydy),1323

dxdy所以在点（1,2）处的全微分dz(1,2)

65页习题 31. 求下列函数的zx22,zy22和zxy2.

(2)zxsin(xy)

解：zyzxsin(xy)xcos(xy),xcos(xy)2zx2cos(xy)cos(xy)xsin(xy)

2cos(xy)xsin(xy);zy22xsin(xy);zxy2cos(xy)xsin(xy)（4）zy

解：zx2222xzxylny;xzyxyx1;ylnx2y;zy

x(x1)yx2;yxzxy2xyx1lnyyyx1(xlny1)

71页习题

1. 求下列函数的全导数： （2）设zex2y,而xsint,yt,求3dzdt；

dzzdxzdy解：=dtxdtydteex2ycost2e3x2y3t

2sint2t(cost6t)x2（4）设zarcsin(xy),而ye,求dzdx;

dzdzdzdy解：=+dxdxdydxx11(xy)2y11(xy)2xe

xe(1x)1xe22x（6）设zxyyt,ye,tsinx,求dzdzdzdydzdt解：=+dxdxdydxdtdxyxeteycosxe（1xsinxcosx)xxxxdzdx;

2. 求下列函数的一阶偏导数： （2）设z=ulnv,而uzzuzv解：xuxvx2ulnv2xy22xy,v3x2y;

1yu2v33x22

;ln(3x2y)y(3x2y)zyzuuyzvvy

2ulnv2xy32xy2u2v(2)2x22

;ln(3x2y)y(3x2y)22（3）设uxyz,而zxcosy;

uxuxuzzx22解:2x2z2xcosy2x4xcosuyuy32y;uzzy2

2y2zx(siny)2yxsin2y43. 求下列函数的一阶偏导数（其中f具有一阶偏导数）： （1）uf(x,y),而xst,yst;

ufxfy解：sxsysf11f2t;utfxxtfyyt

f11f2s;（5）uf(x,xy,xyz)

u解：f1f2yf3yz;xuyuzf2xf3xz;f3xy;

72页习题

9. 求下列函数的二阶偏导数（其中f具有一阶连续偏导数）： （1）zf(xy);

zxf2x;zyf2y,22解：zx2222f4xf;2zxyzyxzy2222xf2y4xyf;

2yf2x4xyf;2f4yf。2（3）zf(x,xy);

解：zx22zxf1f21y1y;zy1yf2xy2,f1f1122f211yxy22f221y2;zxy2f121y2xy2f2f22xy3;

zyxzy222xy3f2xy2(f2f211xy21y);xy24f2f222xy3f2f2。2

77页习题

4. 求由下列方程确定的函数的导数或偏导数。 （1）sinyexy0;

解：对方程两边微分，得：d(sinyexy)0,即x2cosydyedxydx2xydy0,所以

x2x2dydxye2x。cosy2xy（2）lnxy22arctanyx;

解：对方程两边微分，得：d(ln1xy22xy)d(arctan12xy2222yx),即x222(2xdx2ydy)xy(1xdyyx2dx)

所以xdxydy=xdyydx,也即dydxxyxy（6）F(x,xy,xyz)0,F可微。

解：对方程两边微分，得：dF(x,xy,xyz)0,即F1dxF2dxF2dyF3dxF3dyF3dz0 所以有：dzzxF1F2F3F3dxF2F3F3dy则=（F1F2F3zF+1），(21)yF3

78页习题

7. 设x,y是由方程exysin(xz)0所确定的x,y的函数，求dz。

解：对方程两边微分，得：d(eexyxysin(xz))0,即xysin(xz)(dxdy)eexycos(xz)(dxdz)0dxeexyxy

dydzsin(xz)eexyxycos(xz)sin(xz)cos(xz)cos(xz)(1tan(xz))dxtan(xz)dy210. 设exyz0,求zzzx2。

解：设F(x,y,z)exyz,则Fxyz;Fyxz;Fzexyz

所以zxFxFzyzexyzxzzz;zx2zx22(exy)yzzezyzyz2(exy)22

z2(exy)yyzeyz(exy)yz(exy)z23z2z32eyz2xyzeyz(exy)z3211. 设z3xyz0,求3zxy2。

解：设F(x,y,z)z3xyzFx3yz;Fy3xz;Fz3z3xyzxFxFzyzzxy223;zyzyFyFzxzzxyzyx)2

则zxyzy2(zxy)(zyzy22)yz(2z2(zxy)yz(2z2zyx)2zxy322(zxy)3z(zxy)2xyzxyzxyz(zxy)z2xyzxyz(zxy)23532223322

