广东省惠州一中等六校2015届高三数学上学期第一次联考试卷 文(含解析)

广东省惠州一中等六校2015届高三上学期第一次联考数学试卷（文

科）

一、选择题：本大题共10个小题；每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的． 1．（5分）集合A={x|﹣2≤x≤2}，B={0，2，4}，则A∩B=（） A． {0} B． {0，2} C． [0，2] D． {0，1，2} 2．（5分）已知复数z的实部是﹣1，虚部是2，则z•i（其中i为虚数单位）在复平面对应的点在（） A． 第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限

x

3．（5分）函数f（x）=loga（2﹣1）（a＞0且a≠1）的定义域是（） A． （0，+∞） B． （﹣∞，0） C． （﹣∞，1） D． （1，+∞）

22

4．（5分）圆x+y﹣2x﹣2y=0上的点到直线x+y+2=0的距离最大为（） A． B． 2 C． 3 D． 2+2

5．（5分）“平面向量，平行”是“平面向量，满足•=||•||”的（） A． 充分非必要条件 B． 必要非充分条件 C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件 6．（5分）一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示，则这个几何体的体积是（）

A． 3

B．

C． 2

D．

7．（5分）已知实数x，y满足约束条件，则z=2x+4y+1的最小值是（）

A． ﹣14

8．（5分）已知||=3

B． 1 C． ﹣5 D． ﹣9

，||=6，且+与垂直，则与的夹角是（）

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A． 30° B． 90° C． 45° D． 135° 9．（5分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3=9，S5=25，则S7=（） A． 41 B． 48 C． 49 D． 56 10．（5分）定义在R上的奇函数f（x）和定义在{x|x≠0}上的偶函数g（x）分别满足f（x）

=，g（x）=log2x（x＞0），若存在实数a，使得f（a）=g（b）成立，

则实数b的取值范围是（） A． [﹣2，2]

B． [﹣2，﹣]∪[，2] C．

[﹣，0）∪（0，]

D． （﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）

二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，满分15分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．（一）必做题（11～13题） 11．（5分）已知△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=2，∠B=135°，S△ABC=4，则b=． 12．（5分）阅读如图所示的程序框图．若使输出的结果不大于31，则输入的整数i的最大值为．

13．（5分）若不等式+

≥a对任意的x∈（0，1）恒成立，则a的最大值是．

（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）【坐标系与参数方程选做题】 14．在极坐标系中，直线ρsinθ=m与圆ρ=4cosθ相切于极轴上方，则m=．

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【几何证明选讲选做题】 15．（5分）如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上异于A，B的点，CD⊥AB，垂足为D．若AD=2，BC=2，则半圆O的面积为．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（12分）已知函数f（x）=A（sincosφ+cossinφ）（A＞0，0＜φ＜π）的最大值是2，且f（0）=2． （1）求φ的值；

（2）已知锐角△ABC的三个内角分别为A，B，C，若f（2A）=，f（2B+π）=﹣

，求f（2C）

的值． 17．（12分）某体育杂志针对2014年巴西世界杯发起了一项调查活动，调查“各球队在世界杯的名次与该队历史上的实力和表现有没有关系”，在所有参与调查的人中，持“有关系”“无关系”“不知道”态度的人数如表所示： 有关系 无关系 不知道 40岁以下 800 450 200 40岁以上（含40岁） 100 150 300

（1）在所有参与调查的人中，用分层抽样的方法抽取n个人，已知从持“有关系”态度的人中抽取45人，求n的值，并求从持其他两种态度的人中应抽取的人数；

（2）在持“不知道”态度的人中，用分层抽样的方法抽取5人看成一个总体，从这5人中任选取2人，求至少一人在40岁以下的概率．

18．（14分）如图，直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB=CD，AB⊥BC，平面ABCD⊥平面BCE，△BCE为等边三角形，M，F分别是BE，BC的中点，DN=DC． （1）证明：EF⊥AD；

