单元质量测试(三)
时间：120分钟 满分：150分
第Ⅰ卷 (选择题，共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．函数f(x)＝1－2sin的最小正周期为( )
2π
A．2π B．π C． D．4π
2答案 A
解析 f(x)＝1－2sin＝cosx，最小正周期T＝2π，故选A．
22．已知sinθ<0，tanθ>0，则1－sinθ化简的结果为( ) A．cosθ B．－cosθ C．±cosθ D．以上都不对 答案 B
解析 由已知可判断出θ是第三象限角，所以1－sinθ＝|cosθ|＝－cosθ．故选B． →→→
3．(2018·福建4月质检)已知向量AB＝(1，1)，AC＝(2，3)，则下列向量与BC垂直的是( ) A．a＝(3，6) B．b＝(8，－6) C．c＝(6，8) D．d＝(－6，3) 答案 D
→→→
解析 BC＝AC－AB＝(1，2)，因为(1，2)·(－6，3)＝1×(－6)＋2×3＝0．故选D． 4．(2018·长沙统考)已知a，b为单位向量，且a⊥(a＋2b)，则向量a与b的夹角为( ) A．30° B．60° C．120° D．150° 答案 C
解析 由题意，a·(a＋2b)＝a＋2a·b＝|a|＋2|a||b|·cos〈a，b〉＝1＋2cos〈a，b〉＝0，1
所以cos〈a，b〉＝－，又0°≤〈a，b〉≤180°，所以〈a，b〉＝120°．故选C．
2
5．(2018·长春调研)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcosC－2ccosB＝a，且B＝2C，则△ABC的形状是( )
A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 答案 B
解析 ∵2bcosC－2ccosB＝a，∴2sinBcosC－2sinCcosB＝sinA＝sin(B＋C)，即sinBcosC＝
2
2
2
222
xx1 / 11
3cosBsinC，∴tanB＝3tanC，又B＝2C，∴＝
π
，故△ABC为直角三角形．故选B． 2
2tanC3ππ
，C＝，B＝2C＝，A2＝3tanC，得tanC＝
1－tanC363
→1→→→2
6．(2018·广东广州调研)如图所示，在△ABC中，AN＝AC，P是BN上的一点，若AP＝mAB＋
311→
AC，则实数m的值为( )
95
A． B． 111132C． D． 1111答案 B
65→→2→→6→
解析 因为N，P，B三点共线，所以AP＝mAB＋AC＝mAB＋AN，从而m＋＝1⇒m＝．故11111111选B．
7．(2018·湖南长郡中学调研)若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知2bsin2A＝asinB，且c＝2b，则等于( )
A．2 B．3 C．2 D．3 答案 A
解析 由2bsin2A＝asinB，得4bsinAcosA＝asinB，由正弦定理得4sinBsinAcosA＝sinAsinB，12222
∵sinA≠0，且sinB≠0，∴cosA＝，由余弦定理，得a＝b＋4b－b，
4
∴a＝4b，∴＝2．故选A．
2
2
ababαπ8．(2018·江西九校联考)已知5sin2α＝6cosα，α∈0，，则tan＝( )
22
2 / 11
2132A．－ B． C． D． 3353答案 B
π解析 由题意知10sinαcosα＝6cosα，又α∈0，，
2
4
1－
225134α1－cosα∴sinα＝，cosα＝，tan＝＝＝＝＝．
552αααsinα33
cos2sincos
2225
sin
2sin
2
ααππ
9．(2018·东北三省四市二联)将函数f(x)＝sin(2x＋φ)|φ|＜的图象向右平移个单位，
212π
所得到的图象关于y轴对称，则函数f(x)在0，上的最小值为( )
2
A．3113 B． C．－ D．－ 2222
答案 D
πππ
解析 f(x)＝sin(2x＋φ)向右平移个单位得到函数g(x)＝sin2x－＋φ＝sin2x－＋φ，
12126πππ
此函数图象关于y轴对称，即函数g(x)为偶函数，则－＋φ＝＋kπ，k∈Z，由|φ|＜，可622πππππ2π
得φ＝－，所以f(x)＝sin2x－，因为0≤x≤，所以－≤2x－≤，所以f(x)的最小
332333π3
值为sin－＝－．故选D．
32
→→→10．(2018·湖北宜昌二模)已知△ABC中，∠A＝120°，且AB＝3，AC＝4，若AP＝λAB＋AC，→→
且AP⊥BC，则实数λ的值为( )
221012A． B． C．6 D． 1537答案 A
→→→→→→→→→→→→→解析 因为AP＝λAB＋AC，且AP⊥BC，所以有AP·BC＝(λAB＋AC)·(AC－AB)＝λAB·AC－
λAB2＋AC2－AB·AC＝(λ－1)AB·AC－λAB2＋AC2＝0，整理可得(λ－1)×3×4×cos120°－9λ＋
22
16＝0，解得λ＝，故选A．
15
π
11．(2018·湖南长沙长郡中学摸底)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)ω>0，|φ|<的最小正周