12.求由下列方程组所确定的函数的导数或偏导数：

zxy（1）2 22x2y3z0解：对方程组中两方程求关于x的导数：dydz2y2xdxdx6zdz4ydy2xdxdx2xdzdx2x16z1dydx6z16z2y4y2y4y2x2x2y4yu228xy4xy4y12yzx13z;

2x12xz4y12yzx6xz2y6yzxeusinv（4） uyeusinv解：对方程组中两方程求关于x的偏导数，得

u(esinv)(eucosv)uxuxucosvvxvx1

0usinv1ux0uucosvusinvucosvusinv10ucosvusinvecosvuesinvuecosvuuuuusinvuesinvuecosvuuusinve(sinvcosv)1uesinvecosvesinvuu

vxecosvesinvecosvuuu同理，对方程组中两方程求关于y的偏导数，得uu(esinv)ucosvy(eucosv)uusinvy0解方程得uy1uvyvy01ucosvusinvucosvusinvcosve(sinvcosv)1u

esinvecosvuesinvvyecosvesinvecosvuuuu01ucosvusinvesinvuesinvuecosvuuuu

93页习题

1. 求下列函数的极值：

（1）f(x,y)4(xy)xy;

22（1）f(x,y)4(xy)xy;fx42x0解：由解得驻点fy42y0(2,2),又因为fx2,fx0,fy2xyy所以Afx(2,2)2,fx(2,2)0,xy22

fy(2,2)2,则ACBy240,且A20,故在(2,2)可取得极大值， 极大值为f(2,2)8。3. f(x,y)1fx解：由xy; xxy22220,解得偏导数不存在点(0,0),fyy02xy2又(x,y)R2有1x2y21,即在(0,0)取得极大值，极大值为f(0,0)1。(5). f(x,y)x2y22lnx2lny,(x0,y0);

fx2x20解：由x,解得驻点(1,1)f2y2,y0y又fx22x;f2x2xy0;fyy2y2,则Afxx(1,1)4;fxy(1,1)0;fyy(1,1)4,

ACB2160又A0,所以函数在(1,1)取得极小值，极小值为f(1,1)2。3.求下列函数在指定条件下的条件极值： (2) f(x,y)1x4y,如果xy3

解：由xy3有f(x)14x3xf(x)1+4x2(3x)20,

解得驻点x11,x23;又f(x)2+8x3(3x)3f(1)30;f(3)80216所以函数在(1,2)取得极小值，为f(1,2)3; 在(3,6)取得极大值，为f(3,6)1。3

（4）f(x,y,z)x2y2z,如果xyz1;

解：由xyz2222221得f(x,y)x2y21xy222xfx10,221xy1212由得驻点(,)和(,)2y3333f20,y221xy对于(13Bfx(y,1323)，因为Afx(x23)21313,2323)1540;,32;Cfy(y8140,,)6;所以ACB则函数在点(13同理对于点(Bfx(y,22122，)取得极大值，为f(,，)3;33333121215,)，因为Afx(,)0;x3333412312,);Cfy(,)6;y332332所以ACB则函数在(8140,

122122,,)取得小值，为f(,,)3;3333331x1y1且x0,y0.

（6）zxy,如果1xz11y1x1解：由1有zxx(x1)2xx10解得驻点x12,x2（0舍去）2x(x1）3

又z1(x1）21(x1)2,z(2)20所以函数在点(2,2)处取得极小值，极小值z(2,2)4。5. 求曲线yx上动点到定点(a,0)的最小距离。

解：设点(x,y)为曲线上任意一点，则点(x,y)到定点(a,0)的距离为dd2(xa)y,又点(x,y)在曲线上，所以2(xa)12(xa)x222

12a(xa)x,由d0得驻点x又x0,此时a1412,因驻点唯一，当x12a时d最小，

最小距离为a;当x0时，点（0,0）与(a,0)的最小距离为a。6.某工厂生产的一种产品同时在两个市场销售，售价分别为q1,q2,销售量分别是p1,p2,需求函数分别为：q1240.2p1,q2100.05p2,总成本函数为：c3540(q1q2).试问：厂家应如何确定两个市场的售价，才能使获得的利润最大？最大总利润是多少？

解：据题意，设最大总利润是w,则wp1q1p2q23540(q1q2)0.2p10.05p232p112p21395,p180wp10.4p1320,由得,w0.1p2120,p2120p222

因为驻点唯一，当两个市场的售价分别为80,120时总利润最大，最大总利润为w(80,120)605.