（2）证明：MN∥平面ADE；

（3）若AB=1，BC=2，求几何体ABCDE的体积．

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2*

19．（14分）已知各项均为正数的等差数列{an}满足：anan+1=4n﹣1（n∈N），各项均为正数的等比数列{bn}满足：b1+b2=3，b3=4． （1）求数列{an}和{bn}的通项公式； （2）若数列{cn}满足：cn=

，其前n项和为Sn，证明1≤Sn＜6．

2

20．（14分）已知抛物线C：x=2py（p＞0）与直线y=x﹣1相切，且知点F（0，1）和直线l：y=﹣1，若动点P在抛物线C上（除原点外），点P处的切线记为m，过点F且与直线PF垂直的直线记为n．

（1）求抛物线C的方程；

（2）求证：直线l，m，n相交于同一点．

x3

21．（14分）已知函数f（x）=（x﹣2）e和g（x）=kx﹣x﹣2 （1）若函数g（x）在区间（1，2）不单调，求k的取值范围；

（2）当x∈[0，+∞）时，不等式f（x）≥g（x）恒成立，求k的最大值．

广东省惠州一中等六校2015届高三上学期第一次联考数学试卷（文科） 参与试题解析

一、选择题：本大题共10个小题；每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的． 1．（5分）集合A={x|﹣2≤x≤2}，B={0，2，4}，则A∩B=（） A． {0} B． {0，2} C． [0，2] D． {0，1，2}

考点： 交集及其运算． 专题： 集合．

分析： 由A与B，求出两集合的交集即可．

解答： 解：∵A={x|﹣2≤x≤2}，B={0，2，4}， ∴A∩B={0，2}． 故选：B．

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点评： 此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键． 2．（5分）已知复数z的实部是﹣1，虚部是2，则z•i（其中i为虚数单位）在复平面对应的点在（） A． 第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限

考点： 复数的代数表示法及其几何意义． 专题： 数系的扩充和复数．

分析： 由（﹣1+2i）•i，化为a+bi的形式，即可判断复数在复平面内对应的点所在的象限． 解答： 解：∵复数z的实部是﹣1，虚部是2， ∴z•i=（﹣1+2i）•i=﹣2﹣i，

∴z•i在复平面内对应的点（﹣2，﹣1）位于第三象限． 故选：C．

点评： 本题考查复数的代数形式的乘除运算，解题时要认真审题，熟练掌握共轭复数的概念，合理运用复数的几何意义进行解题．

x

3．（5分）函数f（x）=loga（2﹣1）（a＞0且a≠1）的定义域是（） A． （0，+∞） B． （﹣∞，0） C． （﹣∞，1） D． （1，+∞）

考点： 函数的定义域及其求法． 专题： 函数的性质及应用．

分析： 根据对数函数成立的条件，即可得到结论．

x

解答： 解：要使函数f（x）有意义，则2﹣1＞0，解得x＞0， 即函数的定义域为（0，+∞）， 故选：A

点评： 本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件．

22

4．（5分）圆x+y﹣2x﹣2y=0上的点到直线x+y+2=0的距离最大为（） A． B． 2 C． 3 D． 2+2

考点： 直线与圆的位置关系． 专题： 计算题；直线与圆．

22

分析： 圆x+y﹣2x﹣2y=0上的点到直线x+y+2=0的距离最大是：d+r，其中d是圆心到直线的距离．计算出即可．

2222

解答： 解：∵圆x+y﹣2x﹣2y=0，∴（x﹣1）+（y﹣1）=2，∴圆心（1，1），半径r=． ∴圆心到直线的距离d=

2

2

=2，

．

∴圆x+y﹣2x﹣2y=0上的点到直线x+y+2=0的距离最大为2+=3故选：C．

点评： 明确圆上的点到直线的最大距离的计算方法是解题的关键．

5．（5分）“平面向量，平行”是“平面向量，满足•=||•||”的（） A． 充分非必要条件

B． 必要非充分条件

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C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件

考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断． 专题： 简易逻辑．

分析： 根据向量平行的性质以及充分条件和必要条件的定义即可得到结论．

解答： 解：若•=||•||，则•=||•||cos＜，＞=||•||，则cos＜，＞=1，

即＜，＞=0，此时平面向量，平行，即必要性成立，'

