行列式的若干实际应用

行列式的若干应用

The Number of Applications of The Determinants

专 业: 数学与应用数学

作 者:

指导老师:

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I

摘 要

行列式是数学研究中的一类重要的工具之一, 它的应用非常广泛. 本文从以下三个方面对行列式的应用进行了论述: 探讨了行列式与线性方程组的关系以及在解线性方程组中的应用; 举例说明了行列式在初等代数中的应用, 如在因式分解中应用, 证明不等式以及恒等式; 最后综述了行列式在解析几何中的若干应用.矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。 关键词: 行列式; 矩阵; 线性方程组; 秩; 因式分解; 平面组; 点组

II

Abstract

Determinant is a kind of important tools in the mathematical study, it is a very wide range of applications. In this paper, we have been to discuss from the following three aspects of the applications of the determinants: To explore the relationship between the determinant and linear equations and the application in the solution of linear equations; examples of the application of the determinant in algebra, such as the application of factorization, to prove that inequality and identity; in the final, we have made overview of the number of applications of the determinants in analytic geometry.聞創沟燴鐺險爱氇谴净。 Keywords: Determinant; Matrix; Linear equations; Rank; Factorization; Plane group; 残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。 Point group

III

目录

摘 要 .................................................. II酽锕极額閉镇桧猪訣锥。 Abstract ................................................ III彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。 0 引言 .................................................... 1謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔。 1 行列式在线性方程组中的一个应用 .......................... 1厦礴恳蹒骈時盡继價骚。 2 行列式在初等代数中的几个应用 ............................ 2茕桢广鳓鯡选块网羈泪。 2.1 用行列式分解因式 ................................... 2鹅娅尽損鹌惨歷茏鴛賴。 2.2 用行列式证明不等式和恒等式 ......................... 3籟丛妈羥为贍偾蛏练淨。 3 行列式在解析几何中的几个应用 ............................ 4預頌圣鉉儐歲龈讶骅籴。 3.1 用行列式表示公式 ................................... 4渗釤呛俨匀谔鱉调硯錦。 3.2 行列式在平面几何中的一些应用 ....................... 6铙誅卧泻噦圣骋贶頂廡。 3.3 行列式在三维空间中的应用 ........................... 8擁締凤袜备訊顎轮烂蔷。 参考文献 ................................................................ 15

0 引言

行列式是研究数学的重要工具之一. 例如线性方程组（见文[1]-[5]）、多元一次方程组的解、三维空间中多个平面组或多个点组的相关位置(见文[2])、初等代数（见文[9]）、解析几何（见文[6]-[8]）、n维空间的投影变换、线性微分方程组等, 用行列式来计算是很便利的. 本文进一步研究探讨了行列式在线性方程组、初等代数、解析几何三个方面的应用.贓熱俣阃歲匱阊邺镓騷。

1 行列式在线性方程组中的一个应用

设含有n个变元的n1个一次线性方程组为

a11x2a12x2a1nxn0,axaxax0,2112222nn （1） an1,1x1an1,2x2an1,nxn0. 设方程组（1）的系数矩阵A的秩是n1, 不失一般性, 假定不等于零的n1阶行列式是

a12a22A1an1,2a13a23a1na2n . an1,3an1,n 行列式A1中的元素, 就是矩阵A中去掉第一列的元素以后剩下的元素, 并按照它们的原有位置排列.

我们把x2,x3,,xn看作是未知数, x1是已知数, 解方程组(1), 得

xix1 (i2,3,,n) （2） diA1式中di是行列式d1的第i1列元素换以a11,a21,,an1,1所成的行列式. 也就是

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a12a22dian1,2a13a23a1,i1a2,i1a11a21a1,i1a2,i1a1na2n. an1,3an1,i1an1,1an1,i1an1,n把di中第i1列移到第一列, 得

di(1)i2a11a21a12a22a1,i1a2,i1a1,i1a2,i1a1na2n. an1,1an1,2an1,i1an1,i1an1,n上式右边的行列式用Ai表示, 行列式Ai是矩阵A中去掉第i列剩余下的元素所组成. 故

di(1)i2Ai.

