2022届四川省成都市郫都区高三上学期11月阶段性检测(二) 数学(理)

数学(理科)

说明：

1.本卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分，满分150分，时间120分钟。 2.所有试题均在答题卡相应的区域内作答。

第I卷(选择题 共60分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的)

1.已知集合A＝{x|x－1<0}，B＝{x|(x－6)(x＋1)<0}，则A∪B＝ A.(－∞，1) B.(－6，1) C.(－1，1) D.(－∞，6)

2i，则z的共轭复数的虚部为 1i3333A. B.i C.－ D.－i 22222.设z＝

3.对任意非零实数a，b，若ab的运算原理如图所示，则20.5log0.5

1的值为 4

A.

21221 B.2 C. D. 2224.奇函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，且f(2)＝0，则不等式A.(－∞，－2]∪(0，2] B.[－2，0)∪[2，＋∞) C.(－∞，－2]∪[2，＋∞) D.[－2，0)∪(0，2] 5.函数f(x)＝

3fx2fx≤0的解集为

5x1的图象大致是

xlnx1

6.魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”(如图)，通过计算得知正方体的体积与“牟合方盖”的体积之比应为3：2。若在该“牟合方盖”内任取一点，此点取自正方体内切球内的概率为

12 B. C. D. 24367.已知ω>0，|φ|<，函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，为了得到函数g(x)＝sinωx的图象，只要

2A.

将f(x)的图象

个单位长度 B.向右平移个单位长度 48C.向左平移个单位长度 D.向左平移个单位长度

48A.向右平移

8.已知2×1010＋a(0≤a<1l)能被11整除，则实数a的值为 A.7 B.8 C.9 D.10

9.如图所示，为测量某不可到达的竖直建筑物AB的高度，在此建筑物的同一侧且与此建筑物底部在同一水平面上选择相距10米的C，D两个观测点，并在C，D两点处分别测得塔顶的仰角分别为45°和60°，且∠BDC＝60°，则此建筑物的高度为

A.103米 B.53米 C.10米 D.5米

10.已知f(x)的定义域为(0，＋∞)，f'(x)为f(x)的导函数，且满足f(x)<－xf'(x)，则不等式f(x＋1)>(x－1)f(x2－1)的解集是

A.(0，1) B.(2，＋∞) C.(1，2) D.(1，＋∞)

11x2，x211.定义域为R的函数f(x)＝，若关于x的函数h(x)＝f2(x)＋af(x)＋有5个不同的零点x1、

21，x2，x2、x3、x4、x5，则x12＋x22＋x32＋x42＋x52等于 A.15 B.20 C.30 D.35

12.已知点O为△ABC外接圆的圆心，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝3，若BOAC＝2，则当角C取到最大值时△ABC的面积为 A.5 B.25 C.10 D.5 第II卷(非选择题 共90分)

注意事项：必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指定的答题区域内作答，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚，答在试题卷上无效。 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13.函数f(x)＝

2x1在点(2，1)处的切线方程为 。 x1x2y114.设x，y满足约束条件2xy1，则z＝x－y的最小值为 。

xy015.已知α为锐角且

2，则sin(2α＋)的值是 。 23tan()4tan16.直线l：x－2y＋2＝0，动直线l1：ax－y＝0，动直线l2：x＋ay＋2a－4＝0。设直线l与两坐标轴分别交

于A，B两点，动直线l1与l2交于点P，则△PAB的面积最大值为 。 三、解答题(本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。) 17.(本小题满分12分)

已知数列{an}满足：a1＝1，且an＋1－2an＝n－1，其中n∈N*； (1)证明数列{an＋n}是等比数列，并求数列{an}的通项公式； (2)求数列{an}的前n项和Sn。 18.(本小题满分12分)

某公司对某产品作市场调研，获得了该产品的定价x(单位：万元/吨)和一天销售量y(单位：吨)的一组数据，制作了如下的数据统计表，并作出了散点图。

表中z＝

1，0.2≈0.45，4.8≈2.19。 x－1

(1)根据散点图判断，y＝a＋bx与y＝c＋k·x不必说明理由)

哪一个更适合作为y关于x的回归方程；(给出判断即可，

(2)根据(1)的判断结果，试建立y关于x的回归方程；

(3)若生产1吨该产品的成本为0.20万元，依据(2)的回归方程，预计定价为多少时，该产品一天的利润最大，并求此时的月利润。(每月按30天计算，计算结果保留两位小数)

ˆ(参考公式：回归方程ybxa，其中b(xx)(yy)xynx yiiiii1nn(xx)ii1n2i1nˆ) ˆybx，axi12inx219.(本小题满分12分)

