三年(2017-2019)高考真题数学(理)分项汇编专题04 导数及其应用(解答题) (原卷版)

1．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知函数f(x)sinxln(1x)，f(x)为f(x)的导数．证明：

（1）f(x)在区间(1,)存在唯一极大值点； （2）f(x)有且仅有2个零点．

2．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知函数fxlnx2x1x1.

（1）讨论f(x)的单调性，并证明f(x)有且仅有两个零点；

x（2）设x0是f(x)的一个零点，证明曲线y=lnx在点A(x0，lnx0)处的切线也是曲线ye的切线.

3．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知函数f(x)2x3ax2b. （1）讨论f(x)的单调性；

（2）是否存在a,b，使得f(x)在区间[0,1]的最小值为1且最大值为1？若存在，求出a,b的所有值；若不存在，说明理由.

4．【2019年高考北京理数】已知函数f(x)13xx2x． 4（Ⅰ）求曲线yf(x)的斜率为1的切线方程； （Ⅱ）当x[2,4]时，求证：x6f(x)x；

（Ⅲ）设F(x)|f(x)(xa)|(aR)，记F(x)在区间[2,4]上的最大值为M（a）．当M（a）最小时，求a的值．

5．【2019年高考天津理数】设函数f(x)ecosx,（Ⅰ）求fx的单调区间；

xg(x)为fx的导函数．

（Ⅱ）当x,时，证明f(x)g(x)x0；

242（Ⅲ）设xn为函数u(x)f(x)1在区间2n,2n内的零点，其中nN，证明42e2n． 2nxn2sinx0cosx0

6．【2019年高考浙江】已知实数a0，设函数f(x)=alnx（1）当ax1,x0.

3时，求函数f(x)的单调区间； 4x1f(x), 求a的取值范围． 均有,)22ae（2）对任意x[注：e=2.71828…为自然对数的底数．

7．【2019年高考江苏】设函数f(x)(xa)(xb)(xc),a,b,cR、f'(x)为f（x）的导函数． （1）若a=b=c，f（4）=8，求a的值；

（2）若a≠b，b=c，且f（x）和f'(x)的零点均在集合{3,1,3}中，求f（x）的极小值；

（3）若a0,0b„1,c1，且f（x）的极大值为M，求证:M≤

8．【2018年高考全国Ⅰ卷理数】已知函数f(x)（1）讨论f(x)的单调性；

4． 271xalnx． x（2）若f(x)存在两个极值点x1,x2，证明：

fx1fx2a2．

x1x29．【2018年高考全国Ⅲ卷理数】已知函数fx2xax2ln1x2x．

（1）若a0，证明：当1x0时，fx0；当x0时，fx0； （2）若x0是fx的极大值点，求a．

10．【2018年高考全国Ⅱ卷理数】已知函数f(x)exax2．

（1）若a1，证明：当x0时，f(x)1； （2）若f(x)在(0,)只有一个零点，求a．

11．【2018年高考北京理数】设函数f(x)=[ax2(4a1)x4a3]ex．

（Ⅰ）若曲线y= f（x）在点（1，f(1)）处的切线与x轴平行，求a； （Ⅱ）若f(x)在x=2处取得极小值，求a的取值范围．

x12．【2018年高考天津理数】已知函数f(x)a，g(x)logax，其中a>1.

（I）求函数h(x)f(x)xlna的单调区间；

（II）若曲线yf(x)在点(x1,f(x1))处的切线与曲线yg(x)在点(x2,g(x2)) 处的切线平行，证明

x1g(x2)2lnlna； lna1e（III）证明当ae时，存在直线l，使l是曲线yf(x)的切线，也是曲线yg(x)的切线.

13．【2018年高考浙江】已知函数f(x)=x−lnx．

（Ⅰ）若f(x)在x=x1，x2(x1≠x2)处导数相等，证明：f(x1)+f(x2)>8−8ln2；

（Ⅱ）若a≤3−4ln2，证明：对于任意k>0，直线y=kx+a与曲线y=f(x)有唯一公共点．

14．【2018年高考江苏】某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧MPN（P为此圆弧的

中点）和线段MN构成．已知圆O的半径为40米，点P到MN的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为△CDP，要求A,B均在线段MN上，C,D均在圆弧上．设OC与MN所成的角为．

（1）用分别表示矩形ABCD和△CDP的面积，并确定sin的取值范围；

（2）若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4:3．求当为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．

15．【2018年高考江苏】记f(x),g(x)分别为函数f(x),g(x)的导函数．若存在x0R，满足f(x0)g(x0)且f(x0)g(x0)，则称x0为函数f(x)与g(x)的一个“S点”． （1）证明：函数f(x)x与g(x)x2x2不存在“S点”； （2）若函数f(x)ax1与g(x)lnx存在“S点”，求实数a的值；

22bex（3）已知函数f(x)xa，g(x)．对任意a0，判断是否存在b0，使函数f(x)与g(x)x2在区间(0,)内存在“S点”，并说明理由．

16．【2017年高考全国Ⅰ卷理数】已知函数f(x)ae（1）讨论f(x)的单调性；

（2）若f(x)有两个零点，求a的取值范围.

2x(a2)exx.

17．【2017年高考全国Ⅱ卷理数】已知函数f(x)axaxxlnx，且f(x)0．

（1）求a；

（2）证明：f(x)存在唯一的极大值点x0，且e2f(x0)22．

18．【2017年高考全国Ⅲ卷理数】已知函数fxx1alnx.

（1）若fx0，求a的值；

（2）设m为整数，且对于任意正整数n，1

2111L22211m，求m的最小值. n219．【2017年高考浙江】已知函数f(x)=（x–2x1）ex（x（1）求f(x)的导函数；

1（2）求f(x)在区间[，+)上的取值范围．

21）． 2

20．【2017年高考北京理数】已知函数f(x)excosxx．

（Ⅰ）求曲线yf(x)在点(0,f(0))处的切线方程； （Ⅱ）求函数f(x)在区间[0,]上的最大值和最小值．

π243221．【2017年高考天津理数】设aZ，已知定义在R上的函数f(x)2x3x3x6xa在区间(1,2)内有一个零点x0，g(x)为f(x)的导函数． （Ⅰ）求g(x)的单调区间；

（Ⅱ）设m[1,x0)U(x0,2]，函数h(x)g(x)(mx0)f(m)，求证：h(m)h(x0)0； （Ⅲ）求证：存在大于0的常数A，使得对于任意的正整数p,q，且

p[1,x0)U(x0,2],满足q|

p1x0|． qAq4x22．【2017年高考山东理数】已知函数fxx22cosx，g(x)e(cosxsinx2x2)，其中

e2.71828L 是自然对数的底数.

（1）求曲线yfx在点π,fπ处的切线方程；

（2）令h(x)g(x)af(x)(aR)，讨论hx的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值.

3223．【2017年高考江苏】已知函数f(x)xaxbx1(a0,bR)有极值，且导函数f(x)的极值点

是f(x)的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值） （1）求b关于a的函数关系式，并写出定义域； （2）证明：b23a；

（3）若f(x)，f(x)这两个函数的所有极值之和不小于

7，求a的取值范围． 2