代入（2）式, 得

xixix1x1, 或. i2i1(1)AiA1(1)AiA1结论[2]: 方程组（1）中的x1,x2,,xn与A1,A2,A3,,(1)n1An成比例, 式中

Ai(i1,2,,n) 是从矩阵A中去掉第i列剩余下的元素做成的行列式.

2 行列式在初等代数中的几个应用

2.1 用行列式分解因式

利用行列式分解因式的关键, 是把所给的多项式写成行列式的形式, 并注意行列式的排列规则. 下面列举几个例子来说明.坛摶乡囂忏蒌鍥铃氈淚。 例2.1.1 分解因式：ab2c3bc2a3ca2b3cb2a3ba2c3ac2b3. 解 原式abc(bc2b2c)(a2cac2)(ab2a2b)

abcbc(cb)ab(ac)ab(ba) abcbcc1b1aca1c1aba1b1

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bca1acb1bca1abcabc1abcabbcca0

acbcba0abc(abbc)(ba)(acbc)(ca) abcb(ac)(ba)c(ab)(ca)

abc(ab)(ca)(bc).

例2.1.2 分解因式: (cdab)24bc(ac)(bd).

解 原式cdab2(bccd)2(abbc)cdab

cdababcd2bc2(bccd)(abcd2bc)cdab1

(abcd2bc)2(bccd)1

(abcd2bc)2.

2.2 用行列式证明不等式和恒等式

我们知道, 把行列式的某一行（列）的元素乘以同一数后加到另一行（列）的对应元素上, 行列式不变; 如果行列式中有一行（列）的元素全部是零, 那么这个行列式等于零. 利用行列式的这些性质, 我们可以构造行列式来证明等式和不等式.蜡變黲癟報伥铉锚鈰赘。 例2.2.1 已知abc0, 求证a3b3c33abc. 证明 令Da3b3c33abc, 则

abDcbccar1r2r3abcabcabccbacba000cab0. bcaab命题得证.

例2.2.2 已知axby1,bxcy1,cxay1, 求证abbccaabc.

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222

证明 令Dabbcca(a2b2c2), 则

ab1Dcba1c1c3c1xc2yabaxby1cbcbxcy1ab0a00c0bacxay1c

命题得证.

例2.2.3 已知abc0, 求证b3ac3ba3ca3bb3cc3a. 证明 令Da3bb3cc3a(b3ac3ba3c), 则

abbcca Dc2abbcabcaabc2c1c3c1b21a2c211a2c20b2c201bcabcaab 2222acbc

b(ca)(bc)(bc)a(cb)(ac)(ac)(bc)(ac)(abc)(ac)

而abc0, 则D0, 命题得证.

3 行列式在解析几何中的几个应用

3.1 用行列式表示公式

3.1.1 用行列式表示三角形面积

以平面内三点P(x1,y1),Q(x2,y2),R(x3,y3)为顶点的PQR的面积S是

x11x22x3的绝对值.

y11y21 (3) y31证明 将平面P(x1,y1),Q(x2,y2),R(x3,y3)三点扩充到三维空间, 其坐标分别为

(x1,y1,k),(x2,y2,k),(x3,y3,k), 其中k为任意常数. 由此可得：

PQ(x2x1,y2y1,0), PR(x3x1,y3y1,0)

则

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PQPR(0,0,x2x1y2y1)

x3x1y3y1PQR面积为

S12PQPRsinPQ,PR 2 =1x2x1y2y12PQPR12x3x1y 3y11yx1y11 x2x12y12xy1x2x1y2y10 3x13y12x3x1y3y10x1y11 12x2y21 . x3y31

3.1.2 用行列式表示直线方程

直线方程通过两点P(x1,y1)和Q(x2,y2)的直线PQ的方程为

x1y11x2y210. xy1证明 由两点式, 我们得直线PQ的方程为

xx2yxy2y. 1x21y2将上式展开并化简, 得

xy1xy2x1yx2yx2y1x1y20

此式可进一步变形为

xy11x1y1yyx1121x21x2y0

2此式为行列式(4)按第三行展开所得结果. 原式得证.