如图所示正四棱锥S－ABCD，SA＝SB＝SC＝SD＝2，AB＝2，P为侧棱SD上的点。

(1)求证：AC⊥SD；

(2)若S△SAP＝3S△APD，求二面角C－AP－D的余弦值。

(3)在(2)的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE//平面PAC。若存在，求说明理由。

20.(本小题满分12分)

SE的值；若不存在，请ECx2y2已知F1，F2分别是椭圆E：221(ab0)的左，右焦点，|F1F2|＝6，当P在E上且PF1垂直x轴

ab时，|PF2|＝7|PF1|。

(1)求E的标准方程；

(2)A为E的左顶点，B为E的上顶点，M是E上第四象限内一点，AM与y轴交于点C，BM与x轴交于点D，求四边形ABDC的面积。 21.(本小题满分12分) 己知函数f(x)＝lnx－

ax1，(a∈R)。

x1(1)若函数f(x)在定义域内是单调增函数，求实数a的取值范围； (2)求证：3ln2＋4ln3＋5ln4＋…＋(n＋2)ln(n＋1)>n2＋n，(其中n∈N*)。

请考生在22、23题中任选一题作答，共10分，如果多作，则按所作的第一题计分。作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题目题号的方框涂黑。 22.(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程

x2tx2y21，直线l：已知曲线C：(t为参数) 49y22t(1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；

(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值。 23.(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 已知函数f(x)＝|x＋1＋|x－3|。 (1)求不等式f(x)<3x－1的解集；

(2)函数f(x)的最小值为实数m，若三个实数a，b，c，满足a＋2b＋3c＝m。求a2＋b2＋c2的最小值。

二阶数学（理）参

1-12 DCCD BBBC BBCD

31113．x3y10 14．2 15． 16．

5217．（1）由题设，an1(n1)2(ann)，…………………………………………………2分

而a112，………………………………………………………………………3分

∴ann是首项、公比均为2的等比数列，故ann2，…………………………5分

nn即an2n.……………………………………………………………………6分

n（2）由（1）知：an2n，则

Sna1a2an(211)(222)(2nn)(21222n)(12n)2(12n)(1n)n122(1n)n2n122…………………………………12分（分步计算，酌情给分）

18．（1）根据散点图知yckx1更适合作为y关于x的回归方程．………………………………2分 （2）令z101，则yckz， xi则kzy10zyii110zi12i10z2350101035，………………………………………………………………4分

1001032cykz5，……………………………………………………………………………………………5分

5y5，关于x的回归方程为y5．…………………………………………………………6分 xx0.25（3）一天利润为Ty(x0.20)5(x0.2)65x6100.21.5．………………9分 xx0.2（当且仅当x即x0.45时取等号）…………………………………………………………………10分

xy5每月的利润为301.545.00（万元）……………………………………………………………………11分 预计定价为0.45万元/吨吋，该产品一天的利润最大，此时的月利润为45.00万元．………………12分

19．证明：（1）连BD，设AC交BD于O，由题意SO⊥AC． 在正方形ABCD中，有AC⊥BD，又SO∩BD＝O，

∴AC⊥平面SBD，得AC⊥SD；……………………………4分

（2）由（1）可知OC,OD,OP两两垂直，以O为坐标原点，OC,OD,OP分别为

C(1,0,0)，x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系，（0,0,0）如图所示，则O，A(1,0,0)，

D(0,1,0)，S(0,0,3)，B(0,1,0)由S33AD1,1,0，AP1,4,4

SAP3SAPD33，可得SP3PD ，所以P(0,,)

44设平面ACP的法向量为nx1,y1,z1，

x10OCn0 则，即3，取y11，则z13，得n0,1,3，…6分 3z10OPn0y144设平面APD的法向量为mx2,y2,z2，

x2y20ADm03x1y1m1,1, 则，即，取2，则2，得…………………………33，3APm0xyz0222448分

cosm,nmn0 mn则二面角CAPD的余弦值为

0.………………………………………………………………………………………9分 （3）假设侧棱SC上存在一点E，使得BE∥平面PAC，设CECS 则BEBCCEBCCS(1,1,0)(1,0,3)(1,1,3)

1所以，当BE∥平面PAC时，nBE(0,1,3)(1,1,3)130，则

3所以侧棱SC上存在一点E，当满足

SE2时，BE//平面ECPAC.…………………………………………………12分

法二：（2）在SAD中，SASD2,AD2，

1AD2PDDPAP（或者用余弦定理求出AP，再用勾股定理逆定理说明垂直） 2cosADSSD4AD由（1）可知AC⊥SD，即DPAC

APACADP面ACP

又DP面DAP，面DAP面ACP，则二面角CAPD的余弦值为0.………………………………………8分 （3）侧棱SC上存在一点E，当满足由SSAPSE2时，BE//平面PAC. EC3SAPD，可得SP3PD

取点F为SD的中点，则点P为FD的中点,又O为BD的中点 所以在△BFD中，BF//OP.