当＜，＞=π，满足平面向量，平行，但•=||•||cos＜，＞=﹣||•||，则•=||•||不成立，即充分性不成立，

故“平面向量，平行”是“平面向量，满足•=||•||”的必要不充分条件， 故选：B

点评： 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据向量平行的性质是解决本题的关键． 6．（5分）一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示，则这个几何体的体积是（）

A． 3

B．

C． 2

D．

考点： 由三视图求面积、体积． 专题： 计算题．

分析： 根据已知中三视图及其标识的相关几何量，我们易判断这是一个直三棱柱，且底面为直角边长分别等于1和的直角三角形，高为，代入棱柱体积公式即可得到答案． 解答： 解：由三视图得空间几何体为倒放着的直三棱柱， 底面为直角三角形，

两直角边长分别等于1和， 棱柱高等于， 故几何体的体积V=×1×

×

=．

故选：D

点评： 本题考查的知识点是由三视图答案求体积，其中根据三视图判断几何体的形状，及棱长等几何量，是解答的关键．

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7．（5分）已知实数x，y满足约束条件，则z=2x+4y+1的最小值是（）

A． ﹣14 B． 1

考点： 简单线性规划．

专题： 不等式的解法及应用．

C． ﹣5 D． ﹣9

分析： 作出不等式组表示的平面区域，由z=2x+4y+1可得y=﹣x+，则表示直线y=﹣x+在y轴上的截距，截距越小，z越小，结合图象可求z的最小值

解答： 解：作出不等式组表示的平面区域，如图所示的阴影部分

由z=2x+4y+1可得y=﹣x+，则表示直线y=﹣x+在y轴上的截距，截距越小，z越小，由题意可得，当y=﹣2x+z经过点A时，z最小 由

可得A（﹣，﹣），

此时z=﹣2×﹣4×+1=﹣14． 故选：A．

点评： 本题主要考查了线性目标函数在线性约束条件 下的最值的求解，解题的关键是明确z的几何意义

8．（5分）已知||=3 A． 30°

，||=6，且+与B． 90°

垂直，则C． 45°

与的夹角是（）

D． 135°

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文档来源：弘毅教育园丁网数学第一站www.jszybase.com 考点： 数量积表示两个向量的夹角． 专题： 平面向量及应用． 分析： 设的值． 解答： 解：设再根据 （

与

的夹角为θ，则由题意可得+•=18+18

=3

•6•cosθ=18

cosθ．

与

的夹角为θ，再根据 （

）•=

+•=0，求得cosθ 的值，可得θ

）•=cosθ=0，可得cosθ=﹣，∴θ=135°，

故选：D．

点评： 本题主要考查两个向量的数量积的定义，两个向量的数量积公式的应用，两个向量垂直的性质，属于基础题． 9．（5分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3=9，S5=25，则S7=（） A． 41 B． 48 C． 49 D． 56

考点： 等差数列的性质．

专题： 计算题；等差数列与等比数列．

分析： 利用等差数列{an}的前n项和公式，即可得出． 解答： 解：∵数列{an}是等差数列，S3=9，S5=25， ∴3a1+3d=9，5a1+10d=25 ∴a1=1，d=2 ∴S7=7a1+21d=49 故选：C．

点评： 本题考查了等差数列的前n项和公式，属于基础题． 10．（5分）定义在R上的奇函数f（x）和定义在{x|x≠0}上的偶函数g（x）分别满足f（x）

=，g（x）=log2x（x＞0），若存在实数a，使得f（a）=g（b）成立，

则实数b的取值范围是（） A． [﹣2，2]

B． [﹣2，﹣]∪[，2] C．

[﹣，0）∪（0，]