3.1.3 应用举例

例 若直线l过平面上两个不同的已知点(x1,y1), (x2,y2), 求直线方程.第5页,共15页

4）（

解 设直线l的方程为axbyc0, 不全为0, 因为点(x1,y1),(x2,y2)在直线l上, 则必须满足上述方程, 从而有

axbyc0,ax1by1c0, axbyc0.22这是一个以a,b,c为未知量的齐次线性方程组, 且a,b,c不全为0, 说明该齐次线性方程组有非零解. 其系数行列式等于0, 即買鲷鴯譖昙膚遙闫撷凄。 xx1x2则所求直线l的方程为

y1y110. y21xx1x2y1y110. y21同理, 若空间上有三个不同的已知点(x1,y1,z1),(x2,y2,z2),C(x3,y3,z3), 平面

S过,,C, 则平面S的方程为

xx1x2x3yy1y2y3zz1z2z3110. 11同理, 若平面有三个不同的已知点(x1,y1),(x2,y2),C(x3,y3), 圆O过,,C, 则圆O的方程为

x2y2x12y1222x2y222x3y3xx1x2x3yy1y2y3110. 11

3.2 行列式在平面几何中的一些应用

3.2.1 三线共点

平面内三条互不平行的直线

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L1L2L3a1xb1yc10,a1a2xb2yc20,相交于一点的充要条件是a2a3a3xb3yc30.b1b2b3c1c20. c33.2.2 三点共线

x1 平面内三点P(x1,y1),Q(x2,y2),R(x3,y3)在一直线的充要条件是x2x33.2.3 应用举例

例 平面上给出三条不重合的直线:

L1L2L3a1xb1yc10y11y210. y31a1a2xb2yc20, 若a2a3a3xb3yc30b1b2b3c1c20, 则这三条直线不能组成三角形. c3证明 设L1与L2的交点为P(x1,y1), 因为

a1a2a3b1b2b3c1c20, c3将第1列乘上x1, 第2列乘上y1, 全加到第3列上去, 可得：

a1a2a3b1b2b3a1x1b1y1c1a2x1b2y1c20. a3x1b3y1c3因为P在L1与L2上, 所以a1x1b1y1c10, 且

a2x1b2y1c20(a3x1b3y1c3)a1a2b1a2b2a3a1b1b2b300a3x1b3y1c30

若

a1a2b1ab011L1与L2平行, 若a3x1b3y1c30P也在L3上L1,L2,L3b2a2b2交于一点,无论何种情形, 都有L1,L2,L3不组成三角形.

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a1这说明由a2a3b1b2b3c1c20, 得到三条直线或两两平行或三线交于一点. 也就是三条c3直线不能组成三角形.

3.3 行列式在三维空间中的应用

3.3.1 平面组

设由n个平面方程构成的方程组为

a1xb1yc1zd10,axbyczd0,2222 （5） anxbnycnzdn0.xyz 若方程组(5)中的x,y,z各代以,,, 并用t(t0)乘以(5)式两端: 得

ttta1xb1yc1zd1t0,axbyczdt0,2222 （6） anxbnycnzdnt0.(x,y,z,t)叫做点(x,y,z)的齐次坐标. 这平面组的相关位置与方程组的系数所组成的

两矩阵

a1a2Aanc1a1c2a2 及 Babncnnb1b2d1d2

bncndnb1b2c1c2的秩r(A)及r(B)有关系. 现在分别叙述如下： (Ⅰ)当r(A)r(B)0, 则方程组中各系数全是0.