2
→→→→→→→→
3 / 11
期为π，且其图象向左平移( )
π
个单位长度后得到函数g(x)＝cosωx的图象，则函数f(x)的图象3
π5π
A．关于直线x＝对称 B．关于直线x＝对称
1212π5π
C．关于点，0对称 D．关于点，0对称
1212答案 C
2ππ
解析 由题意T＝＝π，得ω＝2，把g(x)＝cos2x的图象向右平移个单位长度得f(x)
ω3π2ππ2π7πππ5π
＝cos2x－＝cos2x－＝sin－2x＋＝sin－2x＋＝sin2x－的图象，f＝0，f＝33236612123π
，因此函数f(x)的图象关于点，0对称．故选C． 212
12．(2017·全国卷Ⅲ)在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的→→→
圆上．若AP＝λAB＋μAD，则λ＋μ的最大值为( )
A．3 B．22 C．5 D．2 答案 A
解析 分别以CB，CD所在的直线为x轴、y轴建立直角坐标系，则A(2，1)，B(2，0)，D(0，1)．
∵点P在以C为圆心且与BD相切的圆上， ∴可设P25cosθ，25
sinθ．
→→
则AB＝(0，－1)，AD＝(－2，0)， →
AP＝
25
cosθ－2，
25
sinθ－1．
→→→又AP＝λAB＋μAD， ∴λ＝－
25
sinθ＋1，μ＝－
25sinθ－
15
15
cosθ＋1，
∴λ＋μ＝2－cosθ＝2－sin(θ＋φ)，
1
其中tanφ＝，∴(λ＋μ)max＝3．故选A．
2
第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)
4 / 11
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．(2018·合肥质检一)已知平面向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，|a＋b|＝3，则a在b方向上的投影等于________．
1
答案 －
2
解析 依题意，有|a＋b|＝(a＋b)＝a＋2a·b＋b＝1＋2×1×2cos〈a，b〉＋4＝3，解得cos11
〈a，b〉＝－，则a在b方向上的投影等于|a|cos〈a，b〉＝－．
22
14．(2018·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知C＝60°，b＝6，
2
2
2
2
c＝3，则A＝________．
答案 75°
362
解析 由正弦定理得＝，∴sinB＝．
sin60°sinB2又∵c＞b，∴B＝45°，∴A＝75°．
→→→→→→→
15．(2018·河北石家庄质检)已知AB与AC的夹角为90°，|AB|＝2，|AC|＝1，AM＝λAB＋μACλ→→
(λ，μ∈R)，且AM·BC＝0，则的值为________．
μ1答案 4解析
→
根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0，0)，B(0，2)，C(1，0)，所以AB＝(0，→→→→→
2)，AC＝(1，0)，BC＝(1，－2)．设M(x，y)，则AM＝(x，y)，所以AM·BC＝(x，y)·(1，－2)＝x→→→
－2y＝0，即x＝2y，又AM＝λAB＋μAC，即(x，y)＝λ(0，2)＋μ(1，0)＝(μ，2λ)，所以x＝1yλ21
μ，y＝2λ，所以＝＝．
μx4
16．(2018·广州调研)如图所示，某炮兵阵地位于地面A处，两观察所分别位于地面C处和D处，已知CD＝6000 m，∠ACD＝45°，∠ADC＝75°，目标出现于地面B处时测得∠BCD＝30°，∠
BDC＝15°，则炮兵阵地到目标的距离是________ m．(结果保留根号)
5 / 11
答案 100042
解析 在△ACD中，∵∠ACD＝45°，∠ADC＝75°， ∴∠CAD＝60°，
由正弦定理可得＝，
sin45°sin60°
2232
ADCD∴AD＝6000×＝20006(m)．
在△BCD中，由正弦定理得
＝，
sin30°sin135°
BDCD1
×60002∴BD＝＝30002(m)，
22
在Rt△ABD中，由勾股定理可得AB＝BD＋AD， ∴AB＝30002＋20006＝100042(m)．
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知α∈
2
2
2
2
2
π，π，sinα＝5．
52
π(1)求sin＋α的值；
4
(2)求cos
5π－2α的值．
6
5π解 (1)因为α∈，π，sinα＝，
52252
所以cosα＝－1－sinα＝－．
5故sin
π＋α＝sinπcosα＋cosπsinα
444
6 / 11
＝
2252510×－＋×＝－． 251052
(2)由(1)知sin2α＝2sinαcosα ＝2×
5254×－＝－， 555
2
cos2α＝1－2sinα＝1－2×所以cos＝－
523
＝， 55
5π－2α＝cos5πcos2α＋sin5πsin2α