D． （﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）

考点： 分段函数的应用．

专题： 计算题；函数的性质及应用．

分析： 先求x≥0时，f（x）的值域为[0，1]，再由f（x）是定义在R上的奇函数，求出x≤0时f（x）的值域为[﹣1，0]，

从而得到在R上的函数f（x）的值域为[﹣1，1]．由g（x）为偶函数，求出g（x）的表达式，由条件可令﹣1≤

log2|b|≤1．解出即可．

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解答： 解：∵f（x）=，

∴当0≤x≤1时，2﹣1∈[0，1]， 当x≥1时，∈（0，1]，

即x≥0时，f（x）的值域为[0，1]，

∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴x≤0时f（x）的值域为[﹣1，0]， ∴在R上的函数f（x）的值域为[﹣1，1]． ∵定义在{x|x≠0}上的偶函数g（x），x＞0的g（x）=log2x， ∴g（x）=log2|x|（x≠0）

∵存在实数a，使得f（a）=g（b）成立， ∴令﹣1≤g（b）≤1． 即﹣1≤log2|b|≤1． 即有≤|b|≤2，

∴≤b≤2或﹣2≤b≤﹣．

故选：B．

点评： 本题考查分段函数及运用，考查分段函数值域，注意各段的情况，考查函数的奇偶性及应用，考查对数不等式的解法，属于中档题．

二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，满分15分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．（一）必做题（11～13题） 11．（5分）已知△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=2，∠B=135°，S△ABC=4，则b=．

考点： 正弦定理． 专题： 解三角形．

分析： 先利用三角形面积公式和已知条件可求得c，最后利用余弦定理求得b的值． 解答： 解：S△ABC=acsinB=•2•c•∴c=4∴b=

，

=

=2

，

=4，

x

故答案为：．

点评： 本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．正弦定理和余弦定理常用来解决三角形问题中边角问题的互化． 12．（5分）阅读如图所示的程序框图．若使输出的结果不大于31，则输入的整数i的最大值为5．

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考点： 程序框图．

专题： 算法和程序框图．

分析： 按照程序框图的流程写出前几次循环的结果，据题目对输出s的要求，求出n的最大值，据判断框中n与i的关系求出i的最大值． 解答： 解：经过第一次循环得到S=1，n=1， 经过第二次循环得到S=3，n=2， 经过第三次循环得到S=7，n=3， 经过第四次循环得到S=15，n=4， 经过第五次循环得到S=31，n=5， 经过第六次循环得到S=63，n=6， ∵输出的结果不大于31 ∴n的最大值为5 ∴i的最大值为5 故答案为：5．

点评： 本题主要考查了循环结构，解决程序框图中的循环结构时，常采用写出前几次循环的结果，找规律，属于基础题．

13．（5分）若不等式+

≥a对任意的x∈（0，1）恒成立，则a的最大值是9．

考点： 基本不等式在最值问题中的应用． 专题： 计算题；不等式的解法及应用． 分析：

+

=（x+1﹣x）（+

），利用基本不等式，即可得出结论．

解答： 解：∵x∈（0，1）， ∴+

=（x+1﹣x）（+

）=5+

+

≥5+4=9，

∴a的最大值是9．

故答案为：9．

点评： 本题考查基本不等式，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．

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（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）【坐标系与参数方程选做题】 14．在极坐标系中，直线ρsinθ=m与圆ρ=4cosθ相切于极轴上方，则m=2．

考点： 点的极坐标和直角坐标的互化． 专题： 计算题．

222

分析： 先利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ=x+y，进行代换即得直线与圆的直角坐标方程，然后根据直线与圆相切求出所求．

2222

解答： 解：圆ρ=4cosθ的普通方程为：x+y=4x，（x﹣2）+y=4， 直线ρsinθ=m的普通方程为：y=m，

又直线ρsinθ=m与圆ρ=4cosθ相切于极轴上方，所以m=2． 故答案为：2．

点评： 本题主要考查了极坐标方程与直角坐标方程的转化，同时考查了直线与圆的位置，属于基础题．

【几何证明选讲选做题】 15．（5分）如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上异于A，B的点，CD⊥AB，垂足为D．若AD=2，BC=2

，则半圆O的面积为

．

考点： 解三角形的实际应用． 专题： 计算题；解三角形．

分析： 根据在直角三角形中，利用射影定理写出比例式，把已知数据代入，把BA表示成BD与2的和，根据比例式列出关于BD的关系式，做出结果，根据射影定理求出CD，可得AB，即可求出半圆O的面积．