(Ⅱ)当r(A)0,r(B)1, 则方程组(5)不合理, 方程组(6)有解t0.当

xyzt0,,, 将趋近于无穷大（假设t趋近于0）. 在这种情况下, 我们说这n个平

ttt面在无穷远重合.綾镝鯛駕櫬鹕踪韦辚糴。 (Ⅲ)当r(A)r(B)1, 则在矩阵A及B中所有二阶行列式全是0. 所以我们有

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aibicidi.ajbjcjdj(i,j1,2,,n)

以上等式表示n个平面相合成一个平面a1xb1yc1zd10.

(Ⅳ)当r(A)1,r(B)2, 方程的系数中至少有两组数如ai,bi,ci,di及

aj,bj,cj,dj满足以下关系式

aibicidi. ajbjcjdj上式表示平面

aixbiycizdi0,ajxbjycjzdj0.

平行但不相合. 也就是平面组中n个平面相合或平行, 至少有两个平面不相合. (Ⅴ)r(A)2,r(B)2, 则矩阵A及B中所有三阶行列式全是0, 至少有一个二阶行列式不是0. 假设

a1a2b10. b2我们必可求得li,mi,ni适合下式：

lia1mia2niai0,lbmbnb0,i1i2iilic1mic2nici0,lid1mid2nidi0.式中ni0, 否则行列式

a1a2b1 b2(i3,4,,n)

将等于0. 所以

aixbiycizdit1li(a1xb1yc1zd1)mi(a2xb2yc2zd2). ni以上等式表示平面

aixbiycizdi0,(i3,4,,n).

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经过直线

a1xb1yc1zd10, axbyczd0,2222就是n个平面全经过一条直线. （Ⅵ）当r(A)2,r(B)3, 并假定

a1a2b1b20

方程组的系数至少有一组ai,bi,ci,di适合以下关系：

a1a2aib1b2bic1cia1aib1b2bic1c20（i是3,4,,n中的一数） cic20,a2以上第一个等式表示组中第i平面

aixbiycizdi0,

与直线

a1xb1yc1zd10, axbyczd0,2222平行. 又因第二个不等式表示第i平面不经过上述直线, 所以n个平面有平行的交线.例如由方程组

a1xb1yc1zd1t0,a2xb2yc2zd2t0, axbyczdt0,iiii解得

b1b2b3xc1c2c3d1d2d3c1c2c3yd1d2d3a1a2a3d1d2d3za1a2a3b1b2b3a1a2a3tb1b2b3c1c2c3.

因为行列式

a1a2ab1b2b3c1c20. c3第10页,共15页

而其它三个行列式不全是零故t0, 就是三个平面的交点在无穷远. 三个平面中每两个平面的交线是平行的.

（Ⅶ）当r(A)3,r(B)3, 并假定

a1a2a3在这种情况下, 平面

b1b2b3c1c20. c3a1xb1yc1zd1t0,a2xb2yc2zd2t0, axbyczdt0,3333相交于一点. 又因

a1a2a3aib1b2b3bic1c2c3cid1d2d3di0,（i4,5,,n）

故平面

aixbiycizdi0

经过前面三个平面的交点, 就是n个平面有一个交点, 不在无穷远.

（Ⅷ）当r(A)3,r(B)4, 则矩阵B中至少有一个四阶行列式不等于零. 假设

a1a2a3aib1b2b3bic1c2c3cid1d2d3di0.（i是4,5,,n中的一数）

以上不等式表示平面

aixbiycizdi0,

不经过前三个平面的交点.

3.3.2 点组

设有n个点, 它们的齐次坐标各是

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x1y1z1t1x2y2z2t2

xnynzntn此点组的相关位置与坐标做成的矩阵

x1y1z1t1xy2z2t2 X2xyztnnnn的秩r有关系. 分别叙述如下:

（Ⅰ）当r0, 则n个点的坐标全是(0,0,0,0)不能确定点的位置.