666
4＋333314
×5＋2×－5＝－10．
2
13
18．(2018·浙江温州统考)(本小题满分12分)已知函数f(x)＝sinωx＋cosωx(ω>0)的
22最小正周期为π．
(1)求ω的值，并在下面提供的直角坐标系中画出函数y＝f(x)在区间[0，π]上的图象；
(2)函数y＝f(x)的图象可由函数y＝sinx的图象经过怎样的变换得到？ π解 (1)函数可化为f(x)＝sinωx＋，
32π
因为T＝π，所以＝π，即ω＝2，
ωπ所以f(x)＝sin2x＋． 3列表如下：
x 0 π 12π 37π 125π 6π 7 / 11
y 3 21 0 －1 0 3 2画出图象如图所示：
ππ(2)将函数y＝sinx(x∈R)图象上的所有点向左平移个单位长度，得到函数y＝sinx＋(x331
∈R)的图象，再将所得图象上的所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，可得函数f(x)＝
2πsin2x＋(x∈R)的图象． 3
2π
19．(2018·河南洛阳二模)(本小题满分12分)如图，已知扇形的圆心角∠AOB＝，半径为
342，若点C是AB上的一动点(不与点A，B重合)．
(1)若弦BC＝4(3－1)，求BC的长； (2)求四边形OACB面积的最大值．
解 (1)在△OBC中，BC＝4(3－1)，OB＝OC＝42，
OB2＋OC2－BC23
所以由余弦定理得cos∠BOC＝＝，
2OB·OC2
ππ22π
所以∠BOC＝，于是BC的长为×42＝．
6632π2π
(2)设∠AOC＝θ，θ∈0，，则∠BOC＝－θ，
33
8 / 11
S四边形OACB＝S△AOC＋S△BOC
112ππ＝×42×42sinθ＋×42×42sin－θ＝24sinθ＋83cosθ＝163sinθ＋， 22362πππ5π由于θ∈0，，所以θ＋∈，，
3666
π
当θ＝时，四边形OACB的面积取得最大值163．
3
20．(2018·河南濮阳三模)(本小题满分12分)△ABC内接于半径为R的圆，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且2R(sinB－sinA)＝(b－c)sinC，c＝3．
(1)求角A的大小；
(2)若AD是BC边上的中线，AD＝2
22
2
19
，求△ABC的面积． 2
解 (1)因为2R(sinB－sinA)＝(b－c)sinC，所以2RsinBsinB－2RsinAsinA＝(b－c)sinC， 所以bsinB－asinA＝bsinC－csinC， 即b－a＝bc－c，即b＋c－a＝bc，
2
2
2
2
2
2
b2＋c2－a21
所以cosA＝＝，A＝60°．
2bc2
(2)以AB，AC为邻边作平行四边形ABEC， 在△ABE中，∠ABE＝120°，AE＝19， 由余弦定理得AE＝AB＋BE－2AB·BEcos120°， 12
即19＝9＋BE－2×3×BE×－，
2解得BE＝2(负值舍去)，所以AC＝2． 1
故S△ABC＝AB·ACsin∠BAC
21333＝×3×2×＝． 222
21．(2018·荆门调研)(本小题满分12分)已知向量m＝(3sinx，cosx)，n＝(－cosx，3cosx)，
2
2
2
f(x)＝m·n－
3
． 2
(1)求函数f(x)的最大值及取得最大值时x的值；
π(2)若方程f(x)＝a在区间0，上有两个不同的实数根，求实数a的取值范围．
2
解 (1)f(x)＝m·n－
333332
＝－3sinxcosx＋3cosx－＝－sin2x＋(1＋cos2x)－ 22222
9 / 11
5π33＝－sin2x＋cos2x＝3sin2x＋． 622
5πππ
当2x＋＝2kπ＋，k∈Z，即x＝kπ－，k∈Z时，
626函数f(x)取得最大值3．
5π5π11ππ，(2)由于x∈0，时，2x＋∈．
2666而函数g(x)＝3sinx在区间又g
5π，3π上单调递减，在区间3π，11π上单调递增．
2266
11π＝－3，g3π＝－3，g5π＝3．
262
26
π结合图象(如图)，所以方程f(x)＝a在区间0，上有两个不同的实数根时，a∈
2
3
－3，－．
2
22．(2018·广东茂名二模)(本小题满分12分)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，
c，sinA＝2sinC，2b＝3c．
(1)求cosC；
(2)若∠ABC的平分线交AC于点D，且△ABC的面积为解 (1)∵sinA＝2sinC，∴a＝2c．
322
2c＋c－c2222
2a＋b－c7
于是，cosC＝＝＝．
2ab38
2×2c×c2715
(2)由(1)知cosC＝，∴sinC＝．
881315315
∵S△ABC＝·2c·c·＝，
2284∴c＝4，c＝2，则a＝4，b＝3． ∵BD为∠ABC的平分线，
2
315
，求BD的长． 4
10 / 11
∴＝＝2，∴CD＝2AD． 又CD＋AD＝3，∴CD＝2，AD＝1．
7222
在△BCD中，由余弦定理可得BD＝4＋2－2×4×2×＝6，
8∴BD＝6．
aCDcAD11 / 11