解答： 解：∵△ABC是直角三角形，CD是斜边上的一条高， ∵AD=2，CB=2，BA=BD+2

∴根据射影定理得24=BD（BD+2）， ∴BD=4， ∴CD==2，

∴AC=2，AB=BD+AD=6，∴OA=3 ∴半圆O的面积为故答案为：

．

．

点评： 本题考查半圆O的面积，考查射影定理的应用，考查直角三角形中有关的线段成比例，本题是一个基础题．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

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16．（12分）已知函数f（x）=A（sincosφ+cossinφ）（A＞0，0＜φ＜π）的最大值是2，且f（0）=2． （1）求φ的值；

（2）已知锐角△ABC的三个内角分别为A，B，C，若f（2A）=，f（2B+π）=﹣的值．

考点： 三角函数中的恒等变换应用． 专题： 三角函数的图像与性质．

分析： （1）根据函数f（x）=A（sincosφ+cossinφ）（A＞0）的最大值是2，可得A值，进而根据f（0）=2，0＜φ＜π，可得φ的值； （2）由（1）可知

，进而根据f（2A）=，f（2B+π）=﹣

，求f（2C）

，可得A，B的正弦值和余弦值，进而根据f（2C）=2cosC=2cos[π﹣（A+B）]=﹣cos（A+B）展开代入可得答案． 解答： 解：（1）∵函数f（x）的最大值是2，A＞0 ∴A=2„（2分）

∵f（0）=2sinφ=2， ∴sinφ=1， 又∵0＜φ＜π ∴

„（4分）

„（6分）

，

∴∴∵

„（8分）

，

（2）由（1）可知

∴，

„（10分）

∴f（2C）=2cosC=2cos[π﹣（A+B）]=﹣cos（A+B）=﹣2（cosAcosB﹣sinAsinB）=

„（12分）

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点评： 本题主要考查三角函数的图象和性质，熟练掌握三角函数的图象和性质及变换公式是解答的关键． 17．（12分）某体育杂志针对2014年巴西世界杯发起了一项调查活动，调查“各球队在世界杯的名次与该队历史上的实力和表现有没有关系”，在所有参与调查的人中，持“有关系”“无关系”“不知道”态度的人数如表所示： 有关系 无关系 不知道 40岁以下 800 450 200 40岁以上（含40岁） 100 150 300

（1）在所有参与调查的人中，用分层抽样的方法抽取n个人，已知从持“有关系”态度的人中抽取45人，求n的值，并求从持其他两种态度的人中应抽取的人数；

（2）在持“不知道”态度的人中，用分层抽样的方法抽取5人看成一个总体，从这5人中任选取2人，求至少一人在40岁以下的概率．

考点： 古典概型及其概率计算公式；分层抽样方法． 专题： 概率与统计．

分析： （Ⅰ）由题意求出n=100，由此利用分层抽样能求出持其他两种态度的人中应抽取的人数．

（Ⅱ）设所选取的人中，有m人在40岁以下，由人在40岁以下的概率． 解答： 解：（Ⅰ）由题意， 得

解得n=100，„（2分）

从持“无关系”态度的人中，应抽取从持“不知道”态度的人中，应抽取

（Ⅱ）设所选取的人中，有m人在40岁以下， 则

，解得m=2．„（6分）

人，„（3分） 人．„（4分）

，

，解得m=2，由此能求出至少一

就是40岁以下抽取了2人，另一部分抽取了3人，分别记作A1，A2；B1，B2，B3， 则从中任取2人的所有基本事件为： （A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3）， （A1，A2），（B1，B2），（B1，B3），（B2，B3），共10个„（9分） 其中至少有1人在40岁以下的基本事件为 （A1，B1），（A1，B2），（A1，B2），（A2，B1）， （A2，B2），（A2，B3），（A1，A2）共7个，„（11分） 记事件“选取2人中至少一人在40岁以下”为A，则所以选取2人中至少一人在40岁以下的概率为

．„（12分）

点评： 本题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分层抽样的合理运用．

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18．（14分）如图，直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB=CD，AB⊥BC，平面ABCD⊥平面BCE，△BCE为等边三角形，M，F分别是BE，BC的中点，DN=DC． （1）证明：EF⊥AD；