（Ⅱ）当r1, 假定x10, 很容易推得(因为X中所有的二阶行列式等于0)

x1y1z1t1.xiyiziti(i2,3,4,,n)

上式表示n个点全重合. （Ⅲ）当r2, 并假设

x1x2y1y20,

因X中所有三阶行列式全等于0, 我们可以求得li,mi,ni适合以下方程：

lix1mix2nixi0,lymyny0,i1i2iiliz1miz2nizi0,lit1mit2niti0,式中ni不等于0, 否则行列式

x1y1x2 y2(i3,4,,n),

将等于0. 故可求得

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xiyi1(lix1mix2),ni1(liy1miy2),ni1zi(liz1miz2),niti1(lit1mit2).ni

假设点(x1,y1,z1,t1)及(x2,y2,z2,t2)的连线为

A1xB1yC1zD1t0, A2xB2yC2zD2t0,把(xi,yi,zi,ti)的等值代入上式, 易验证点(xi,yi,zi,ti)在这连线上, 故该点与第一及第二两点共在一直线上. 因i可以是2,3,4,,n, 所以n个点全在一直线上.驅踬髏彦浃绥譎饴憂锦。 （Ⅳ）当r3, 并假定

x1x2x3y1y2y3z1z20, z3X中所有的四阶行列式全是0, 我们可以求得li,mi,ni,ki适合下式：

lix1mix2nix3kixi0,lymynyky0,i1i2i3ii lzmznzkz0,i2i3iii1lit1mit2nit3kiti0,式中ki不等于0, 否则行列式

x1x2x3从以上方程组求得：

xiyiy1y2y3z1z20. z31(lix1mix2nix3),ki1(liy1miy2niy3),ki第13页,共15页

zi1(liz1miz2niz3),ki1ti(lit1mit2nit3).ki

设点(x1,y1,z1,t1),(x2,y2,z2,t2)及(x3,y3,z3,t3)所确定的平面是

AxByCzDt0.

把xi,yi,zi,ti的等值代入上式, 甚易验明点(xi,yi,zi,ti)在这个平面上, 故该点与前三个点共在一平面上. 又因为i可以是4,5,6,,n, 所以n个点共在一个平面上.猫虿驢绘燈鮒诛髅貺庑。 （Ⅴ）当r4, X中至少有一个四阶行列式如

x1x2x3xiy1y2y3yiz1z2z3zit1t2t3ti0.

i是4,5,6,7,,n中任一个数. 以上不等式表示点(xi,yi,zi,ti)不在前三个点所确定

的平面上, 因为假设点(xi,yi,zi,ti)在平面

AxByCzDt0

上, 则以下关系成立.

Ax1By1Cz1Dt10,AxByCzDt0,2222 AxByCzDt0,3333AxiByiCziDti0,也就是行列式

x1x2x3xiy1y2y3yiz1z2z3zit1t2t3ti0.

这与假设矛盾.

致谢 本文是在 的指导和帮助下完成的, 在此对周老师表示衷心的感谢!

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参考文献

[1]北京大学数学系几何与代数教研室代数小组. 高等代数(第三版)[M]. 北京: 高等教育出社, 2003.

锹籁饗迳琐筆襖鸥娅薔。 [2]高杨芝. 行列式浅说[M]. 江苏: 江苏人民出版社, 1958.

[3]王萼芳, 石生明修订. 高等代数(第三版)[M]. 北京: 高等教育出版社, 2003.構氽頑黉碩饨荠龈话骛。 [4]王品超. 高等代数新方法(下)[M]. 徐州: 中国矿业大学出版社, 2003.輒峄陽檉簖疖網儂號泶。 [5]钱吉林. 高等代数题解精粹[M]. 北京: 民族大学出版社, 2002.尧侧閆繭絳闕绚勵蜆贅。 [6]徐岳灿. 关于行列式的若干应用[J]. 上海中学数学, 2004(3), 40-41. [7] 梁波. 例谈行列式的几个应用[J]. 毕节学院学报, 2006(4), 27-28. [8]彭丽清. 行列式的应用[J]. 忻州师范学院学报, 2005(5), 40-41.

[9]汤茂林. 行列式在初等代数中的巧用[J]. 廊坊师范学院学报, 2008(3), 9-10.

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