BF平面ACP，OP平面ACP，则BF//平面ACP

过点F作FE//PC，交SC于点E，连结BE

由EF平面ACP，PC平面ACP，则EF//平面ACP 又EFBEE，所以平面BEF//平面ACP

SESF, ECFP又BE平面BEF,则BE//平面PAC. 由FE//PC，则

由SP3PD，F为SD的中点，则

SFSE2，所以2 FPECSE2时，BE//平面EC所以侧棱SC上存在一点E，当满足

PAC.…………………………………………………12分

b2|PF||PF|2a|PF|7|PF|20．解：（Ⅰ）由题意知|PF1|，，2121，则8|PF1|2a，

a得a2b，又c3，a2b2c2，解得a2b23，

x2y2所以E的标准方程是…………………………………………………………………………………51；

123分

（Ⅱ）由题意知A(23,0)，B(0,3)，设M(m,n)，C(0,t)，D(s,0)，

因为A，C，M三点共线，则ACAM，解得t23n，

m23B，D，M三点共线，则BDBM，解得s7分

3m，…………………………………………………………n3m2n2|AD|s23，|BC|3t，………………………………………………………………………1，

1238分

|AD||BC|3s23tst663m123n363m12n6mn6 n3m23(n3)(m23)66m23n3m23n3n3m236mn612. n3m23所以四边形ABDC的面积SABDC所以四边形ABDC的面积是定

1|AD||BC|6. 2值.……………………………………………………………………………………12分 （其他解法酌情给分）

21．（1）因函数f(x)在定义域为(0,)，

1a(x1)a(x1)x2(22a)x1f(x)，x(0,)……………………………………………………1

x(x1)2x(x1)2分

因为函数f(x)在定义域内是单调增函数，所以f(x)0在(0,)上恒成立，………………………………2分

即x2(22a)x10在(0,)上恒成立，

1在(0,)上恒成立x12a2x…………………………………………………………3分

xmin2a2x11x21令(x)x，所以(x)122，

xxx当x(0,1)时，(x)0，所以(x)在(0,1)上单调递减， 当x(1,)时，(x)0，所以(x)在(1,)上单调递减，

所以(x)min(1)2，故a2；………………………………………………………………………………5分

（2）由（1）知当a2时，函数f(x)在(0,)上是单调增函数， 且当x1时，f(x)f(1)ln1即lnx2(11)0， 112(x1)2(x1)4(x1)x12(x1) x1lnxlnx4(n1)2(n1)，n2,nN*2(n1)(n1)lnn，n2,nN* lnn*（n+1）用n1替换n得2n(n2)ln，n1,nN…………………………………………………………10分

(22n)nn2n 22,3,当n1，，时，3ln22,4ln34,5ln46,,(n2)ln(n1)2n，

将上面不等式相加得3ln24ln35ln4(n2)ln(n1)242n即3ln24ln35ln4(n2)ln(n1)n2n得证.………………………………………………………12分

x2cos22．（1）曲线C的参数方程为，（为参数），……………………………………………………2

y3sin分

直线l的普通方程为y2x6.…………………………………………………………………………………4分

（2）曲线C上任意一点P(2cos,3sin)到l的距离为 d5|4cos3sin6|.………………………………………………………………………………………65分 则|PA|4d25为锐角，且tan， ，其中|5sin()6|3sin3005225.………………………………………………………85当sin()1时，|PA|取得最大值，最大值为分

25.……………………………………………………………10当sin()1时，|PA|取得最小值，最小值为5分

x11x3x323．（1）由f(x)3x1，得：或或，

(x1)(x3)3x1(x1)(x3)3x1(x1)(x3)3x1解得：x或x3或x3，

5∴原不等式的解集为xx.…………………………………………………………………………………5

353分

（2）证明：由f(x)x1x3x1x34，则

m4.∵a2b3cm4，……………………………………………………………………………………7分

22222222∴(abc)123(a2b3c)416，即a2b2c28……………………………………97分 当且仅当

2abc4，即a，b，c2时取等号， 123338∴a2b2c2的最小值为．…………………………………………………………………………………10分

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