（2）证明：MN∥平面ADE；

（3）若AB=1，BC=2，求几何体ABCDE的体积．

考点： 直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的性质． 专题： 空间位置关系与距离．

分析： （1）先证明出EF⊥BC，进而根据面面垂直的性质判断出EF⊥平面ABCD，最后根据线面垂直的性质证明出EF⊥AD．

（2）取AE中点G，连接MG，DG，先证明出四边形DGMN是平行四边形，推断出DG∥MN，进而根据线面平行的判定定理证明出MN∥平面ADE．

（3）利用梯形面积公式求得底面面积，进而在三角形△BCE中求得EF，最后求得体积． 解答： （1）证明：∵△BCE为等边三角形，F是BC的中点， ∴EF⊥BC，

又∵平面ABCD⊥平面BCE，交线为BC，EF⊂平面BCE ∴EF⊥平面ABCD； 又∵AD⊂平面ABCD， ∴EF⊥AD．

（2）证明：取AE中点G，连接MG，DG， ∵AG=GE，BM=ME，

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文档来源：弘毅教育园丁网数学第一站www.jszybase.com ∴GM∥AB，且∵

∴DN∥AB，且

， ，，

，

∴四边形DGMN是平行四边形， ∴DG∥MN，

又∵DG⊂平面ADE，MN⊄平面ADE， ∴MN∥平面ADE

（3）依题，直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB=1，CD=2，BC=2 则直角梯形ABCD的面积为

由（1）可知EF⊥平面ABCD，即EF是四棱锥E﹣ABCD的高 在等边△BCE中，由边长BC=2，得故几何体ABCDE的体积为

，

． ，

点评： 本题主要考查了线面垂直和线面平行的判定定理的应用．考查了学生分析能力和空间观察能力．

2*

19．（14分）已知各项均为正数的等差数列{an}满足：anan+1=4n﹣1（n∈N），各项均为正数的等比数列{bn}满足：b1+b2=3，b3=4． （1）求数列{an}和{bn}的通项公式； （2）若数列{cn}满足：cn=

，其前n项和为Sn，证明1≤Sn＜6．

考点： 数列的求和；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式． 专题： 综合题；等差数列与等比数列．

分析： （1）利用等差数列、等比数列的通项公式，即可求数列{an}和{bn}的通项公式； （2）利用错位相减求解数列的和，可得1≤Sn＜6． 解答： 解：（1）设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，则依题意有a1＞0，b1＞0，d＞0，q＞

0解得a1=1，b1=1，d=2，q=2．„（4分）

所以an=2n﹣1，bn=2（2）

n﹣1

．„（6分）

．„（7分）

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设Sn=1+++„+

2Sn=2+3++„+，

两式相减得Sn=2+2+++„+﹣=6﹣＜6„（11分）

又因为，所以Sn＞Sn﹣1，所以Sn≥S1=1„（13分）

综上 1≤Sn＜6得证．„（14分）

点评： 本题考查等差数列、等比数列的通项公式，考查错位相减求解数列的和，这是数列求和方法的难点所在．

2

20．（14分）已知抛物线C：x=2py（p＞0）与直线y=x﹣1相切，且知点F（0，1）和直线l：y=﹣1，若动点P在抛物线C上（除原点外），点P处的切线记为m，过点F且与直线PF垂直的直线记为n．

（1）求抛物线C的方程；

（2）求证：直线l，m，n相交于同一点．

考点： 直线与圆锥曲线的关系；抛物线的标准方程． 专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程．

分析： （1）联立直线与抛物线方程，利用相切关系求出p，即可得到抛物线C的方程； （2）通过x=4y，求导

2

，设P（x0，y0），得到则P处的切线方程为：

，求出切线方程m方程，求出直线l，m相交于，

推出直线PF的斜率为，通过n与直线PF垂直，求出n的方程为

，推出直线l，n也相交于

于同一点．

解答： （1）解：联立

消去y得 x﹣2px+2p=0

22

，即可说明直线l，m，n相交

因为抛物线C与直线y=x﹣1相切，所以△=4p﹣8p=0„（3分）

解得p=0（舍）或p=2„（4分）

2

所以抛物线的方程为x=4y„（5分）

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文档来源：弘毅教育园丁网数学第一站www.jszybase.com （2）证明：由x=4y得

2

，求导有„（6分）

∵

设P（x0，y0），依题其中x0≠0，则P处的切线方程为：∴切线方程m：

„（8分）

与直线l：y=﹣1联立得：，即直线l，m相交于„（9分）

直线PF的斜率为

因为n与直线PF垂直，所以„（11分）

因为n过点F，所以n的方程为„（12分）

与直线l：y=﹣1联立得：，即直线l，n也相交于„（13分）

故直线l，m，n相交于于同一点．„（14分）

点评： 本题考查直线与抛物线方程的综合应用，抛物线方程的求法，三点共线的证明，考查逻辑推理能力以及计算能力．

x3

21．（14分）已知函数f（x）=（x﹣2）e和g（x）=kx﹣x﹣2 （1）若函数g（x）在区间（1，2）不单调，求k的取值范围；

（2）当x∈[0，+∞）时，不等式f（x）≥g（x）恒成立，求k的最大值．

考点： 导数在最大值、最小值问题中的应用；函数单调性的性质；函数恒成立问题． 专题： 导数的综合应用．

2

分析： （1）求出g'（x）=3kx﹣1，通过①当k≤0时，②当k＞0时，函数g（x）在区间（1，2）不单调，判断导数的符号，得到函数有极值，即可求k的取值范围；

x3x3

（2）构造h（x）=f（x）﹣g（x）=（x﹣2）e﹣kx+x+2，转化h（x）=（x﹣2）e﹣kx+x+2≥0在[0，+∞）上恒成立，通过h'（0）=0，对

时，

时，判断函数的单调性，以及函

数的最值，是否满足题意，求出k的最大值．

2

解答： 解：（1）g'（x）=3kx﹣1„（1分）

2

①当k≤0时，g'（x）=3kx﹣1≤0，所以g（x）在（1，2）单调递减，不满足题意；„（2分）

②当k＞0时，g（x）在

上单调递减，在

，解得

上单调递增，

„（4分）

因为函数g（x）在区间（1，2）不单调，所以

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文档来源：弘毅教育园丁网数学第一站www.jszybase.com 综上k的取值范围是

．„（5分）

x

3

（2）令h（x）=f（x）﹣g（x）=（x﹣2）e﹣kx+x+2

x3

依题可知h（x）=（x﹣2）e﹣kx+x+2≥0在[0，+∞）上恒成立 „（6分）

x2x2

h'（x）=（x﹣1）e﹣3kx+1，令φ（x）=h'（x）=（x﹣1）e﹣3kx+1，

x

有φ（0）=h'（0）=0且φ'（x）=x（e﹣6k）„（7分） ①当6k≤1，即

x

时，

x

因为x≥0，e≥1，所以φ'（x）=x（e﹣6k）≥0

所以函数φ（x）即h'（x）在[0，+∞）上单调递增，又由φ（0）=h'（0）=0 故当x∈[0，+∞）时，h'（x）≥h'（0）=0，所以h（x）在[0，+∞）上单调递增 又因为h（0）=0，所以h（x）≥0在[0，+∞）上恒成立，满足题意；„（10分） ②当6k＞1，即

时，

x

当x∈（0，ln（6k）），φ'（x）=x（e﹣6k）＜0，函数φ（x）即h'（x）单调递减， 又由φ（0）=h'（0）=0，所以当x∈（0，ln（6k）），h'（x）＜h'（0）=0 所以h（x）在（0，ln（6k））上单调递减，又因为h（0）=0，所以x∈（0，ln（6k））时h（x）＜0，

这与题意h（x）≥0在[0，+∞）上恒成立相矛盾，故舍．„（13分） 综上

，即k的最大值是．„（14分）

点评： 本题考查函数的导数的综合应用，构造法以及转化思想的应用，同时考查分类讨论思想的应用，难度比较大，考查分析问题解决问题的能力．

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